高中数学（人教版必修5）配套练习：2-3等差数列的前n项和第2课时

高中数学（人教版必修5）配套练习：2-3等差数列的前n项和第2课时

第二章 2.3 第 2 课时 一、选择题 1．记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 d＝3，S4＝20，则 S6＝( ) A．16 B．24 C．36 D．48 [答案] D [解析] 由 S4＝20,4a1＋6d＝20，解得 a1＝1 2 ⇒S6＝6a1＋6×5 2 ×3＝48. 2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn 是等差数列{an}的前 n 项 和，则使得 Sn 达到最大值的 n 是( ) A．21 B．20 C．19 D．18 [答案] B [解析] 由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21 ＝－1，所以当 n＝20 时 Sn 最大．故选 B． 3. 1 3×5 ＋ 1 5×7 ＋ 1 7×9 ＋…＋ 1 13×15 ＝( ) A． 4 15 B． 2 15 C．14 15 D． 7 15 [答案] B [解析] 原式＝1 2(1 3 －1 5)＋1 2(1 5 －1 7)＋…＋1 2( 1 13 － 1 15)＝1 2(1 3 － 1 15)＝ 2 15 ，故选 B． 4．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{ 1 anan＋1 }的前 100 项和为 ( ) A．100 101 B． 99 101 C． 99 100 D．101 100 [答案] A [解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用，以及裂项求和的综 合应用． ∵a5＝5，S5＝15 ∴5a1＋5 2 ＝15，∴a1＝1. ∴d＝a5－a1 5－1 ＝1，∴an＝n. ∴ 1 anan＋1 ＝ 1 nn＋1 ＝1 n － 1 n＋1. 则数列{ 1 anan＋1 }的前 100 项的和为：T100＝(1－1 2)＋(1 2 －1 3)＋…＋( 1 100 － 1 101)＝1－ 1 101 ＝100 101. 故选 A． 5．设等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn，若 a1>0，S4＝S8，则当 Sn 取得最大值时，n 的值 为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 [答案] B [解析] 解法一：∵a1>0，S4＝S8，∴d<0，且 a1＝11 2 d，∴an＝－11 2 d＋(n－1)d＝nd－13 2 d， 由 an≥0 an＋1<0 ，得 nd－13 2 d≥0 n＋1d－13 2 d<0 ，∴51 20，S4＝S8， ∴d<0 且 a5＋a6＋a7＋a8＝0， ∴a6＋a7＝0，∴a6>0，a7<0， ∴前六项之和 S6 取最大值． 6．设{an}是等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 S5S8，则下列结论错误的是( ) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 [答案] C [解析] 由 S50，由 S6＝S7 知 a7＝0， 由 S7>S8 知 a8<0，C 选项 S9>S5 即 a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，显然错误． 二、填空题 7．设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和，且 a1＝1，a4＝7，则 S5＝________. [答案] 25 [解析] 由 a1＝1 a4＝7 得 a1＝1 d＝2 ， ∴S5＝5a1＋5×4 2 ×d＝25. 8．(2014·北京理，12)若等差数列{an}满足 a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当 n＝________ 时，{an}的前 n 项和最大． [答案] 8 [解析] 本题考查了等差数列的性质与前 n 项和． 由等差数列的性质，a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，于是有 a8>0，a8＋a9<0，故 a9<0， 故 S8>S7，S90 公差 d<0，{an} 是一个递减的等差数列，前 n 项和有最大值，a1<0，公差 d>0，{an}是一个递增的等差数列， 前 n 项和有最小值． 三、解答题 9．设等差数列{an}满足 a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 取最大值的 n 的值． [解析] (1)设公差为 d，由已知得 a1＋2d＝5 a1＋9d＝－9 ，解得 a1＝9 d＝－2 .∴an＝a1＋(n－1)d＝ －2n＋11. (2)由(1)知 Sn＝na1＋nn－1 2 d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25， ∴当 n＝5 时，Sn 取得最大值． 10．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝ 1 a2n－1 (n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)设等差数列{an}的首项为 a，公差为 d， 由于 a3＝7，a5＋a7＝26， ∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26， 解得 a1＝3，d＝2. ∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)． (2)∵an＝2n＋1， ∴a2n－1＝4n(n＋1)， ∴bn＝ 1 4nn＋1 ＝1 4(1 n － 1 n＋1 )． 