高二年级学科知识竞赛数学试卷

高二年级学科知识竞赛数学试卷

高二年级学科知识竞赛数学试卷 第 I 卷（选择题） 一、填空题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．命题 :p 方程 115 22  m y m x 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则使命题 p 成立的充分不必要条件是 A． 53  m B． 1m C． 51  m D． 54  m 2．已知集合  2| 2 0A x x x    ， 1 2 | log 1B x x       ，则 A B  （ ） A． 1(0, )2 B． (0,1) C． 1( 2, )2  D． 1( ,1)2 3.若数列 na 满足   2 1 1 15, 2 2 n n n n a aa a n Na       ，则其前 10 项和为（ ） A． 200 B.150 C.100 D.50 4．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的离心率为 6 2 ，左顶点到一条渐近线的距离为 2 6 3 ，则该双 曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 18 4 x y  B． 2 2 116 8 x y  C． 2 2 116 12 x y  D． 2 2 112 8 x y  5．设 ,m n 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若 ,m     ，则 / /m  ； ②若 , / / ,m n     ，则 m n ； ③若 , , / /m n m n   ，则 / /  ； ④若 , ,n n m     ，则 m  . A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设 0,0 1x y a b     ，则下列恒成立的是（ ） A. a bx y B. a bx y C. x ya b D. x ya b 7．已知函数 ( ) sin( )f x A x   （ 0A  ， 0  ，0 2   ）的部分图像如图所示，则函数 ( )f x 的 解析式为（ ） A． ( ) 2 sin(2 )3f x x   B． ( ) 2 sin(2 )6f x x   C． ( ) 2sin(2 )3f x x   D． ( ) 2sin(2 )6f x x   8．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M 是 1DD 的中点， O 为底 面 ABCD 的中心， P 为棱 1 1A B 上的任意一点，则直线 OP 与直线 AM 所成的角为（ ） A. 45o B. 60o C. 90o D.与点 P 的位置有关 9．一只蚂蚁从正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的顶点 A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ） A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 10．函数 lncos 2 2y x x        的图象是（ ） A． B． C． D． 11.设点 1 2,F F 分别为椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左右焦点，l 为右准线，若在椭圆上存在点 M，使 1MF ， 2MF ，点 M 到l 的距离 d 成等比数列，则椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ） A. 2 1,1  B. 2 1,1   C.0, 2 1  D. 20, 2      12． 已知全集 },|),{( RyxyxU  ，集合 }20,1sin)4(cos|),{(   yxyxA ，集合 A 的补集 ACU 所对应区域的对称中心为 M ，点 P 是线段 )0,0(8  yxyx 上的动点，点Q 是 x 轴 上的动点，则 MPQ 周长的最小值为（ ） A． 24 B． 104 C．14 D． 248  第 II 卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量AB→与AC→的夹角为 120°，且|AB→|＝2，|AC→|＝3.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则λ= . 14．正数 yx, 满足 22  yx ，则 xy yx 8 的最小值为 . 15.设 nS 为等差数列 na 的前 n 项之和，  9 418, 30 9 , 336n nS a n S    ，则 n  . 16．对于函数         sin , 0,2 1 2 , 2,2 x x f x f x x       ，有下列 4 个命题： ①任取  1 2, 0,x x   ，都有    1 2 2f x f x  恒成立； ②     *2 2f x kf x k k N   ，对于一切  0,x  恒成立； ③函数    ln 1y f x x   有 3 个零点； ④对任意 0x  ，不等式   2f x x  恒成立. 