数学理卷·2018届湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高三上学期期中联考(2017

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数学理卷·2018届湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高三上学期期中联考(2017

醴陵市2018届高三第一次联考数学试题 (理科)‎ 注意事项:1.考试时量:120分钟;总分:150分 ‎2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎3.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={1,2,3,4},,则A∩B=(  )‎ A.{1,2} B.{1,2,4} C.{2,4} D.{2,3,4}‎ ‎2.设复数z满足=i,则|z|=(  )‎ A.1 B. C. D.2 ‎ ‎3.等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2﹣4x+3的两个零点,则{an}的前9项和等于(  )‎ A.﹣18 B.9 C.18 D.36‎ ‎4.在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M,则点M恰好落在第二象限的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.为了得到函数图象,可将函数y=sin3x+cos3x图象( )‎ A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 ‎6.如图,已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸,则该墨水瓶的容积为(瓶壁厚度忽略不计)()‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎(第6题) (第7题)‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 某程序框图如图所示,现输入如下四个函数:f(x)=x2,f(x)=,f(x)=ex,f(x)=sinx,则可以输出的函数是( )‎ A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)=ex D.f(x)=sinx ‎8.已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0),点F为E的左焦点,点P为E上位于第一象限内的点,P关于原点的对称点为Q,且满足|PF|=3|FQ|,若|OP|=b,则E的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎9、函数y=ax2+bx与(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,在正四棱锥S﹣ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:‎ ‎①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥面SBD;④EP⊥面SAC,其中恒成立的为(  )‎ A.①③ B.③④ C.①② D.②③④‎ ‎12.设函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在a,b]⊆D(a<b),使f(x)在a,b]上的值域也是a,b],则称为“优美函数”,若函数为“优美函数”,则t的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)‎ ‎13.若向量,,满足,则x=  .‎ ‎14.若的二项展开式中,含项的系数为7,则实数a=  .‎ ‎15. 已知函数,若0<a<b<c,满足f(a)=f(b)=f(c),则的范围为  .‎ ‎16.在数1和2之间插入n个正数,使得这n+2个数构成递增等比数列,将这n+2个数的乘积记为,令.‎ ‎ (1)数列的通项公式为=____________;‎ ‎ (2)=___________.‎ 三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17、(本题满分10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知,c=.‎ ‎(Ⅰ)求;(Ⅱ)若三角形△ABC的面积为,求角C.‎ ‎18、(本题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,为与的交点,为上任意一点. ‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若平面,并且二面角的大小为,求的值.‎ ‎19(本题满分12分).微信是现代生活进行信息交流的重要工具,随机对使用微信的60人进行了统计,得到如下数据统计表,每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”,不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”,己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3:2.‎ ‎(1)确定x,y,p,q的值,并补全须率分布直方图;‎ ‎(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响,从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查,设选取的3人中“微信达人”的人数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 使用微信时间(单位:小时)‎ 频数 频率 ‎(0,0.5]‎ ‎ 3‎ ‎ 0.05‎ ‎(0.5,1]‎ ‎ x ‎ p ‎(1,1.5]‎ ‎ 9‎ ‎ 0.15‎ ‎(1.5,2]‎ ‎ 15‎ ‎ 0.25‎ ‎(2,2.5]‎ ‎ 18‎ ‎ 0.30‎ ‎(2.5,3]‎ ‎ y ‎ q 合计 ‎ 60‎ ‎1.00‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 如图,点P(0,−1)是椭圆C1:的一个顶点,C1的长轴是圆C2:的直径.是过点P且互相垂直的两条直线,其中交圆C2于A,B两点,交椭圆C1于另一点D.‎ x O y B ‎1‎ P D A ‎(1)求椭圆C1的方程;‎ ‎(2)求△ABD面积取最大值时直线的方程.‎ ‎【来源:全,品…中&高*考+网】‎ ‎21.