高中数学单元评估验收二达标检测含解析新人教A版必修5

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单元评估验收(二)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式等于(　　)‎ A．2n　　　　　　 B．2n＋1‎ C．2n－1 D．2n＋1‎ 解析：由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知，每一项都满足2n＋1.‎ 答案：B ‎2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．1‎ 解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，‎ 所以λ＝－1.‎ 答案：B ‎3．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于(　　)‎ A．2 B．4‎ C． D．2 解析：由已知得a1q2＝1，a1q＋a1q3＝，‎ 所以＝，q2－q＋1＝0，‎ 所以q＝或q＝2，‎ 因为{an}单调递减，所以q＝，‎ 所以a1＝4.‎ 答案：B ‎4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于(　　)‎ A．4 B．2‎ C．1 D．－2‎ 解析：因为S1＝2a1－2＝a1，‎ 所以a1＝2，又S2＝2a2－2＝a1＋a2，‎ - 10 -‎ 所以a2＝4.‎ 答案：A ‎5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)‎ A．3×44 B．3×44＋1‎ C．44 D．44＋1‎ 解析：由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn⇒Sn＋1＝4Sn，‎ 故数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，‎ 故Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.‎ 答案：A ‎6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　)‎ A．3∶4 B．2∶3‎ C．1∶2 D．1∶3‎ 解析：设S5＝2k，S10＝k，则S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，即S15－S10＝k，所以S15＝k，故S15∶S5＝3∶4.‎ 答案：A ‎7．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是(　　)‎ A．若{an}是等差数列，则{a}是等方差数列 B．{(－1)n}是等方差数列 C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列 D．若{an}既是等方差数列又是等差数列，则该数列为常数列 解析：对于A项，取an＝n，则a－a＝(n＋1)4－n4＝·＝(2n＋1)(2n2＋2n＋1)不是常数，则{a}不是等方差数列，A项中的结论错误；‎ 对于B项，－＝1－1＝0为常数，则是等方差数列，B项中的结论正确；‎ 对于C项，若{an}是等方差数列，则存在常数p∈R，使得a－a＝p，则数列{a}为等差数列，所以a－a＝kp，则数列{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列，C项中的结论正确；‎ 对于D项，若数列{an}为等差数列，设其公差为d，则存在m∈R，使得an＝dn＋m，‎ 则a－a＝(an＋1－an)(an＋1＋an)＝d(2dn＋2m＋d)＝2d2n＋(2m＋d)d，‎ 由于数列{an}也为等方差数列，所以，存在实数P，使得a－a＝p，‎ - 10 -‎ 则2d2n＋(2m＋d)d＝p对任意的n∈N*恒成立，则得p＝d＝0，‎ 此时，数列{an}为常数列，D项正确．‎ 答案：BCD ‎8．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，‎ 因为a4＋a6＝－6，所以a5＝－3，‎ 所以d＝＝2，‎ 所以a6＝－1<0，a7＝1>0，‎ 故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.‎ 答案：A ‎9．设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S12>0，S13<0，正确的选项有(　　)‎ A．a1>0，d<0 B．S5与S6均为Sn的最大值 C．a6＋a7>0 D．a7<0‎ 解析：因为S12＝＝>0，所以a6＋a7>0，故C项正确．‎ 又因为S13＝＝＝13a7<0所以a7<0，a6>0，‎ 所以等差数列前6项为正数，从第7项开始为负数，‎ 则a1>0，d<0，S6为Sn的最大值．‎ 答案：ACD ‎10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－a)(其中a为常数)，则下列说法正确的是(　　)‎ A．数列{an}一定是等比数列 B．数列{an}可能是等差数列 C．数列{Sn}可能是等比数列 D．数列{Sn}可能是等差数列 解析：Sn＝2(an－a)，Sn－1＝2(an－1－a)，n∈N，n≥2，两式相减：‎ an＝2an－2an－1，an＝2an－1，n≥2.‎ 若a＝0，令n＝1，a1＝2(a1－0)，a1＝0，则an＝0，此时是等差数列，不是等比数列．‎ 若a≠0，令n＝1，a1＝2(a1－a)，a1＝2a，则an＝2an－1，n≥2，此时不是等差数列．‎ - 10 -‎ 所以数列{an}不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A项错B项正确．‎ 又Sn＝2(an－a)＝2(Sn－Sn－1－a)，n≥2，n∈N*，得Sn＝‎ ‎2Sn－1＋2a，‎ 要使{Sn}为等比数列，必有若a＝0，此时令n＝1，a1＝2(a1－0)，a1＝0，‎ 则an＝0，Sn＝0，此时{Sn}是一个所有项为0的常数列，所以{Sn}不可能为等比数列，所以C项错误，D项正确. ‎ 答案：BD ‎11．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④S8>S5.其中正确命题的序号是(　　)‎ A．②③ B．①④‎ C．①③ D．①②‎ 解析：由S6>S7>S5，得a7＝S7－S6<0，a6＝S6－S5>0，a6＋a7＝S7－S5>0，则d＝a7－a6<0，故①正确；S11＝＝11a6>0，S12＝＝>0，故②正确，③错误；因为a6>0，a7<0，所以S8－S5＝－＝－＝＝3a7<0，所以S8a2，a3>a2，故2是“谷值点”；‎ a6>a7，a8>a7，故7是“谷值点”；‎ a650%，‎ 所以－>，‎ 所以<，n>log＝＝3.