湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2021届高三上学期期中联考数学试题答案

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湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2021届高三上学期期中联考数学试题答案

2020 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高三期中联考数学试题参考答案 一、单项选择题: 1-4 CBAB 5-8 ACCA 二、多项选择题: 9.BCD 10. AC 11. BC 12. BC 三、填空题: 13.14 14.(0,1] 15. 3 16. 2 1 1.【解析】集合 2{ | log (1 )}B x y x   ,则其中定义域 { |1 0} { | 1}B x x x x     ,又有集合 { 2, 1,0,1,2}A    ,则 { 2, 1,0}A B    .故选:C. 2.【解析】如图,由条件知四边形 ABCD 为正方形, ∴AB=CD=20 m,BC=AD=20 m. 在△DCE 中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20 m, ∴EC=CD·tan 60°=20 3 m,∴BE=BC+CE=(20+20 3 )m.故选 B. 3.【解析】 01log3log 2 1 2 1 a ; 1)2 1(0 3  b ; 2 1 3c >1.故选 A. 4.【解析】 原命题 x R  , 1 2x xe e   , 命题 x R , 1 2x xe e   的否定是: x R , 1 2x xe e   .故选:B. 5.【解析】因为     , 0ln , 0 lnx xx xf x ln x xx      是奇函数排除 ,B C ,且当 1x  时,   0f x  . 故答案为 A. 6.【解析】 )(xfy  关于 y 轴对称, )(xfy  为偶函数,又 xy sin 为奇函数, ∴y=ln )41( 2xmx  为奇函数,则 2m .故选 C. 7.【解析】∵等差数列 na 中, 3 9 0a a  ,∴ 3 9 62 0a a a   ,即 6 0a  .又 7 0a  ,∴ na 的前 n 项和 nS 的最小值为 6S .故答案选 C. 8.【解析】由  f x 为增函数可得  0 0f y y ,又可知  0 0,1y  ,则问题等价于方程  f x x ,  0,1x 有 解 , 即 2 3xx e x a   在  0,1x 有 解 , 分 离 参 数 可 得 23xa e x x   , 令   23xg x e x x   ,    3 2 0, 0,1xg x e x x      ,所以函数  g x 在 0,1 上单调递增, 所以      1 0 1 2g g x g e     ,所以1 e 2a   . 故选:A. 9.【解析】不等式 2a b ab  恒成立的条件是 0a  , 0b  ,故 A 不正确; 当 a 为负数时,不等式 1 2a a   成立.故 B 正确;由基本不等式可知 C 正确; 对于  2 1 2 1 4 42 4 4 2 8y x y xx yx y x y x y x y               , 当且仅当 4y x x y  ,即 1 2x  , 1 4y  时取等号,故 D 正确.故选;BCD. 10.【解析】因为 2a , 3 1a  , 4a 成等差数列,所以 2 4 32( 1)a a a   , 因此, 1 2 3 4 1 3 13 2 14a a aa a a a       ,故 3 4a  .又{ }na 是公比为 q的等比数列, 所以由 2 4 32( 1)a a a   ,得 3 3 1( ) 2( 1)a q aq    ,即 1 5 2q q   ,解得 2q = 或 1 2 .故选:AC. 11.【解析】因为 ( ) cos(2 )f x x   ,所以 ( ) 2sin(2 )f x x     , 所以 3 π( ) ( ) ( ) cos(2 ) 3 sin(2 ) 2 cos 22 3F x f x f x x x x              因为 ( )F x 为奇函数,则 (0) 0F  ,即 πcos 03      ,所以 3 2k     , k Z ,因为 π| | 2   ,所以 π 6   , 对于 A, 3tan tan 6 3    ,故 A 错误; 对于 B,令 ( ) cos 2 06f x x       ,得 π π 2 6 kx   ,k Z ,若 ( )f x 在[ , ]a a 上存在零点,则 0a  且 a的最小值为 π 6 ,故 B 正确; 对于 C, ( ) 2cos 2 2sin26 3F x x x         ,当 3,4 4x      时,2 , 2 3 2x      ,则 ( )F x 在 π 3π,4 4      上 单调递增,故 C 正确. 对于 D,因为 π( ) 2sin 2 6f x x       ,当 5π0,12x     时, ( ) 0f x  ,当 5π π,12 2x     时, ( ) 0f x  , ∴ ( )f x 在 π0, 2      上存在一个极小值点,没有极大值点,故 D 错误. 