【数学】2021届一轮复习人教A版空间几何体的表面积与体积作业

【数学】2021届一轮复习人教A版空间几何体的表面积与体积作业

第2节 空间几何体的表面积与体积 ‎1．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)‎ A．π　　 B.　　　C.　　　D. 解析：B　[如图，画出圆柱的轴截面 AC＝1，AB＝，所以r＝BC＝，那么圆柱的体积是V＝πr2h＝π×2×1＝π，故选B.]‎ ‎2．(2019·黄山市一模)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为(　　)‎ A．3 B．‎3.1 ‎‎ C．3.14 D．3.2‎ 解析：A　[∵圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，∴×(2πr)2×h＝πr2×h，解得π＝3.故选A.]‎ ‎3．(2018·全国Ⅲ卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　)‎ A．12 B．‎18‎ C．24 D．54 解析：B　[当三棱锥D－ABC体积最大时，点D到平面ABC的距离最大，设△ABC的边长为a，由已知，a＝6，设△ABC的中心为点E，则AE＝BE＝CE＝2，设球心为点O，则r＝OA＝OB＝OC＝4，则OE＝＝2，故D到平面ABC的距离最大值为OE＋r＝2＋4＝6.则VD－ABC＝9×6×＝18.]‎ ‎4．(2019·深圳市调研)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A. B．3π C. D．2π 解析：A　[如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，‎ 所以AE＝，EO＝.所以OA＝.‎ 在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，‎ 所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.‎ 所以该球的体积V＝π×3＝.]‎ ‎5．(2019·山东师大附中模拟)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4，则这个圆锥的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：C　[作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路为PP′，∵OP＝OP′＝4，PP′＝4，由余弦定理可得cos∠P′OP＝‎ ＝－，‎ ‎∴∠P′OP＝.‎ 设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则有2πr＝×4，‎ ‎∴r＝，h＝＝，‎ ‎∴圆锥的体积V＝πr2h＝.]‎ ‎6．如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________．‎ 解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高h＝R，底面正方形中有AB＝BC＝CD＝DA＝R，∴其体积为R3＝，则R3＝2，于是所求半球的体积为V＝πR3＝π.‎ 答案：π ‎7．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ 解析：取SC的中点O，连接OA，OB，‎ 因为SA＝AC，SB＝BC，‎ 所以OA⊥SC，OB⊥SC，‎ 因为平面SCA⊥平面SCB，‎ 所以OA⊥平面SBC，‎ 设OA＝r，‎ VA－SBC＝×S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3，‎ 所以r3＝9⇒r＝3，‎ 所以球的表面积为S＝4πr2＝36π.‎ 答案：36π ‎8．(2019·银川市模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积的大小等于________．‎ 解析：如图所示， ‎ 当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，‎ 取AC的中点E，连接BE和DE，则BE⊥平面DAC，且AE＝BE＝CE＝DE＝，‎ ‎∴E是此三棱锥外接球的球心，且半径为；‎ ‎∴此三棱锥外接球的表面积为4π·2 ＝2π.‎ 答案：2π ‎9．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥E－ACD的侧面积．‎ 解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ 所以BE⊥AC.‎ 而BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BED，‎ 所以AC⊥平面BED.‎ 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.‎ ‎(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，‎ 所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.‎ 由已知得，三棱锥E－ACD的体积 V三棱锥E－ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝，‎ 故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝.‎ 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.‎ ‎10．(2019·贵阳市质检)如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝.‎ ‎(1)求证：DE⊥平面ACD；‎ ‎(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．‎ 解：(1)证明　∵四边形DCBE为平行四边形，‎ ‎∴CD∥BE，BC∥DE.‎ ‎∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.‎ ‎∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，‎ DC，AC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD.‎ ‎∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.‎ ‎(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.‎ 在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝.‎ 在Rt△ABC中，∵AC＝x，∴BC＝(0

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