【数学】2019届一轮复习北师大版函数的图象学案

【数学】2019届一轮复习北师大版函数的图象学案

第10讲　函数的图象 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解点的坐标与函数图象的关系．‎ ‎2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数的图象得到另一个函数的图象．‎ ‎3．会运用函数图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，8‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，8‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，12‎ ‎2016·山东卷，15‎ ‎1.利用函数的定义域、值域判断图象的左右、上下的位置；利用函数的奇偶性、单调性、周期性判断图象的对称性以及变化趋势．‎ ‎2．利用函数的图象研究函数的性质；利用函数的图象研究不可解方程根的个数、函数零点的个数；利用函数的图象求不等式的解集，以及解决已知函数零点个数求参数问题.‎ 分值：5分 ‎1．利用描点法作函数图象 基本步骤是列表、描点、连线．‎ 首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．‎ 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)、描点、连线．‎ ‎2．利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 y＝f(x)y＝__f(x－a)__；‎ y＝f(x)y＝__f(x)＋b__.‎ ‎(2)伸缩变换 y＝f(x)y＝__f(ωx)__；‎ y＝f(x)y＝__Af(x)__.‎ ‎(3)对称变换 y＝f(x)关于x轴对称,y＝__－f(x)__；‎ y＝f(x)关于y轴对称,y＝__f(－x)__；‎ y＝f(x)关于原点对称,y＝__－f(－x)__.‎ ‎(4)翻折变换 y＝f(x)y＝__f(|x|)__；‎ y＝f(x)y＝__|f(x)|__.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致．(　×　)‎ ‎(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的图象相同．(　×　)‎ ‎(4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　×　)‎ 解析　(1)错误．前者是函数y＝f(x)图象本身的对称，而后者是两个图象间的对称．‎ ‎(2)错误．例如，函数y＝|log2x|与y＝log2|x|，当x>0时，它们的图象不相同．‎ ‎(3)错误．函数y＝af(x)与y＝f(ax)分别是对函数y＝f(x)作了上下伸缩和左右伸缩变换，故函数图象不同．‎ ‎(4)错误．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象．‎ ‎2．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　A　)‎ 解析　由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C项；由函数图象过(0,0)点，排除B，D项．故选A．‎ ‎3．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过点(　D　)‎ A．(1，－2)　　　 B．(2，－2)　　　‎ C．(3，－2)　　　 D．(4，－2)‎ 解析　由已知有f(4)＝2，故函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象过点(4，－2)．故选D．‎ ‎4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　D　)‎ A．ex＋1　　　 B．ex－‎1　‎　　‎ C．e－x＋1　　　 D．e－x－1‎ 解析　依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)的图象相当于曲线y＝e－x向左平移1个单位得到的，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故选D．‎ ‎5．若将函数y＝f(x)的图象向左平移2个单位，再沿y轴对折，得到y＝lg(x＋1)的图象，则f(x)＝__lg(3－x)__.‎ 解析　把y＝lg(x＋1)的图象沿y轴对折得到y＝lg(－x＋1)的图象，再将图象向右平移2个单位得到y＝lg[－(x－2)＋1]＝lg(3－x)的图象，∴f(x)＝lg(3－x)．‎ 一　函数图象的作法 函数图象的作法 ‎(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．‎ ‎(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．‎ ‎(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．‎ ‎【例1】 作出下列函数的图象．‎ ‎(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.‎ 解析　(1)作出y＝x(x≥0)的图象，再将y＝x(x≥0)的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝|x|的图象，如图中实线部分．‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图中实线部分．‎ ‎(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．‎ ‎(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图．‎ 二　函数图象的识别 识别函数图象的两种方法 ‎(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．‎ ‎(2)利用间接法筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：‎ ‎①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；‎ ‎②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；‎ ‎③从函数的奇偶性判断图象的对称性；‎ ‎④从函数的周期性判断图象的循环往复；‎ ‎⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．‎ ‎【例2】 (1)(2018·安徽合肥三中入学考试)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是(　C　)‎ ‎(2)函数y＝的部分图象大致为(　C　)‎ 解析　(1)由二次函数图象可知a>0，c>0，由对称轴x＝>0，可知b<0，故a－b＋c>0.‎ 当x＝1时，a＋b＋c<0，即b＋c<0，所以正比例函数y＝(b＋c)x经过二、四象限，反比例函数y＝图象经过一、三象限．故选C．‎ ‎(2)由题意，令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}．又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项；因为f＝＝0，f＝＝<0，所以排除A项；f(π)＝＝0，排除D项．故选C．‎ 三　函数图象的应用 ‎(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系．‎ ‎(2)利用函数的图象研究方程根的个数：‎ 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．‎ ‎(3)利用函数的图象研究不等式：‎ 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ ‎【例3】 (1)若函数f(x)＝则函数y＝f(x)－x＋的零点的个数为(　D　)‎ A．1　　　 B．2‎ C．3　　　 D．4‎ ‎(2)已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－‎3f(x)＋1的零点个数是__5__.‎ ‎(3)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__[－1，＋∞)__.‎ 解析　(1)分别作出y＝f(x)与y＝g(x)＝x－的图象，如图．‎ 显然直线y＝g(x)与曲线y＝1－x2(x≤1)有两个交点；对于直线y＝x－与曲线y＝ln x(x>1)是否有交点以及交点的个数，由幂函数与对数函数的增长趋势来看，当x→＋∞时，直线y＝g(x)的图象肯定在y＝ln x(x>1)的上方，又f()＝ln ，g()＝，‎ 有f()＝ln ＝ln 3>ln e＝，‎ ‎∴f()>g()．