故选:BC. 12.【解析】当 0x  时,    1xf x e x  ,则 ( ) ( 1) ( 2)x x xf x e x e e x      由  ' 0f x  得 2 0x   ,即 2x   ,此时  f x 为减函数, 由   0f x  得 2 0x   ,即 2 0x   ,此时  f x 为增函数, 即当 2x   时,  f x 取得极小值 2 1( 2)f e    , 作出  f x 的图象如图: 由图象可知当  0 1f x  时,有三个不同的 x 与  f x 对应 设  t f x ,方程 2 1[ ( ) ( ) 01] 6f x af x   有六个不等的实数根 所以 2 1 016t at   在  0,1t  内有两个不等的实根 设 2 1( ) 16g t t at   ,即 2 1 016(0) 0 1(1) 0 1 0 1 17160 1 2 164 0160 12 0 12 g g a a aa a                               ,则实数 a 可取的值可能是 2 3 ,1 故选:BC. 13.【解析】因为 2 , 0( ) 2 2, 0x x xf x x     … 所以 2( 2) ( 2) 4f     , 则 4( ( 2)) (4) 2 2 16 2 14f f f       .故答案为:14 14.【解析】因为 x ∈ R,条件 p:x2<x,所以 p 对应的集合为 A=(0,1); 因为条件 q: ≥a(a>0),所以 q 对应的集合为 B=(0, ]; 因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 A  B,所以 ,所以 0<a≤1,故答案为:(0,1]. 15.【解析】因为函数 ( )f x 在 ( ,0) 单调递增,因为 1 212 ( 1) 0( 1) 20f     ,    22 1 1 12 2 2 020 4 5f        ,    23 1 1 93 2 3 020 8 20f        ,所以  0 3, 2x    ,所以 3a   . 16.【解析】 )( 1 742 22 321 421       Ntt qqdqdqd ddd bbb aaa t tttqq ttqtq 2 2830 07 2 2    t tttqq ttqtq 2 2830 07 2 2    且 92,1,3 2800283 2   tNtttt 又 q 为有理数 0283 2  tt 是一个完全平方数 列举可得 9741  tttt 或或或 ,则 舍)(舍)或或舍)或 (3 102 1(2  qqqq 2 1q 四、解答题 17.【解析】若选①,则由正弦定理  3 cos sin cos sin cos sin sinC A B B A C C  ,  3 cos sin sin sinC A B C C  , 3 tanC , 3C  ……………………………4 分 若选②,则由正弦定理知: sin sin sin sin2 CA C A   ,cos sin 2sin cos2 2 2 C C CC  , 1sin 2 2 C  , 3C  ………4 分 若选③,则有正弦定理知 2 2b a c bc   , 2 2 2b a c bc    ,由余弦定理知: 1cos 2C  , 3C  ,……………………………4 分 2 3A B   , 2sin sin sin sin 3A B A A        3 1sin cos sin2 2A A A         23 1 3 1sin cos sin sin 2 1 cos 22 2 4 4A A A A A      1 1sin 22 6 4A       ……………8 分 20, 3A     , 72 ,6 6 6A          , 所以当 3A  时,sin sinA B 的最大值是 3 4 .……….………. …….……….………….…10 分 18.【解析】(1)由题意知 2, ,n na S 成等差数列,所以 2 2n na S  ① , 可得 1 12 2 2( )n na S n    ②………………………………………………………2 分 ①-②得 12 ( 2)n na a n  ,又 1 12 2a a  , 1 2a  ,………………………………4 分 所以数列 na 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 2n na  .……………………6 分 (2)由(1)可得 2n nb n  ,用错位相减法得: 2 3 42 2 2 3 2 4 2 2n nT n         ① 2 nT  2 3 12 2 2 ( 1) 2 2n nn n        ② ①-②可得 1( 1) 2 2n nT n     .……………………12 分 19.【解析】(1)证明:因为 平面 , 面 ,所以 . 因为 是正方形,所以 又 , 面 , 面 ,故 平面 .…………5 分 (2)法 1:【向量法】 因为 , , 两两垂直,建立空间直角坐标系 如图所示. 因为 平面 ,且 与平面 所成角为 60°,即 , 所以 .由已知 ,可得 , . 则 , , , , , 所以 , . 设平面 的法向量为 ,则 ,即 . 令 ,则 .