云南省昭通市水富县 2016-2017 学年高二数学下学期阶段测试试卷(一) 理

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云南省昭通市水富县 2016-2017 学年高二数学下学期阶段测试试卷(一) 理

云南省昭通市水富县 2016-2017 学年高二数学下学期阶段测试试卷(一) 理 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. (1)已知集合  2, 1,0,1,2A    ,  ( 1)( 2) 0B x x x    ,则 A B  ( ) A. 1,0 B. 0,1 C. 1,0,1 D. 0,1,2 (2)已知向量 (2 1,3)a x  , (2 ,1)b x  ,若 / /a b   ,则实数 x 的值是( ) A. 1 6 B. 1 6  C.-1 D.1 (3)设 、 是两个不同的平面, m 是直线且 m  , / /m “ ”是 / / “ ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (5)若 1 3 log 2a  , 21( )3b  , 1 32c  ,则( ) A. b a c  B. a b c  C.b c a  D. c a b  (6)已知等比数列 na 满足 1 1 3 53, 21a a a a    ,则 3 5 7a a a   ( ) A.84 B. 63 C.42 D.21 (7)设函数 ( ) xf x xe ,则( ) A. 1x  为 ( )f x 的极大值点 B. 1x  为 ( )f x 的极小值点 C . 1x   为 ( )f x 的极大值点 D. 1x   为 ( )f x 的极小值点 (8)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1,0) ,且点 C 与点 D 在函数 1, 0, ( ) 1 1, 0,2 x x f x x x      的图像上.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此 点取自 阴影部分的概率等于 ( ) A. 1 6 B. 1 4 C. 3 8 D. 1 2 (9)已知三棱锥 S ABC 的所 有顶点都在球O 的球面上, ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为 球的直径,且 2SC  ,则此棱锥的体积为( ) A. 2 6 B. 3 6 C. 2 3 D. 2 2 ( 10 ) 已 知 函 数    sin , 08f x x x R        的 最 小 正 周 期 为  , 为 了 得 到 函 数   cosg x x 的图象,只要将  y f x 的图象( ) A.向左平移 3 4  个单位长度 B.向右平移 3 4  个单位长度 C.向左平移 3 16  个单位长度 D.向右平移 3 16  个单位长度 (11)已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     有相同的焦点 F ,点 A 是两 曲线的一个交点,且 AF x 轴,则双曲线的离心率为( ) A. 2 2 B. 5 1 C. 3 1 D. 2 1 (12)已知函数 2 2 , 2 ( ) ( 2) , 2 x x f x x x       ,函数 ( ) (2 )g x b f x   ,其中b R .若函数 ( ) ( )y f x g x  恰有 4 个零点,则b 的取值范围是( ) A. 7 ,4     B. 7, 4     C. 70, 4      D. 7 ,24      第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知实数 ,x y 满足不等式组 0, 1, 0, x y x y x        则 2z x y  最大值是___________. (14)执行如图所示的程序框图,则输 出的 a  ___________. (15)函数 ( ) lnxf x e x 在点(1,0)处的切线方程是 . (16)已知直线 : 3 3 0l nx y n    与圆 2 2 12x y  交于 A B、 两点,过 A B、 分 别 作 l 的 垂 线 与 x 轴 交 于 C D、 两 点 , 若 2 3AB  , 则 CD  ___________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分) 已知 A B C、 、 为 ABC 的三内角,且其对边分别为 a b c、 、 ,若 1cos cos sin sin 2B C B C  . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 2 3a  , 4b c  ,求 ABC 的面积. (18)(本小题满分 12 分) 已知正项数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 nS 是 1 与 na 的等差中项. (Ⅰ)求数列 na 的通项公式; (Ⅱ)求数列 1 2 n na a        的前 n 项和 nT . (19)(本小题满分 12 分) 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动,随机对该市 18~68 岁的人群抽取一个容量 为 n 的样本,并将样本数据分成五组:         18 28 28 38 38 48 48 58 58 68 ,、 、 、 、 、 、 、 、 、 ,再将其按从 左到右的顺序分别编号为第 1 组,第 2 组,…,第 5 组,绘制了样本的频率分布直方图;并对回答 问题情况进行统计后,结果如下表所示. (Ⅰ)分别求出 a , x 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各抽取多 少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率. (20)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD 是直角梯形, AB AD , / /AB CD , PC  底面 ABCD , 2 2 4AB AD CD   , 2PC a , E 是 PB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EAC  平面 PBC ; (Ⅱ)若二面角 P AC E  的余弦值为 6 3 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正 弦值. (21)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的一个顶点为 (2,0)A ,离心率为 2 2 ,直线 ( 1)y k x  与椭圆 C 交于不同的两点 M N、 . