【数学】2018届一轮复习人教A版专题4相关性与回归直线方程学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题4相关性与回归直线方程学案

专题4　相关性与回归直线方程 ‎1．相关关系的分类 从散点图上看，‎ ‎(1)点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；‎ ‎(2)点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．‎ ‎2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．‎ ‎3．回归方程 ‎(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法．‎ ‎(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距．‎ ‎4．样本相关系数 r＝＝，‎ 用它来衡量两个变量间的线性相关关系．‎ ‎(1)当r>0时，表明两个变量正相关；‎ ‎(2)当r<0时，表明两个变量负相关；‎ ‎(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．‎ 例1　在下列各个量与量的关系中：‎ ‎①正方体的体积与棱长之间的关系；‎ ‎②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；‎ ‎③人的身高与年龄之间的关系；‎ ‎④家庭的收入与支出之间的关系；‎ ‎⑤某户家庭用电量与水费之间的关系．‎ 其中是相关关系的为(　　)‎ A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④‎ 变式训练1　下面哪些变量是相关关系(　　)‎ A．出租车车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．身高与体重 D．铁块的大小与质量 例2　某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；‎ ‎(2)求出y关于x的回归直线方程，并在坐标系中画出回归直线；‎ ‎(3)试预测加工10个零件需要多少小时？‎ 变式训练2　已知回归直线的回归系数的估计值是1.23，＝5，＝4，则回归直线的方程是(　　)‎ A．＝1.23x＋4 B．＝0.942 5x＋1.23‎ C．＝1.23x＋0.08 D．＝0.08x＋1.23‎ 例3　有一台机床可以按各种不同的速度运转，其加工的零件有一些是二级品，每小时生产的二级品零件的数量随机床运转的速度而变化．下面是实验的步骤：‎ 机床运转的速度(转/秒)‎ 每小时生产二级品的数量(个)‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎11‎ ‎(1)作出散点图；‎ ‎(2)求出机床运转的速度x与每小时生产二级品数量y的回归直线方程；‎ ‎(3)若实际生产中所允许的二级品不超过10个，那么机床的运转速度不得超过多少转/秒？‎ 变式训练3　在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得数据(单位：kg)如下：‎ 施化肥量x ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎45‎ 水稻产量y ‎330‎ ‎345‎ ‎365‎ ‎405‎ ‎445‎ ‎450‎ ‎455‎ ‎(1)画出散点图；‎ ‎(2)求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程．‎ A级 ‎1．下列两个变量间的关系不是函数关系的是(　　)‎ A．正方体的棱长与体积 B．角的度数与它的正弦值 C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量 D．日照时间与水稻的单位产量 ‎2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断(　　)‎ ‎　‎ ‎　　　　图(1)　　　　　　　　图(2)‎ A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 ‎3．对于相关系数r，下列描述正确的是(　　)‎ A．r>0表明两个变量线性相关性很强 B．r<0表明两个变量无关 C．|r|越接近1，表明两个变量线性相关性越强 D．r越小，表明两个变量线性相关性越弱 ‎4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　)‎ A．＝－10x＋200 B．＝10x＋200‎ C．＝－10x－200 D．＝10x－200‎ ‎5．设有一个回归方程为＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时(　　)‎ A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位 C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位 ‎6．下面四个散点图所示的两个变量间具有相关关系的有________．(填上你选中的所有序号)‎ ‎ ‎ ‎7．给出下列四个说法：①将一组数据中的每个数据都加上一个相同的常数后，方差不变；②线性相关的两个变量x，y的回归直线方程为y^＝3－5x，则x，y负相关；③两个变量x，y的相关系数r越大，相关性越强，r越小相关性越弱；④回归直线方程y^＝b^x＋a^对应的直线必过点(x，y)．‎ 则正确说法的序号为________．‎ B级 ‎8．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：‎ 父亲身高x(cm)‎ ‎174‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎178‎ 儿子身高y(cm)‎ ‎175‎ ‎175‎ ‎176‎ ‎177‎ ‎177‎ 则y对x的回归直线方程为(　　)‎ A．y＝x－1 B．y＝x＋1‎ C．y＝88＋x D．y＝176‎ ‎9．为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是(　　)‎ A．l1与l2一定重合 B．l1与l2一定平行 C．l1与l2相交于点(，)‎ D．无法判断l1和l2是否相交 ‎10．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．‎ ‎11．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张明同学(20岁)身高178 cm，他的体重应该在________kg左右．‎ ‎12．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．‎ 注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.‎ ‎(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 专题4　相关性与回归直线方程 典型例题 例1　D　[①正方体的体积与棱长之间的关系是确定的函数关系；⑤某户家庭用电量与水费之间无任何关系．②③④中，都是非确定的关系，但自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性．]‎ 变式训练1　C　[A，B，D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系．]‎ 例2　解　(1)散点图如图．‎ 强化提高 ‎1．D　[函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，‎ ‎ 但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系．因为A项V＝a3，B项y＝sin α，C项y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系．D项是相关关系．]‎ ‎2．C　[由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．]‎ ‎3．C　[两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，表面两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关．]‎ ‎4．A　[因为销量与价格负相关，由函数关系考虑为减函数，又因为x，y不能为负数，再排除C，故选A.]‎ ‎5．C　[∵两个变量线性负相关，∴变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位．]‎ ‎6．①②③‎ 解析　因为①②③中的点的分布都集中在一条线附近，所以①②③具有相关性．而④的点的分布比较乱，没有一定的规律性，所以④不具备相关关系．‎ ‎7．①②④‎ 解析　∵方差反应的是一组数据的波动的大小，整组数据整体做相同的变化，方差不变，故①正确，∵回归方程＝3－5x的回归系数b＝－5<0，则相关系数r<0，∴变量x，y负相关，得到②正确．当r>0时，两个变量x，y的相关系数r越大，相关性越强，r越小相关性越弱，当r<0时，两个变量x，y的相关系数r越大，相关性越弱，r越小相关性越强，故③错误；根据线性回归直线一定过样本点的中心(，)，故④正确．‎ ‎8．C　[由题意得＝＝176(cm)，‎ ＝＝176(cm)，‎ 由于(，)，一定满足回归直线方程，经验证知选C.]‎ ‎9．C　[∵两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，‎ ‎∴两组数据的样本点的中心是(，)，‎ ‎∵回归直线经过样本点的中心，‎ ‎∴l1和l2都过(，)．]‎ ‎10．20‎ 解析　令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为 ‎1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，‎ 所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.‎ ‎11．69.96‎ 解析　用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．‎ ‎12．解　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得