…………………………………………………9 分 因为 平面 ,所以 为平面 的法向量, . 所以 . 因为二面角为锐角,所以二面角 的余弦值为 .………………………………12 分 法 2:【几何法】 如图,G、P 分别为线段 、 的三等分点, M、N 分别为线段 、 的中点, ,连结 , ,且 ,所以 ,且 所以 面 , 过 F 作 垂足为 Q,连结 由三垂线定理知, 为二面角 的平面角. ………………………………8 分 由已知可得 ,所以 因为 平面 ,且 与平面 所成角为 ,即 , 为直角三角形, , ,所以 , 由勾股定理得 ,得 ,……………………………………10 分 所以 . 所以二面角 的余弦值为 .………………………………………………12 分 20.【解析】(1) 1 2AF F 面积的最大值为 3 ,则: 3bc  又 1 2 ce a   , 2 2 2a b c  ,解得: 2 4a  , 2 3b  椭圆C 的方程为: 2 2 14 3 x y  ……………………4 分 (2) AB PF1 为定值 4 1 ,设直线 AB: 1x my  ( 0m ) 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,线段 AB 的中点为  0 0,N x y 由 2 2 3 1 14 y x my x       ,消去 x 可得: 2 23 4 6 9 0m y my    0  恒成立 2 21 6 3 4 my y m    1 2 2 9 3 4y y m    ……………………………6 分 2 2 1 2 2 12( 1)1 3 4 mAB m y y m      0 2 4 3 4x m     , 20 3 3 4 my m   , )43 3,43 4( 22  m m mN ……………………8 分 直线 PN: 2 2 3 4 3 4 3 4 my m xm m         令 0y  ,则 43 1 2  mxp ……………………………………………………………10 分     21 2 2 1 1 13 4 412 1 3 4 PF m AB m m       ,故 AB PF1 为定值 4 1 …………………………………12 分 21.【解析】(1)X 可能的取值为 1,2,5,-15. 根据题意,有 P(X=1)=C13× 1 2 1 × 1-1 2 2 =3 8 , P(X=2)=C23× 1 2 2 × 1-1 2 1 =3 8 , P(X=5)=C33× 1 2 3 × 1-1 2 0 =1 8 , P(X=-15)=C03× 1 2 0 × 1-1 2 3 =1 8. 所以 X 的分布列为: X 1 2 5 -15 P 3 8 3 8 1 8 1 8 ……………………5 分 (2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-15)=1 8. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1-P(A1A2A3)=1- 1 8 3 =1- 1 512 =511 512. 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511 512.……………………9 分 (3)由(1)知,随机变量 X 的数学期望为 EX=1×3 8 +2×3 8 +5×1 8 -15×1 8 =-1 8. 这表明,获得分数 X 的均值为负. 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.……………………12 分 22.【解析】(1)∵    2242 2'  xxxxxf ∴  xf 在  0, 和 ,2 上单调递增, 在  2,0 上单减,  xf 的极大值为   3 40 f ,  xf 的极小值为   3 42 f , 又   3 43 f ,若  xf 的最大值是 3 4 ,则      310 05 a a ,∴ 41  a ……………4 分 (2)      31133 23  xxxxxxxh ,当 0x 时,   0 axexg x , 此时    xhxF  ∴  xF 在 ]0,( 有一个零点, 11 x ……………………6 分 当 0x 时,   aexg x ' ∴  xg 在  aln,0 上单调递减,在  ,ln a 上单调递 增。 又 3ea  ∴ 3ln a 由于     01,010  aegg ∴  xF 在  1,0 上有一个零点 2x ……………8 分 又     0ln1ln  aaag ,令       01,ln '3  x xxkexxxxk ∴  xk 在 ,3e 上单增,     03ln 33  eekxxxk ,    2,ln aeagaa a  ,再令         02,2,2 "'2  xxx exxexxxex  ∴  x' 在 ,2 上单调递增,从而     042 2''  ex  ∴  x 在 ,2 上单调递增,     042 2  ex  从而   0ag ∴  xF 在 aa,ln 上有一个零点 3x , 综上所述:当 3ea  时,  xF 有三个零点: axaxx  321 ln,10,1 ……12 分 (注: 2x , 3x 的范围只要表示合理,酌情给分)
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