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当 AMN 的面积为 10 3 时,求 k 的值. (22)(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ( 2) xf x ax e  在 1x  处取得极值. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 ( )f x 在 , 1m m  上的最小值; (Ⅲ)求证:对任意  1 2, 0,2x x  ,都有 1 2( ) ( )f x f x e  . 2016—2017 学年度下学期阶段测试(一) 高二年级理科数学试卷答案 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B D B A B C D B A C D D 1.解析:因为  1 2B x    ,所以 A B   0,1 ,故选 B. 2.解析:因为 / /a b   ,所以  2 1 3 2 0x x    ,所以 1x  ,故选 D. 3.解析:由线面平行的性质定理可知答案为 B. 4.解析:将三视图还原得到的四棱锥底面为矩形,一侧面垂直于底面,故 1 6 2 3 123V      .故选 A. 5.解析:由图像可得  0, 0,1 , 1a b c   ,故选 B. 6.解析:因为 2 4 1 1 1 21a a q a q   ,所以 2 2q  ,所以 3 5 7a a a   42.故选 C. 7.解析: ' (1 )xy e x  ,因为 ( )f x 在  , 1  为单调减函数,在  1,  为单调增函数,所以 1x   为 ( )f x 的极小值. 故选 D. 8. 解析:因为    1,2 , 2,2C D  ,所以矩形 ABCD 的面积为 6,阴影部分的面积为 3 2 , 所以若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 1 4 ,故选 B. 9.解析:如图在三棱锥 S ABC 中,取 ABC 的中心 D , SC 的中点 O ,连结 CD BD OB、 、 , D 是 ABC 的外心,所以 3 3BD  ,又 O 是球心,所以 OD ABC 平面 , 1OB  , 2 61 3OD OB   ,所以高 2 6 3h  ,则 1 3 2 6 2 3 4 3 6V     ,故选 A. 10. 解 析 : 由 T  得 2  , 3 3 3( ) sin(2 ) cos (2 ) cos( 2 ) cos(2 ) cos28 2 8 8 8 16f x x x x x x                        故选 C. 11. 解析:因为 2 p c ,所以  ,2A c c 代入双 曲线 2 2 2 2 1x y a b   ,整理可得 4 2 2 46 0c a c a   ,即 4 26 1 0e e   ,所以 2 3 2 2e   ,双曲线的离心率 1e  ,所以 2 1e   ,故选 D. 12. 解 析 : 函 数 ( ) ( )y f x g x  恰 有 4 个 零 点 , 即 方 程 ( ) ( ) 0f x g x  , 即 ( ) (2 )b f x f x   有 4 个不同的实数根,即直线 y b 与函数 ( ) (2 )y f x f x   的图像 有 4 个不同的交点.又 2 2 2, 0 ( ) (2 ) 2,0 2 5 8, 2 x x x y f x f x x x x x               作出函数的图像如图所示, 由图可知,当 7 24 b  时,直线 y b 与函数 ( ) (2 )y f x f x   的图像有 4 个不同的交点,故函数 ( ) ( )y f x g x  恰有 4 个零点时, b 的取值范围是 7 ,24      .故选 D 二、填空题: 13. 2 14. -4 15. ( 1)y e x  16. 4 13. 解析:因为可行域为三角形,     1 10 0,0 , 0,1 , ,2 2A B      ,所以将点 A 代入 2z x y  最大值是 2, 故填 2. 14. 解 析 : ① 1 40, 1, 1, 2b a i      ; ② 5 52 40, , , 32 2b a i      ; ③ 3 40, 4, 4, 4b a i      ; ④ 4 40, 1, 1, 5b a i      , … … , 周 期 为 3. 39 40, 4, 4, 40b a i      .故填-4. 15. 解析: ' 1(ln )xy e x x   , '(1)k f e  ,切线为 ( 1)y e x  .故填 ( 1)y e x  . 16. 解析:设圆心到直线 : 3 3 0l mx y m    的距离为 d ,则弦长 22 12 2 3AB d   得 3d  即 2 3 3 3 1 m m    解得 3 3m   ,则直线 : 3 6 0l x y   ,数形结合可得 4cos30 ABCD   .故填 4. 三、解答题: 17. 解:(1)∵ 1cos cos sin sin 2B C B C  , ∴ 1cos( ) 2B C  ,又∵ 0 B C    ,∴ 3B C   . ∵ A B C    ,∴ 2 3A  .-----------5 分 (2)由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   • , 得 2 2 2(2 3) ( ) 2 2 cos 3b c bc bc     • ,即 112 16 2 2 ( )2bc bc   • ,∴ 4bc  , ∴ 1 1 3sin 4 32 2 2ABCS bc A   • • • -------------10 分 18. 