则其中所有真命题的序号是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （10 分）已知 0a  ，设命题 p ：函数   2 2 1 2f x x ax a    在区间 0,1 上与 x轴有两个不同的 交点；命题 q ：  g x x a ax   有最小值.若 p q  是真命题，求实数 a 的取值范围. 18．（12 分）如图所示，已知二面角αMNβ的大小为 60°，菱形 ABCD 在面β内，A，B 两点在棱 MN 上， ∠BAD＝60°，E 是 AB 的中点，DO⊥面α，垂足为 O. (1)证明：AB⊥平面 ODE； (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值． 19 ．（ 12 分 ） 如 图 所 示 ， 在 ABC 中 , 点 D 为 BC 边 上 一 点 ， 且 1,BD E 为 AC 的 中 点, 3 2 7 2,cos ,2 7 3AE B ADB     . （1）求 AD 的长； （2）求 ADE 的面积. 20．（12 分）设函数  f x 是定义域为 1,1 的奇函数；当  1,0x  时，   23f x x  ． （1）当  0,1x 时，求  f x ； （2）对任意的    1,1 , 1,1a x    ，不等式   22cos sin 1f x a    都成立，求 的取值范围． 21、（12 分）已知椭圆的两个焦点为    1 21,0 , 1,0F F ，且椭圆与直线 3y x  相切. ⑴求椭圆的方程； ⑵过 1F 作互相垂直的直线 1 2,l l ，与椭圆分别交于 ,P Q 及 ,M N ，求四边形 PQMN 面积的最大值和最小值. 22．（12 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nA ，对任意 *n N 满足 1 1 1 2 n nA A n n    ，且 1 1a  ，数列 nb 满 足  * 2 1 32 0 , 5n n nb b b n N b      ，其前 9 项和为 63． （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）令 n n n n n b ac a b   ，数列 nc 的前 n 项和为 nT ，若对任意正整数 n ，都有 2nT n a  ，求实数 a 的取 值范围； （3）将数列   ,n na b 的项按照“当 n 为奇数时， na 放在前面；当 n 为偶数时， nb 放在前面”的要求进 行“交叉排列”，得到一个新的数列： 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6, , , , , , , , , ,a b b a a b b a a b b ， ，求这个新数列的前 n 项和 nS ． 参考答案 一、选择题 1．D 解析：方程表示焦点在 y 轴上的充要条件是 5 0 1 0 1 5 m m m m          ，解得 3 5m  ，所以选项中是 3 5m  的充分不必要条件的是 4 5m  ，故选 D. 2．A 解析：依题意   12,1 , 0, 2A B        ，故 10, 2A B      . 3.D 解析：由已知 1n na a  4. A 解析： 6 6 , 22 2e c a a b    ，渐近线方程 2 2 2 2 0 22 x y y xb b      ，因此左顶点到一条 渐近线的距离为 | | 2 6 2 2, 233 a a b    ，即该双曲线的标准方程为 2 2 18 4 x y  ，选 A. 5. D 解析：对于①，有可能 m  ，故错误；对于③ ,  可能相交，故错误.所以选 D. 6 .D 解析： x y ya a b  7. D 解析： 0x  时， 1y  ，代入验证，排除 A，B，C 选项，故选 D. 8. C. 解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2 ，设 ( ,0,0)P x ， (1,1,2)O ， (0,2,1)M ， (0,0,2)A ，∴ ( 1, 1, 2)OP x    ， (0,2, 1)AM   ， ∴ ( 1) 0 1 2 ( 2) ( 1) 0OP AM x            ，即OP AM ，故夹角为 2  ，故选 C. 9．D 解析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形 1 1 1ABCC B A A 的对角线 1AC （经过 1BB ）、或矩形 1 1ABCC D DA 的对角线 1AC （经过CD ），故视图为②④. 10. A 解析：由偶函数排除 B、D,  ,0,1cos0 yx 排除 C. 11.A 解 析 ： 由 题 意 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 1 aMF MF MF e MF MF a MF MF a ce e            21 2 2 1 1e e      12.B 解 析 ： ∵ 点（0，4）到 直 线 cos ( 4)sin 1x y    的 距 离 2 2 1 1d cos sin     ，∴ 直 线 cos ( 4)sin 1x y    始终与圆  22 4 1x y   相切， ∴集合 A 表示除圆  22 4 1x y   以外所有的点组成的集合， ∴集合 ACU 表示圆  22 4 1x y   ，其对称中心  0,4M 如图所示：设 M是点  0,4M 关于直线线段 )0,0(8  yxyx 的对称点，设 M a b（ ， ）， 则由 1    0 4 4 2 0 82 a b a b          ＝ 求得 4   8 a b    ，可得 M（4，8）． 