人教a版高中数学选修1-1课时提升作业十二2-2-1双曲线及其标准方程精讲优练课型word版含答案

人教a版高中数学选修1-1课时提升作业十二2-2-1双曲线及其标准方程精讲优练课型word版含答案

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 十二 双曲线及其标准方程 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设θ∈ ,则关于 x,y 的方程 - =1 所表示的曲线是 ( ) A.焦点在 y 轴上的双曲线 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 x 轴上的椭圆 【解析】选 C.方程即 + =1,因为θ∈ ,所以 sinθ>0,cosθ<0,且-cos θ>sinθ,故方程表示焦点在 y 轴上的椭圆. 【补偿训练】在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程的曲线是 ( ) A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 【解析】选 D.方程 mx2-my2=n 可化为: - =1,因为 mn<0,所以- >0, 所以方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线. 2.(2016·枣庄高二检测)双曲线 - =1 上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一个焦点的 距离为 ( ) A.22 或 2 B.7 C.22 D.2 【解析】选 A.因为 a2=25,所以 a=5. 由 双 曲 线 定 义 可 得 ||PF1|-|PF2||=10, 由 题 意 知 |PF1|=12, 所 以 |PF1|-|PF2|= ± 10, 所 以 |PF2|=22 或 2. 3.设动点 P 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则 P 点的轨迹方程是 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1(x≤-3) D. - =1(x≥3) 【解析】选 D.由题意知,动点 P 的轨迹应为以 A(-5,0),点 B(5,0)为焦点的双曲线的右支. 由 c=5,a=3,知 b2=16, 所以 P 点的轨迹方程为 - =1(x≥3). 【误区警示】容易忽视 x 的取值范围而导致错选 A. 4.(2016·泉州高二检测)已知定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值 是 ( ) A. B. C. D.5 【解析】选 C.由题意知,动点 P 的轨迹是以定点 A,B 为焦点的双曲线的一支(如图),从图上 不难发现,|PA|的最小值是图中 AP′的长度,即 a+c= . 5.(2016·潍坊高二检测)双曲线 -y2=1(n>1)的两焦点为 F1,F2,P 在双曲线上,且满足 |PF1|+|PF2|=2 ,则△PF1F2 的面积为 ( ) A. B.1 C.2 D.4 【解析】选 B.不妨设 F1,F2 是双曲线的左、右焦点, P 为右支上一点, |PF1|-|PF2|=2 ,① |PF1|+|PF2|=2 ,② 由①②解得: |PF1|= + ,|PF2|= - , 得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2, 所以 PF1⊥PF2, 又由①②分别平方后作差得: |PF1||PF2|=2, 所以 = |PF1|·|PF2|=1. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·唐山高二检测)已知 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 是双曲线的两个焦点,若 |PF1|=17,则|PF2|的值为 . 【解析】由条件知 a2=64,即 a=8,c2=b2+a2=100,c=10, 所以双曲线右支上的点到左焦点 F1 的最短距离 a+c=18>17,故点 P 在双曲线左支上. 所以|PF2|-|PF1|=2a=16, 即|PF2|=16+|PF1|=33. 答案:33 【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为 a+c,而出现 错误结论|PF2|=1 或|PF2|=33. 【补偿训练】在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-6,0)和 C(6,0),若顶点 B 在双 曲线 - =1 的左支上,则 = . 【解题指南】由正弦定理可将 转化为边的比,而△ABC 的顶点 A,C 已知,故边 AC 长可求,B 在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|. 【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC 中,有 = = =2R,从而 = = . 答案: 7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(- ,0),点 P 位于该 双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是 . 【解析】设双曲线方程为 - =1,因为 c= ,c2=a2+b2,所以 b2=5-a2,所以 - =1.由于 线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则 P 点的坐标为( ,4).代入双曲线方程得 - =1,解得 a2=1 或 a2=25(舍去),所以双曲线方程为 x2- =1. 答案:x2- =1 8.已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 5,则点 M 到左焦点的距离是 . 【解题指南】利用双曲线的定义求解. 【解析】由于双曲线 - =1 的右焦点为 F(5,0),将 xM=5 代入双曲线方程可得|yM|= ,即为 点 M 到右焦点的距离,由双曲线的定义知 M 到左焦点的距离为 +2×3= . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知双曲线与椭圆 + =1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的 方程. 【解析】椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),且 c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4,可得两交点的坐标为 A( ,4),B(- ,4), 由点 A 在双曲线上知, - =1. 解方程组 得 所以所求双曲线的方程为 - =1. 10.如图,在△ABC 中,已知|AB|=4 ,且三内角 A,B,C 满足 2sinA+sinC=2sinB,建立适当的 坐标系,求顶点 C 的轨迹方程. 