【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(6)

【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(6)

‎(六十三)‎ ‎1．(2015·广东，文)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．9‎ 答案　B 解析　由4＝(m>0)⇒m＝3，故选B.‎ ‎2．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m的值为(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ 答案　A 解析　将原方程变形为x2＋＝1.‎ 由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.‎ ‎∴＝2，∴m＝.‎ ‎3．(2019·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　B 解析　由题意知2a＝6，2c＝×6，所以a＝3，c＝1，则b＝＝2，所以此椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎4．(2019·佛山一模)若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝(　　)‎ A. B. C.或 D.或 答案　D 解析　将椭圆方程标准化为＋＝1，‎ ‎∵e2＝1－，∴＝1－e2＝，‎ ‎①若a2＝，b2＝，则＝；‎ ‎②若a2＝，b2＝，则＝，故选D.‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　B 解析　根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．‎ ‎∵e＝，∴＝.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎6．(2019·青海西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ 答案　A 解析　∵椭圆的方程为＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.‎ ‎7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b.‎ 又c2＝a2－b2，消去b整理，得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．‎ ‎8.如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　B 解析　设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．‎ 由F(－2，0)，得c＝2.‎ 由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.‎ 在Rt△PFF1中，由勾股定理，得 ‎|PF1|＝＝＝8.‎ 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎9．(2019·郑州市高三预测)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B．2－ C.－2 D.－ 答案　D 解析　设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即有c2＝(9－6)a2，即c＝(－)a，即e＝＝－，故选D.‎ ‎10．(2019·河南三门峡二模)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设右焦点为F′，由椭圆的定义得，△FMN的周长C＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2a－|F′M|)＋(2a－|F′N|)＝4a＋|MN|－|F′M|－|F′N|≤4a，当MN过点F′时取等号，‎ 即当直线x＝m过右焦点F′时，△FMN的周长最大．‎ 由椭圆的定义可得c＝＝1.‎ 把x＝1代入椭圆标准方程可得＋＝1，解得y＝±.‎ 所以△FMN的面积S＝×2×2×＝.故选C.‎ ‎11．(2019·辽宁大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.‎ ‎12．(2019·云南保山期末)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　设线段PF1的中点为M，另一个焦点为F2，由题意知，|OM|＝b，又OM是△F2PF1的中位线，∴|OM|＝|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由椭圆的定义知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b.‎ 又|MF1|＝|PF1|＝(2a－2b)＝a－b，又|OF1|＝c，在直角三角形OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，由此可求得离心率e＝＝，故选D.‎ ‎13．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A.－1 B．2－ C. D. 答案　A 解析　由题意知∠F1MF2＝，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，则c2＋(2a－c)2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝－1.‎ ‎14．若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________．‎ 答案　2‎ 解析　由题意可知，O(0，0)，F(1，0)，设P(cosα，sinα)，则|OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(cosα－1)2＋sin2α＝2cos2α－2cosα＋3＝2(cosα－)2＋2，所以当cosα＝时，|OP|2＋|PF|2取得最小值2.‎ ‎15．(2019·云南昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．‎ 答案　(－3，0)或(3，0)‎ 解析　记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.则m＝|PF1|·|PF2|≤()2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以点P的坐标为(－3，0)或(3，0)．‎ ‎16．(2019·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．‎ 答案　4 解析　∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝＝2，∴椭圆的焦距为4.‎ ‎17.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.‎ ‎(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．‎ 答案　(1)　(2)＋＝1‎ 解析　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.‎ 所以a＝c，e＝＝.‎ ‎(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，‎ 由＝2，解得x＝，y＝－.‎ 代入＋＝1，得＋＝1.‎ 即＋＝1，解得a2＝3.‎ 所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎18．(2014·课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.‎ 答案　(1)　(2)a＝7，b＝2 解析　(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.‎ 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.‎ ‎(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点．故＝4，即b2＝4a.①‎ 由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.‎ 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则 即 代入C的方程，得＋＝1.②‎ 将①及c＝代入②得＋＝1.‎ 解得a＝7，b2＝4a＝28.‎ 故a＝7，b＝2.‎