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 4(1－1 2 ＋1 2 －1 3 ＋…＋1 n － 1 n＋1 ) ＝1 4(1－ 1 n＋1) ＝ n 4n＋1 ， ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ n 4n＋1. 一、选择题 1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为 120°，公差为 5°，那么这个多边 形的边数 n 等于( ) A．12 B．16 C．9 D．16 或 9 [答案] C [解析] an＝120＋5(n－1)＝5n＋115， 由 an<180 得 n<13 且 n∈N*， 由 n 边形内角和定理得， (n－2)×180＝n×120＋nn－1 2 ×5. 解得 n＝16 或 n＝9 ∵n<13，∴n＝9. 2．已知数列{an}为等差数列，若a11 a10 <－1，且它们的前 n 项和 Sn 有最大值，则使得 Sn>0 的最大值 n 为( ) A．11 B．19 C．20 D．21 [答案] B [解析] ∵Sn 有最大值，∴a1>0，d<0， ∵a11 a10 <－1， ∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0， ∴S20＝20a1＋a20 2 ＝10(a10＋a11)<0， 又 S19＝19a1＋a19 2 ＝19a10>0，故选 B． 3．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前 11 项的平均值是 5，若从中抽取 1 项，余下的 10 项的平均值为 4，则抽取的项是( ) A．a8 B．a9 C．a10 D．a11 [答案] D [解析] S11＝5×11＝55＝11a1＋11×10 2 d＝55d－55， ∴d＝2，S11－x＝4×10＝40，∴x＝15， 又 a1＝－5，由 ak＝－5＋2(k－1)＝15 得 k＝11. 4．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是 15，前三项的积是 105，当该数列的前 n 项 和最大时，n 等于( ) A．4 B．5 C．6 D．7 [答案] A [解析] ∵{an}是等差数列，且 a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5， 又∵a1·a2·a3＝105， ∴a1a3＝21，由 a1a3＝21 a1＋a3＝10 及{an}递减可求得 a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由 an≥0 得 n≤4，∴选 A． 二、填空题 5．已知{an}是等差数列，Sn 为其前 n 项和，n∈N*.若 a3＝16，S20＝20，则 S10 的值为________． [答案] 110 [解析] 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 D． a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋20×19 2 d＝20， ∴ a1＋2d＝16， 2a1＋19d＝2， 解得 d＝－2，a1＝20. ∴S10＝10a1＋10×9 2 d＝200－90＝110. 6．等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前 n 项和取最大值时，n 的值为 ______________． [答案] 5 或 6 [解析] ∵a1＋a11＝a3＋a9＝0， ∴S11＝11a1＋a11 2 ＝0， 根据二次函数图象的性质，由于 n∈N*，所以当 n＝5 或 n＝6 时 Sn 取最大值． 三、解答题 7．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30，最后一项与第 一项之差为 10.5，求此数列的首项、公差以及项数． [解析] 解法 1：设此数列的首项 a1，公差 d，项数 2k(k∈N*)． 根据题意，得 S 奇＝24 S 偶＝30 a2k－a1＝21 2 ，即 S 偶－S 奇＝6， a2k－a1＝21 2 ， ∴ kd＝6， 2k－1d＝21 2 ，解得 k＝4， d＝3 2 . 由 S 奇＝k 2(a1＋a2k－1)＝24，可得 a1＝3 2. ∴此数列的首项为3 2 ，公差为3 2 ，项数为 8. 解法二：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)， 根据题意，得 S 奇＝24， S 偶＝30， a2k－a1＝21 2 ， 即 1 2ka1＋a2k－1＝24， 1 2ka2＋a2k＝30， 2k－1d＝21 2 ， ∴ k[a1＋k－1d]＝24， ka1＋kd＝30， 2k－1d＝21 2 ， 解得 a1＝3 2 ， d＝3 2 ， k＝4. ∴此数列的首项为3 2 ，公差为3 2 ，项数为 8. 8．设等差数列的前 n 项和为 Sn.已知 a3＝12，S12>0，S13<0. (1)求公差 d 的取值范围； (2)指出 S1，S2，…，S12 中哪一个值最大，并说明理由． [解析] (1)依题意 S12＝12a1＋12×11 2 d>0 S13＝13a1＋13×12 2 d<0 ， 即 2a1＋11d>0， ① a1＋6d<0. ② 由 a3＝12，得 a1＋2d＝12.③ 将③分别代入②①，得 24＋7d>0 3＋d<0 ， 解得－24 7 0 且 an＋1<0，则 Sn 最大． 由于 S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得 a6>0，a7<0， 故在 S1，S2，…，S12 中 S6 的值最大．