故两图象有4个交点．‎ ‎(2)方程2[f(x)]2－‎3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或f(x)＝1，作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.‎ ‎(3)如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.‎ ‎1．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　A　)‎ A．f(x)＝　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝－1　　　 D．f(x)＝x＋ 解析　由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C项．若函数f(x)＝x＋，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D项．故选A．‎ ‎2．函数f(x)＝2x－4sin x，x∈的图象大致是(　D　)‎ 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以排除A，B项．‎ f′(x)＝2－4cos x，‎ 令f′(x)＝2－4cos x＝0，且x∈，‎ 所以x＝±.故选D．‎ ‎3．为了得到函数y＝log2　的图象，可将函数y＝log2x图象上所有点的(　A　)‎ A．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右移1个单位 B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向左移1个单位 C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左移1个单位 D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右移1个单位 解析　把函数y＝log2x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函数y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，得到函数y＝log2(x－1)的图象，即函数y＝log2(x－1)＝log2的图象．‎ ‎4．对任意实数a，b定义运算“⊙”：a⊙b＝设f(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＋k，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是(　D　)‎ A．(－2,1)　　　 B．[0,1]　　　‎ C．[－2,0)　　　 D．[－2,1)‎ 解析　令g(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＝其图象如图所示．‎ f(x)＝g(x)＋k的图象与x轴恰有三个交点，即y＝g(x)与y＝－k的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k≤2，即－2≤k<1.故选D．‎ 错因分析：①左右平移只针对x，且“左加右减”；②不能正确认识对称变换．‎ ‎【例1】 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(　)‎ A．直线y＝0对称　　　 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称　　　 D．直线x＝1对称 解析　f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，因此f(x－1)与f[－(x－1)]的图象关于直线x＝1对称．故选D．‎ 答案　D ‎【跟踪训练1】 已知y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f，f的大小关系是__f3>，　‎ 所以f0，排除B项．故选C．‎ ‎3．(2018·安徽滁州质检)已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f(x)－f(－x)＝0，当x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数y＝f(x)的大致图象为(　D　)‎ 解析　由f(x)－f(－x)＝0，可得函数f(x)为偶函数，排除A，B项；又当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，所以f(1)＝0，f(e)＝2－e<0.故选D．‎ ‎4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为(　A　)‎ A．3　　　 B．‎2　‎　　‎ C．1　　　 D．－1‎ 解析　∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)，即3＋|2－a|＝1＋|a|，排除C，D项；‎ 又f(－1)＝f(3)，即|a＋1|＝4＋|3－a|，用代入法知A项正确．‎ ‎5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　D　)‎ A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　　 B．(－∞，－1)∪(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)　　　 D．(－1,0)∪(0,1)‎ 解析　f(x)为奇函数，所以不等式<0化为<0，即xf(x)<0，则f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．‎ ‎6．设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx.若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　B　)‎ A．x1＋x2>0，y1＋y2>0　　　 B．x1＋x2>0，y1＋y2<0‎ C．x1＋x2<0，y1＋y2>0　　　 D．x1＋x2<0，y1＋y2<0‎ 解析　由题意知满足条件的两函数图象如图所示，作B关于原点的对称点B′，据图可知：x1＋x2>0，y1＋y2<0.故选B．‎ 二、填空题 ‎7．若函数y＝|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是__[－1,0)__.‎ 解析　首先作出y＝|1－x|的图象(如图所示)，欲使y＝|1－x|＋m的图象与x轴有交点，则－1≤m<0.‎ ‎8．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是__(0,1]__.‎ 解析　当x≤0时，0<2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即f(x)＝a有两个交点，则04或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．‎ ‎11．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．‎ 解析　(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，‎ 则点P关于点(0,1)的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．‎ ‎(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.‎ ‎∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，‎ ‎∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.‎ ‎(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？‎ ‎(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．‎ 解析　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，‎ G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示：‎ 由图象看出，当m＝0或m≥2时，‎ 函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当00)，H(t)＝t2＋t，‎ 因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当t>0时，H(t)>H(0)＝0.‎ 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．‎