设 M关于 x 轴的对称点为 M m n（ ， ），易得 M（4，-8），则直线QM  ，和线段的交点为 P ，则此时， MPQ 的周长为 4 10MP PQ QM PM PQ QM M Q QM M Q QM M M              ，为最 小值， 二、填空题 13. 12 7 解析:由AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝λAB→·AC→－λ(AB→)2＋(AC→)2－AC→·AB→＝0， 得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝12 7 . 14．9 解析: 8 1 8 1 8 2 1 16 1 1610 10 2 92 2 2 x y x y y x y x xy y x y x x y x y                            15． 21 解析：      1 5 4 2 30 336 212 2 2 n n n n a a n a a nS n        16．①③④ 【解析】：         sin , 0,2 1 2 , 2,2 x x f x f x x       的图象如图所示，① )(xf 的最大值为1，最小值为 1 ，所以 任 取  1 2, 0,x x   ， 都 有    1 2 2f x f x  恒 成 立 ， 正 确 ； ② )82 1(8)62 1(6)42 1(4)22 1(2)2 1(  fffff ， 故 不 正 确 ； ③ 如 图 所 示 ， 函 数    ln 1y f x x   有3个零点；④由题意，可得， )22,2(  kkx ， kxf 2 1)( max  ， 1k 1 x k min ）（ ．证 明 k2 1 1k 1  ，即证明 1k2k  ，又 1k2k  ， )1( k ，所以 k2 1 1k 1  ，所以对任意 0x ，不等 式 x kxf )( 恒成立，所以对任意 0x ，不等式   2f x x  恒成立正确．故答案：①③④. 三、解答题 17. 解析：若  p q  是真命题，则 p 为假命题且 q 为真命题.分别求出 ,p q 为真时，参数 a 的范围，取 其补集即得 p 为假时，参数 a 的范围，取交集即得实数 a 的取值范围. 试题解析：若 p 真，则     0, 0 1, 0 0, 1 0, a f f         即 2 2 1 0, 0 1, 1 2 0, 2 4 0, a a a a a             ∴ 12 1 2a   . 若 q 真，       1 , , 01 , , a x a x ag x aa x a x a         ∴  1 0a   ， 即  g x 在 ,a 上是单调递减的，要使  g x 有最小值，则  g x 在 ,a  上单调递增或为常数， 即1 0a  ，∴ 0 1a  . 若 p q  是真命题，则 p 为假命题且 q 为真命题， ∴ 10 2 1 ,2 0 1 a a a         或 即 0 2 1a   或 1 12 a  . ∴实数 a 的取值范围为 10, 2 1 ,12       . 18．解：(1)证明：如图，因为 DO⊥α，AB⊂α，所以 DO⊥AB. 连接 BD，由题设知，△ABD 是正三角形，又 E 是 AB 的中点，所以 DE⊥AB.而 DO∩DE＝D，故 AB ⊥平面 ODE. (2)因为 BC∥AD，所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即∠ADO 是 BC 与 OD 所成的 角． 由(1)知，AB⊥平面 ODE，所以 AB⊥OE.又 DE⊥AB，于是∠DEO 是二面角αMNβ的平面角，从而 ∠DEO＝60°. 不妨设 AB＝2，则 AD＝2，易知 DE＝ 3. 在 Rt△DOE 中，DO＝DE·sin 60°＝3 2. 连接 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO＝DO AD ＝ 3 32 2 4  19．（1）在 ABD 中，   2 22 7 2 7 21cos , 0, , sin 1 cos 17 7 7B B B B              ,   21 1 2 7 3 21sin sin 7 2 7 2 14BAD B ADB              , 由正弦定理 sin sin AD BD B BAD   , 知 211 7 2sin 21 14 BDAD BAD     . （2）由（1）知 2AD  ，依题意得 2 3AC AE  ,在 ACD 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosAC AD DC AD CD ADC    ,即 29 4 2 2 cos 3DC CD      , 2 2 5 0DC DC    ,解得 1 6DC   （负值舍去）.  