【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(5)

【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(5)

‎(六十二)‎ ‎1．两圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是(　　)‎ A．内切　　　　　　　　 B．外切 C．相交 D．外离 答案　A 解析　由于圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36，故圆心为C1(－1，3)，半径为6；圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故圆心为C2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C1C2|＝＝5＝6－1，显然两圆内切．‎ ‎2．(2019·广州一模)直线x－y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d＝＝1，∴sin∠AOC＝＝，∴∠AOC＝，∴∠CAO＝，∴∠ACO＝π－－＝.‎ ‎3．(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．2 答案　C 解析　由题意得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，连接AC，BC，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C.‎ ‎4．(2019·保定模拟)直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)‎ A．(，2) B．(，3)‎ C．(，) D．(1，)‎ 答案　D 解析　当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要10)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为(　　)‎ A．3 B．2‎ C. D. 答案　A 解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，则圆心为C(1，－2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝|PA|·|CA|＝|PA|，S△PBC＝|PB|·|CB|＝|PB|，又|PA|＝|PB|＝，∴|PC|取最小值时，S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP垂直于直线，四边形PACB面积的最小值为2，S△PAC＝S△PBC＝，∴|PA|＝2，|CP|＝3，∴＝3，又k>0，∴k＝3.故选A.‎ ‎9．已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．x2＋y2－x＝0 B．x2＋y2＋y－1＝0‎ C．x2＋y2－y－2＝0 D．x2＋y2－x＋y＝0‎ 答案　B 解析　设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化简，得x2＋y2＋y－1＝0.‎ ‎10．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)‎ A．5 B．10 C．15 D．20 答案　B 解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2＝2，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|‎ ‎＝×2×2＝10.‎ ‎11．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△‎ ABP面积的最小值为(　　)‎ A．6 B. C．8 D. 答案　B 解析　如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，‎ 即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝，‎ ‎∴△ABP的面积的最小值为×5×(－1)＝.‎ ‎12．(2019·四川南充期末)若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是(　　)‎ A．x＝0 B．y＝1‎ C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0‎ 答案　D 解析　依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0，1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1，0)，半径为r＝2.则易知定点P(0，1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，此时直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.‎ ‎13．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)‎ A．2 B. C. D. 答案　A 解析　依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2，选择A.‎ ‎14．已知直线x－y＋2＝0及直线x－y－10＝0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是________．‎ 答案　25π 解析　因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d为两直线距离的一半，即d＝×＝3.又因为直线截圆C所得的弦长为8，所以圆的半径r＝＝5，所以圆C的面积是25π.‎ ‎15．(2017·天津)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．‎ 答案　(x＋1)2＋(y－)2＝1‎ 解析　由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a)，由题意得与的夹角为120°，得cos120°＝＝－，解得a＝，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.‎ ‎16．在不等式组表示的平面区域内作圆M，则最大圆M的标准方程为________．‎ 答案　(x－1)2＋y2＝4‎ 解析　不等式组构成的区域是三角形及其内部，要作最大圆其实就是三角形的内切圆，‎ 由得交点(－3，0)，‎ 由得交点(3，2)，‎ 由得交点(3，－2)，可知三角形是等边三角形，所以圆心坐标为(1，0)，半径为(1，0)到直线x＝3的距离，即半径为2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程；‎ ‎(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．‎ 答案　(1)y2－x2＝1 (2)x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3‎ 解析　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.‎ 由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.‎ 从而y2＋2＝x2＋3.‎ 故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.‎ ‎(2)设P(x0，y0)．由已知得＝.‎ 又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得由得 此时，圆P的半径r＝.‎ 由得 此时，圆P的半径r＝.‎ 故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.‎ ‎18．(2019·广东汕头模拟)已知圆C经过(2，4)，(1，3)，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)①请问·是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；‎ ‎②若·＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．‎ 答案　(1)(x－2)2＋(y－3)2＝1　(2)①·为定值，且定值为7　②y＝x＋1‎ 解析　(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则依题意，得解得∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.‎ ‎(2)①·为定值．‎ 过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|2＝7，‎ ‎∴·＝||·||cos0°＝|AT|2＝7，∴·为定值，且定值为7.‎ ‎②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝‎ eq f(7,1＋k2)，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12，即＝4，解得k＝1，又当k＝1时Δ>0，∴k＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1.‎