【解析】以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系如图所示, 则 A(-2 ,0),B(2 ,0). 由正弦定理,得 sinA= ,sinB= ,sinC= (R 为△ABC 的外接圆半径). 因为 2sinA+sinC=2sinB, 所以 2a+c=2b,即 b-a= , 从而有|CA|-|CB|= |AB|=2 <|AB|. 由双曲线的定义知,点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点), 因为 a= ,c=2 ,所以 b2=c2-a2=6, 即所求轨迹方程为 - =1(x> ) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·合肥高二检测)已知双曲线 - =1 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线上,且 MF1⊥x 轴, 则 F1 到直线 F2M 的距离为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.设 F1 到直线 F2M 的距离为 d, 不妨设点 F1(-3,0),容易计算得出 |MF1|= , |MF2|-|MF1|=2 . 解得|MF2|= . 而|F1F2|=6,在直角三角形 MF1F2 中, 由 |MF1|·|F1F2|= |MF2|·d, 求得 F1 到直线 F2M 的距离 d 为 . 2.(2016·沈阳高二检测)已知点 P 在曲线 C1: - =1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5)2+y2=1 上,点 R 在曲线 C3:(x+5)2+y2=1 上,则|PQ|-|PR|的最大 值是 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】选 C.由双曲线的知识可知:C1: - =1 的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),且 |PF1|-|PF2|=8, 而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1 和(x-5)2+y2=1 的圆心,两圆(x+5)2+y2=1 和(x-5)2+y2=1 的半 径分别是 r1=1,r2=1, 所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1, 所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10. 【补偿训练】(2016·太原高二检测)设 F1,F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点.若点 P 在 双曲线上,有 · =0,则| + |= ( ) A. B.2 C. D.2 【解析】选 B.因为 · =0,所以 PF1⊥PF2, 即△PF1F2 为直角三角形, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2 )2=40, | + |= = = =2 . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016·黄冈高二检测)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),点 P 是双曲线右支上的 动点,则|PF|+|PA|的最小值是 . 【解析】由双曲线 - =1,得 c=4, 所以左焦点 F(-4,0),右焦点 F′(4,0), 由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4, 所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+ =9,此时 P 为 AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为 9. 答案:9 4.(2016·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为 F1(- ,0),F2( ,0),M 是此双曲线上 一点,若 · =0,| |·| |=2,则该双曲线的方程是 . 【解析】设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0), 由题意得||MF1|-|MF2||=2a, |MF1|2+|MF2|2=(2 )2=20, 又因为| |·| |=2, 所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2, 即 20-2×2=4a2,所以 a2=4,b2=c2-a2=5-4=1, 所以双曲线的方程为 -y2=1. 答案: -y2=1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.当 0°≤α≤180°时,方程 x2cosα+y2sinα=1 表示的曲线怎样变化? 【解析】(1)当α=0°时,方程为 x2=1,它表示两条平行直线 x=1 和 x=-1. (2)当 0°<α<90°时,方程为 + =1. ①当 0°<α<45°时,0< < ,它表示焦点在 y 轴上的椭圆. ②当α=45°时,它表示圆 x2+y2= . ③当 45°<α<90°时, > >0,它表示焦点在 x 轴上的椭圆. (3)当α=90°时,方程为 y2=1,它表示两条平行直线 y=1 和 y=-1. (4)当 90°<α<180°时,方程为 - =1,它表示焦点在 y 轴上的双曲线. (5)当α=180°时,方程为 x2=-1,它不表示任何曲线. 【误区警示】解答本题时容易忽略α=90°的情况. 6.(2016·济南高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1 的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°, 求 P 到 x 轴的距离. 【解析】因为||PF1|-|PF2||=2, 所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4, 所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|, 由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 =2|PF1|·|PF2|cos60°, 得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|, 又 a=1,b=1,所以 c= = , 所以|F1F2|=2c=2 , 所以 4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8, 所以|PF1|·|PF2|=4. 设 P 到 x 轴的距离为|y0|, = |PF1||PF2|sin60°= |F1F2|·|y0|, 所以 ×4× = ×2 |y0|,所以|y0|= = .即 P 点到 x 轴的距离为 . 关闭 Word 文档返回原板块