(本小题满分12分)设函数.‎ ‎(1)若函数在上为减函数,求实数的最小值;‎ ‎(2)若存在,使成立,求实数的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分,考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为(为参数),‎ 以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为=2.‎ ‎(Ⅰ)分别写出的普通方程,的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)已知M,N分别为曲线的上、下顶点,点P为曲线上任意一点,求的最大值.‎ ‎23.(本小题满分10分)设函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣2|‎ ‎(I)解不等式f(x)≥2;‎ ‎(Ⅱ)当x∈R,0<y<1时,证明:|x+2|﹣|x﹣2|≤‎ 醴陵市2018届高三第一次联考理科数学参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C B B C D B D C A D ‎     第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)‎ ‎13.1   14.1   15. (1,2) 16.‎ 三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17、(本题满分12分)‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意知,tanA=,‎ 则=,即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC,‎ 所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,……….3分 由正弦定理,a=b,则=1;……….5分 ‎(Ⅱ)因为三角形△ABC的面积为,a=b、c=,‎ 所以S=absinC=a2sinC=,则,①………8.分 由余弦定理得, =,②……….10分 由①②得,cosC+sinC=1,则2sin(C+)=1,sin(C+)=,‎ 又0<C<π,则C+<,即C+=,解得C=…12分.‎ ‎18、(本题满分12分)‎ 答案及解析:(1)证明略;……….4分 ‎(2)连结,因为平面,‎ 所以,所以平面 又是的中点,故此时为的中点,‎ 以为坐标原点,射线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.……….6分 设则,‎ 向量为平面的一个法向量……….8分 设平面的一个法向量,‎ 则且,‎ 即,‎ 取,则,则………10分 解得 故……………………………12分 ‎19(本题满分12分).‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,有 ‎,‎ 解得x=9,y=6,∴p=0.15,q=0.10,‎ 补全频率分布图有右图所示.……….5分 ‎(2)用分层抽样的方法,从中选取10人,则其中“网购达人”有10×=4人,“非网购达人”有10×=6人,∴ξ的可能取值为0,1,2,3,……….7分 P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,‎ P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,……….11分 ‎∴ξ的分布列为:‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P Eξ==.……….12分 ‎20.(本题满分12分)‎x O y B ‎1‎ P D A 解:(Ⅰ)由题意得 所以椭圆C的方程为.……...4分 ‎(Ⅱ)设D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为 y=kx−1.‎ 又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=,‎ 所以|AB|=2=2...……..6分 又l1^l2,故直线l2的方程为x+ky+k=0.‎ 由消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0‎ 故x0=−...……..8分 所以|PD|=...……..9分 设△ABD的面积为S,则S=|AB|×|PD|=,..……..10分 所以S=£=,‎ 当且仅当k=±时取等号 所以所求直线l1的方程为y=±x−1..……..12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解:(1)由已知得,‎ 因在上为减函数,故在上恒成立。……1分 所以当时。‎ 又,…….2分 故当时,即时,.‎ 所以,于是,故的最小值为. ……...4分 ‎(2)命题“若存在,,使成立”等价于 ‎“当时,””. ……….5分 由(1),当时,,.‎ 问题等价于:“当时,有”. ..……..6分 ① 当,由(1),在为减函数,‎ 则,故. ……….7分 ② 当时,由于在上的值域为 ‎(i),即,在恒成立,故在上为增函数,‎ 于是,,矛盾。……….8分 ‎(ii),即,由的单调性和值域知,‎ 存在唯一,使,且满足:‎ 当时,,为减函数;当时,,为增函数;‎ 所以,,………...10分 所以,,与矛盾。‎ 综上得………...12分 ‎(二)选考题:共10分,考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 答案及解析:‎ 试题解析:(1)曲线的普通方程为,……………………2分 曲线的普通方程为. ……………………4分 ‎(2)法一:由曲线:,可得其参数方程为,所以点坐标为,由题意可知.‎ 因此 ‎……………………6分 ‎.‎ 所以当时,有最大值28,……………………8分 因此的最大值为. ……………………10分 法二:设点坐标为,则,由题意可知.‎ 因此 ‎……………………6分 ‎.‎ 所以当时,有最大值28,……………………8分 因此的最大值为. ……………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:由已知可得:,‎ 由x≥2时,4>2成立;﹣2<x<2时,2x≥2,即有x≥1,则为1≤x<2.‎ 所以,f(x)≥2的解集为{x|x≥1};……………………5分 ‎(II)证明:由(Ⅰ)知,|x+2|﹣|x﹣2|≤4,‎ 由于0<y<1,‎ 则=()y+(1﹣y)]=2++≥2+2=4,‎ 则有.……………………10分
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