高中数学单元评估验收二达标检测含解析新人教A版必修5

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高中数学单元评估验收二达标检测含解析新人教A版必修5

单元评估验收(二)‎ ‎(时间:120分钟 满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式等于(  )‎ A.2n       B.2n+1‎ C.2n-1 D.2n+1‎ 解析:由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知,每一项都满足2n+1.‎ 答案:B ‎2.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.0 D.1‎ 解析:等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,‎ 所以λ=-1.‎ 答案:B ‎3.在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1等于(  )‎ A.2 B.4‎ C. D.2 解析:由已知得a1q2=1,a1q+a1q3=,‎ 所以=,q2-q+1=0,‎ 所以q=或q=2,‎ 因为{an}单调递减,所以q=,‎ 所以a1=4.‎ 答案:B ‎4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则a2等于(  )‎ A.4 B.2‎ C.1 D.-2‎ 解析:因为S1=2a1-2=a1,‎ 所以a1=2,又S2=2a2-2=a1+a2,‎ - 10 -‎ 所以a2=4.‎ 答案:A ‎5.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=(  )‎ A.3×44 B.3×44+1‎ C.44 D.44+1‎ 解析:由an+1=3Sn⇒Sn+1-Sn=3Sn⇒Sn+1=4Sn,‎ 故数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,‎ 故Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=3×44.‎ 答案:A ‎6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于(  )‎ A.3∶4 B.2∶3‎ C.1∶2 D.1∶3‎ 解析:设S5=2k,S10=k,则S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,即S15-S10=k,所以S15=k,故S15∶S5=3∶4.‎ 答案:A ‎7.在数列{an}中,若a-a=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是(  )‎ A.若{an}是等差数列,则{a}是等方差数列 B.{(-1)n}是等方差数列 C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列 D.若{an}既是等方差数列又是等差数列,则该数列为常数列 解析:对于A项,取an=n,则a-a=(n+1)4-n4=·=(2n+1)(2n2+2n+1)不是常数,则{a}不是等方差数列,A项中的结论错误;‎ 对于B项,-=1-1=0为常数,则是等方差数列,B项中的结论正确;‎ 对于C项,若{an}是等方差数列,则存在常数p∈R,使得a-a=p,则数列{a}为等差数列,所以a-a=kp,则数列{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列,C项中的结论正确;‎ 对于D项,若数列{an}为等差数列,设其公差为d,则存在m∈R,使得an=dn+m,‎ 则a-a=(an+1-an)(an+1+an)=d(2dn+2m+d)=2d2n+(2m+d)d,‎ 由于数列{an}也为等方差数列,所以,存在实数P,使得a-a=p,‎ - 10 -‎ 则2d2n+(2m+d)d=p对任意的n∈N*恒成立,则得p=d=0,‎ 此时,数列{an}为常数列,D项正确.‎ 答案:BCD ‎8.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ 解析:设等差数列{an}的公差为d,‎ 因为a4+a6=-6,所以a5=-3,‎ 所以d==2,‎ 所以a6=-1<0,a7=1>0,‎ 故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时,n等于6.‎ 答案:A ‎9.设等差数列{an}的前n项和是Sn,已知S12>0,S13<0,正确的选项有(  )‎ A.a1>0,d<0 B.S5与S6均为Sn的最大值 C.a6+a7>0 D.a7<0‎ 解析:因为S12==>0,所以a6+a7>0,故C项正确.‎ 又因为S13===13a7<0所以a7<0,a6>0,‎ 所以等差数列前6项为正数,从第7项开始为负数,‎ 则a1>0,d<0,S6为Sn的最大值.‎ 答案:ACD ‎10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-a)(其中a为常数),则下列说法正确的是(  )‎ A.数列{an}一定是等比数列 B.数列{an}可能是等差数列 C.数列{Sn}可能是等比数列 D.数列{Sn}可能是等差数列 解析:Sn=2(an-a),Sn-1=2(an-1-a),n∈N,n≥2,两式相减:‎ an=2an-2an-1,an=2an-1,n≥2.‎ 若a=0,令n=1,a1=2(a1-0),a1=0,则an=0,此时是等差数列,不是等比数列.‎ 若a≠0,令n=1,a1=2(a1-a),a1=2a,则an=2an-1,n≥2,此时不是等差数列.‎ - 10 -‎ 所以数列{an}不一定是等比数列,可能是等差数列,所以A项错B项正确.‎ 又Sn=2(an-a)=2(Sn-Sn-1-a),n≥2,n∈N*,得Sn=‎ ‎2Sn-1+2a,‎ 要使{Sn}为等比数列,必有若a=0,此时令n=1,a1=2(a1-0),a1=0,‎ 则an=0,Sn=0,此时{Sn}是一个所有项为0的常数列,所以{Sn}不可能为等比数列,所以C项错误,D项正确. ‎ 答案:BD ‎11.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6>S7>S5,有下列四个命题:①d<0;②S11>0;③S12<0;④S8>S5.其中正确命题的序号是(  )‎ A.②③ B.①④‎ C.①③ D.①②‎ 解析:由S6>S7>S5,得a7=S7-S6<0,a6=S6-S5>0,a6+a7=S7-S5>0,则d=a7-a6<0,故①正确;S11==11a6>0,S12==>0,故②正确,③错误;因为a6>0,a7<0,所以S8-S5=-=-==3a7<0,所以S8a2,a3>a2,故2是“谷值点”;‎ a6>a7,a8>a7,故7是“谷值点”;‎ a650%,‎ 所以->,‎ 所以<,n>log==3.