1 1 3 3 3 2sin 2 1 62 2 2 2ADS AD DC ADC          , 从而 1 3 3 2 2 4AD ADCS S    . 20．（1）设  0,1x ，则  1,0x   ，所以     23f x f x x    ； （2）由（1）知，       2 2 3 , 1,0 3 , 0,1 x xf x x x      ，所以    max 1 3f x f  ， 因为   22cos sin 1f x a    对  1,1x   都成立，即  2 max2cos sin 1 3a f x     ， 即 22cos sin 1 3a    对  1,1a   恒成立， 所以 2 2 2cos sin 1 3 2cos sin 1 3             ，即 2 2 2sin sin 0 2sin sin 0           ， 所以 sin 0  ，即  k k Z   ，所以 的取值范围为 | ,k k Z    ． 21.⑴设椭圆的方程为   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ； 联立 2 2 2 2 1 3 x y a b y x       得 2 2 2 2 2 2 22 3 3 0b a x a x a a b     有唯一根； 所以     22 2 2 2 2 22 3 4 3 0a b a a a b      ，得 2 2 3b a  又 2 2 1a b  ，所以 2 22, 1a b  ，所以椭圆的方程为： 2 2 12 x y  ⑵若 PQ 的斜率不存在或为 0 时， 22PQMN PQ MNS   ’ 若 PQ 的斜率存在，设为  0k k  ，则 MN 的斜率为 1 k  直线 PQ 的方程为 y kx k  ，设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 联立   2 2 2 2 2 21 2 1 4 2 2 02 x y k x k x k y kx k            得 ，则 2 2 1 2 2 11 2 2 1 2 kPQ k x x k      同理 2 2 12 2 2 kMN k   , 所以 2 4 2 4 2 4 2 1 2 1 1 24 42 2 5 2 2 2 5 2PQMN kPQ MN k kS k k k k                = 2 2 1 14 42 4 10k k          ， 因为 2 2 44 8k k   ，当 2 1k  时取等号，所以 2 2 1 10,4 184 10k k      ， 所以 2 2 1 1 164 ,242 94 10k k               ，所以四边形 PQMN 面积的最小值为16 9 ，最大值为 2。 22．（1）∵ 1 1 1 2 n nA A n n    ，∴数列 nA n     是首项为 1，公差为 1 2 的等差数列， ∴  1 1 1 11 2 2 2 nA A n nn       ，即    *1 2n n nA n N   ， ∴       * 1 1 1 2 1 12 2n n n n n n na A A n n N           ， 又 1 1a  ，∴  * na n n N  ． ∵ 2 12 0n n nb b b    ，∴数列 nb 是等差数列， 设 nb 的前 n 项和为 nB ，∵  3 7 9 9 632 b bB   且 3 5b  ， ∴ 7 9b  ，∴ nb 的公差为  *7 3 9 5 1, 27 3 7 3 n b b b n n N       （2）由（1）知 2 1 12 22 2 n n n n n b a n nc a b n n n n             ， ∴ 1 2 1 1 1 1 12 2 1 3 2 4 2n nT c c c n n n                 1 1 1 1 12 2 1 2 3 22 1 2 1 2n nn n n n                      ， ∴ 1 12 3 2 1 2nT n n n         设 1 13 2 1 2nR n n        ，则   1 1 1 42 01 3 1 3n nR R n n n n            ， ∴数列 nR 为递增数列， ∴  1min 4 3nR R  ， ∵对任意正整数 n ，都有 2nT n a  恒成立，∴ 4 3a  ． （3）数列 na 的前 n 项和  1 2n n nA  ，数列 nb 的前 n 项和  5 2n n nB  ， ①当  *2n k k N  时，     21 5 32 2n k k k k k kS A B k k        ； ②当  *4 1n k k N   时，      2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 5 4 8 12 2n k k k k k kS A B k k          ， 特别地，当 1n  时， 1 1S  也符合上式； ③当  *4 1n k k N   时，     2 2 1 2 2 1 2 2 2 5 4 42 2n k k k k k kS A B k k        ． 综上： 2 2 * 2 1 3 , 24 2 6 3 , 4 3,4 6 5 , 4 14 n n n n k n nS n k k N n n n k               