‎ 则当n≥4时，不等式<恒成立．‎ 所以至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜.‎ ‎(1)解：因为数列{an}是等差数列，‎ 所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d.‎ 依题意，有 即 解得a1＝6，d＝4.‎ - 10 -‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋2(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：由(1)可得Sn＝2n2＋4n.‎ 所以＝＝＝(－)．‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋(－)＋…＋＋(－)＝(1＋－－)＝－.‎ 因为Tn－＝－＜0，所以Tn＜.‎ 因为Tn＋1－Tn＝＞0，所以数列{Tn}是递增数列，‎ 所以Tn≥T1＝.所以≤Tn＜.‎ ‎19．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，数列{bn}满足bn＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)易知a1＝S1＝2，‎ 因为Sn＝2n＋1－2，所以Sn－1＝2n－2(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n(n≥2)，‎ n＝1时，a1＝S1＝2符合an＝2n，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可得bn＝＝＝－，‎ 所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝.‎ ‎20．(本小题满分12分)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加一倍)．你会选择哪种方式领取报酬呢？‎ 解：设此学生能工作n天，每天领的工资为an元，所有的工资为Sn元，则第一种方案：an(1)＝38，Sn(1)＝38n；‎ 第二种方案：an(2)＝4n，Sn(2)＝4(1＋2＋…＋n)＝2n2＋2n；‎ 第三种方案：an(3)＝0.4×2n－1，Sn(3)＝＝0.4(2n－1)．‎ 令Sn(1)≥Sn(2)，即38n≥2n2＋2n，解得n≤18，n∈N*，即小于或等于18天时，第一种方案报酬比第二种方案高(18天时一样高)．‎ - 10 -‎ 令Sn(1)≥Sn(3)，即38n≥0.4(2n－1)．‎ 利用计算器求得小于或等于9天时第一种方案报酬比第三种方案高．‎ 所以当n<10时，选择第一种方案．‎ 当n≥10时，Sn(1)≤Sn(3)，Sn(2)≤Sn(3)．‎ 所以等于或大于10天时，选择第三种方案．‎ ‎21．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(3)令cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，‎ 因为a1＝2满足该式，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)an＝＋＋…＋，①‎ an＋1＝＋＋…＋＋，②‎ ‎②－①得，＝an＋1－an＝2，‎ 得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，‎ 所以bn＝2(3n＋1)．‎ 当n＝1时，b1＝8，符合上式．‎ 所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．‎ ‎(3)cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，‎ 所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，‎ 令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①‎ 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，②‎ ‎①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，‎ 所以Hn＝.‎ 所以数列{cn}的前n项和Tn＝＋＋.‎ ‎22．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足：b1＝5a1＝5，a5＝b2＝9，当n≥3时，Sn＋1>bn，且Sn，Sn＋1－bn，Sn－2成等比数列，n∈N*.‎ - 10 -‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．‎ ‎(2)求证：数列{bn}中的项都在数列{an}中．‎ ‎(3)将数列{an}、的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，放在前面”进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1，，，a2，a3，，…这个新数列的前n和为Tn，试求Tn的表达式．‎ 解：(1){an}为等差数列，设公差为d，‎ b1＝5a1＝5，a5＝b2＝9，‎ 所以解得d＝2，‎ 所以由等差数列通项公式可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1；‎ 等差数列{an}的前n项和为Sn，‎ 所以Sn＝＝n2，‎ 当n≥3时，Sn＋1>bn，且Sn，Sn＋1－bn，Sn－2成等比数列，n∈N*.‎ 所以(Sn＋1－bn)2＝Sn·Sn－2，‎ 则＝n2·(n－2)2，‎ 即(n＋1)2－bn＝n(n－2)，‎ 化简可得bn＝4n＋1，当n＝1，n＝2时也成立，‎ 所以bn＝4n＋1.‎ ‎(2)证明：由(1)可知an＝2n－1，bn＝4n＋1，‎ 则bn＝4n＋1＝2(2n＋1)－1＝a2n＋1，‎ 所以数列{bn}中的项都在数列{an}中；‎ ‎(3)由(1)可知bn＝4n＋1，‎ 则＝＝，‎ 所以数列的前n项和为 Bn＝(－＋－＋……－)＝，‎ ‎①当n＝2k，k∈N*时，Tn＝T2k＝Sk＋Bk＝k2＋＝＋，‎ ‎②当n＝4k－3，k∈N*(k≥2)时，‎ Tn＝T4k－3＝S2k－1＋B2k－2＝(2k－1)2＋＝＋，经检验当n＝1时也成立，‎ - 10 -‎ ‎③当n＝4k－1，k∈N*时，‎ Tn＝T4k－1＝S2k－1＋B2k＝(2k－1)2＋＝＋，‎ 综上所述，当n＝2k，k∈N*时，Tn＝＋；‎ 当n＝4k－3，k∈N*时，Tn＝＋；‎ 当n＝4k－1，k∈N*时，Tn＝＋.‎ - 10 -‎