‎ 则当n≥4时,不等式<恒成立.‎ 所以至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn,求证:≤Tn<.‎ ‎(1)解:因为数列{an}是等差数列,‎ 所以an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d.‎ 依题意,有 即 解得a1=6,d=4.‎ - 10 -‎ 所以数列{an}的通项公式为an=4n+2(n∈N*).‎ ‎(2)证明:由(1)可得Sn=2n2+4n.‎ 所以===(-).‎ 所以Tn=+++…++=++(-)+…++(-)=(1+--)=-.‎ 因为Tn-=-<0,所以Tn<.‎ 因为Tn+1-Tn=>0,所以数列{Tn}是递增数列,‎ 所以Tn≥T1=.所以≤Tn<.‎ ‎19.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,数列{bn}满足bn=.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解:(1)易知a1=S1=2,‎ 因为Sn=2n+1-2,所以Sn-1=2n-2(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=2n(n≥2),‎ n=1时,a1=S1=2符合an=2n,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)可得bn===-,‎ 所以Tn=1-+-+…+-=.‎ ‎20.(本小题满分12分)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,以此类推;第三种,第一天付0.4元,以后每天比前一天翻一番(即增加一倍).你会选择哪种方式领取报酬呢?‎ 解:设此学生能工作n天,每天领的工资为an元,所有的工资为Sn元,则第一种方案:an(1)=38,Sn(1)=38n;‎ 第二种方案:an(2)=4n,Sn(2)=4(1+2+…+n)=2n2+2n;‎ 第三种方案:an(3)=0.4×2n-1,Sn(3)==0.4(2n-1).‎ 令Sn(1)≥Sn(2),即38n≥2n2+2n,解得n≤18,n∈N*,即小于或等于18天时,第一种方案报酬比第二种方案高(18天时一样高).‎ - 10 -‎ 令Sn(1)≥Sn(3),即38n≥0.4(2n-1).‎ 利用计算器求得小于或等于9天时第一种方案报酬比第三种方案高.‎ 所以当n<10时,选择第一种方案.‎ 当n≥10时,Sn(1)≤Sn(3),Sn(2)≤Sn(3).‎ 所以等于或大于10天时,选择第三种方案.‎ ‎21.(本小题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}满足:an=+++…+,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(3)令cn=(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解:(1)当n=1时,a1=S1=2,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,‎ 因为a1=2满足该式,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).‎ ‎(2)an=++…+,①‎ an+1=++…++,②‎ ‎②-①得,=an+1-an=2,‎ 得bn+1=2(3n+1+1),‎ 所以bn=2(3n+1).‎ 当n=1时,b1=8,符合上式.‎ 所以bn=2(3n+1)(n∈N*).‎ ‎(3)cn==n(3n+1)=n·3n+n,‎ 所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n),‎ 令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,①‎ 则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1,②‎ ‎①-②得,-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n+1=-n×3n+1,‎ 所以Hn=.‎ 所以数列{cn}的前n项和Tn=++.‎ ‎22.(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}满足:b1=5a1=5,a5=b2=9,当n≥3时,Sn+1>bn,且Sn,Sn+1-bn,Sn-2成等比数列,n∈N*.‎ - 10 -‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式.‎ ‎(2)求证:数列{bn}中的项都在数列{an}中.‎ ‎(3)将数列{an}、的项按照“当n为奇数时,an放在前面;当n为偶数时,放在前面”进行“交叉排列”,得到一个新的数列:a1,,,a2,a3,,…这个新数列的前n和为Tn,试求Tn的表达式.‎ 解:(1){an}为等差数列,设公差为d,‎ b1=5a1=5,a5=b2=9,‎ 所以解得d=2,‎ 所以由等差数列通项公式可得an=1+2(n-1)=2n-1;‎ 等差数列{an}的前n项和为Sn,‎ 所以Sn==n2,‎ 当n≥3时,Sn+1>bn,且Sn,Sn+1-bn,Sn-2成等比数列,n∈N*.‎ 所以(Sn+1-bn)2=Sn·Sn-2,‎ 则=n2·(n-2)2,‎ 即(n+1)2-bn=n(n-2),‎ 化简可得bn=4n+1,当n=1,n=2时也成立,‎ 所以bn=4n+1.‎ ‎(2)证明:由(1)可知an=2n-1,bn=4n+1,‎ 则bn=4n+1=2(2n+1)-1=a2n+1,‎ 所以数列{bn}中的项都在数列{an}中;‎ ‎(3)由(1)可知bn=4n+1,‎ 则==,‎ 所以数列的前n项和为 Bn=(-+-+……-)=,‎ ‎①当n=2k,k∈N*时,Tn=T2k=Sk+Bk=k2+=+,‎ ‎②当n=4k-3,k∈N*(k≥2)时,‎ Tn=T4k-3=S2k-1+B2k-2=(2k-1)2+=+,经检验当n=1时也成立,‎ - 10 -‎ ‎③当n=4k-1,k∈N*时,‎ Tn=T4k-1=S2k-1+B2k=(2k-1)2+=+,‎ 综上所述,当n=2k,k∈N*时,Tn=+;‎ 当n=4k-3,k∈N*时,Tn=+;‎ 当n=4k-1,k∈N*时,Tn=+.‎ - 10 -‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档