解:(1) 1n  时, 1 1a  , 2n  时, 2 1 14 ( 1)n nS a   ,又 24 ( 1)n nS a  ,两式相减得 1 1( )( 2) 0n n n na a a a     , ∵ 0na  , ∴ 1 2n na a   , ∴ na 是以1为首项, 2 为公差的等差数列,即 2 1na n  .-------------6 分 (2) 1 2 2 (2 1)(2 1)n na a n n    , ∴ 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )3 3 5 2 1 2 1nT n n         … 11 2 1n    = 2 2 1 n n  .-----------12 分 19. 解:(1)第 1 组人数 ,所以 , ------- 1 分 第 2 组频率为: ,人数为: ,所以 , ------ 2 分 第 4 组人数 ,所以 , ------------ 3 分 (2)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 ,所以第 2,3,4 组每组应各依次抽取 人, 人,1 人 -- -------6 (3)记“所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖”为事件 A,抽取的 6 人中,第 2 组的设为 , ,第 3 组的设为 , , ,第 4 组的设为 , 则从 6 名幸运者中任取 2 名的所有可能的情况 有 15 种,它们是: , , , , , , , , , , , , , , . ----- 8 分 其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种,他们是:A= , , , , , , , , . -------------- 9 分 . -------------------------------- 11 分 答:所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为 ----------------- 12 分 20. 解:(Ⅰ) 平面 平面 因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 平面 .因为 平面 ,所以平面 平面 .----------6 分 (Ⅱ)如图, 以点 为原点, 分别为 轴、 轴、 轴正方向,建立空间直角坐标系,则 .设 ,则 取 ,则 为面 法向量. 设 为面 的法向量,则 , 即 ,取 ,则 依题意 ,则 .于是 . 设 直线 与平面 所成角为 ,则 即直线 与平面 所成角的正弦值为 .-------------12 分 21.解:(1) 22, , 2, 22 ca e c ba      ,椭圆 C: 2 2 14 2 x y  .----------4 分 (2)设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ,则由 2 2 ( 1) 14 2 y k x x y     消 y 得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k     . ∵直线 ( 1)y k x  过椭圆内点(1,0) ∴ 0 恒 成 立 , 由 根 与 系 数 的 关 系 得 2 2 1 2 1 22 2 4 2 4,1 2 1 2 k kx x x xk k     ,------------8 分   1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 112 2 42 16 24 2 1 2 10 3 AMNS y y kx kx k x x x x k k k               ------------11 分 即 2 27 2 5 0k k   ,解得 1k   。-----------12 分 22.解:(1) ' ( ) ( 2) ( 2)x x xf x ae ax e ax a e      , 由已知得 ' (1) 0f  ,即 (2 2) 0a e  ,解得 1a  。------ ----2 分 (2) ( ) ( 2) xf x x e  , ' ( ) ( 2) ( 1)x x xf x e x e x e     。 令 ' ( ) 0f x  得 1x  ;令 ' ( ) 0f x  得 1x  , 所以函数 ( )f x 在 ,1 上单调递减,在 1, 上单调递增。 1 当 1m  时, ( )f x 在 , 1m m  上单调递增, min( ) ( ) ( 2) mf x f m m e   ; 2 当 0 1m  时 , 1 1m m   , ( )f x 在  ,1m 上 单 调 递 减 , 在  1, 1m  上 单 调 递 增 , min( ) (1)f x f e   ; 3 当 0m  时, 1 1m   , ( )f x 在 , 1m m  上单调递减, 1 min( ) ( 1) ( 1) mf x f m m e     。 综上, ( )f x 在 , 1m m  上的最小值 min 1 ( 2) , 1, ( ) ,0 1, ( 1) , 0. m m m e m f x e m m e m           ------------8 分 (3)由(2)知 ( ) ( 2) xf x x e  , ' ( ) ( 1) xf x x e  , 令 ' ( ) 0f x  得 1x  。因为 (0) 2, (1) , (2) 0f f e f     , 所以  0,2x 时, max min( ) 0, ( )f x f x e   。 所以对任意  1 2, 0,2x x  都有 1 2 max min( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x f x f x e    --------------12 分
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