新教材数学人教B版必修第二册课件：6-3-4　平面向量数乘运算的坐标表示

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精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 第六章　平面向量及其应用 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 第 一 篇 教 材 过 关 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 首都北京的中轴线是北京的中心标志,也是世界上现存最长的城市中轴线,在 北京700余年的建筑格局上,中轴线起着相当重要的作用,但是科学家们发现 “中轴线”并不是“正南正北”的朝向,即它并没有和子午线重合. 情景导学 精读教材·必备知识 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 问题1:如何判断两条直线平行或重合呢? 问题2:两向量是否共线又如何判断呢? 答案　利用平行向量定理. 答案　利用平行线的判定与性质. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1.平面向量数乘运算的坐标表示 教材研读 文字描述 符号表示 向量 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,λ≠0 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原 来向量的① λa=② 相应坐标 (λx1,λy1) 共线 向量共线的充要条件是存在实 数λ,使③ ④ a=λb x1y2-x2y1=0 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 特别提醒 向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因 此要理解并熟记这一公式,可简记为纵横交错积相减. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思考:能否写成 = ?1 1 y x 2 2 y x 提示　不能,因为x1,x2有可能为0. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.线段常见的分点 分点坐标 线段端点 设P1(x1,y1),P2(x2,y2) 二等分点 中点 ⑤  三等分点 靠近P1   靠近P2   1 2 1 22x x 2y y,3 3       1 2 1 2x 2x y 2y,3 3       精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究一　向量数乘运算的坐标表示 互动探究·关键能力 例1　(1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为  ( 　) A.-2,1　 B.1,-2 C.2,-1　 D.-1,2 (2)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求下列各向量. ①3a;②2a+5b;③a-4b. D 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)因为a=(1,2),b=(2,3), c=(3,4),c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2), 所以  解得λ1=-1,λ2=2. (2)①3a=3(-1,2)=(-3,6). ②2a+5b=2(-1,2)+5(3,-5)=(-2,4)+(15,-25)=(13,-21). ③a-4b=(-1,2)-4(3,-5)=(-13,22). 1 2 1 2 2 3, 2 3 4, λ λ λ λ      精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 向量的坐标运算 (1)主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后进行向量的坐 标运算,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. (3)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算 法则. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 1-1　设向量α=(1,0),β=(0,1),γ=(4,5),若γ=λ(3α+2β)+μ(2α-β),其中λ,μ∈R,则λ2+μ2 =　　　 . 解析　由已知可得γ=(3λ+2μ)α+(2λ-μ)β=(3λ+2μ,2λ-μ), 又γ=(4,5), 所以  解得  所以λ2+μ2=5. 3 2 4, 2 - 5, λ μ λ μ     2, -1, λ μ    5 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究二　向量共线的坐标表示 例2　(1)已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵 坐标为  (　　) A.-13　 B.9　 C.-9　　13 (2)已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=　　　 . C 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)设C(6,y),∵  ∥  , 又  =(-8,8),  =(3,y+6), ∴-8×(y+6)-3×8=0,∴y=-9. (2)因为a=(1,2),b=(2,3), 所以λa+b=(λ,2λ)+(2,3) =(λ+2,2λ+3). 因为向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线, 所以-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,解得λ=2. AB  AC  AB  AC  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 1.向量共线的判定方法 三点共线问题的实质是向量共线问题.   精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.利用向量的坐标运算求参数 用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标,利用点的位置确定其横、纵坐标 应满足的条件,建立关于参数的方程(组)进行求解. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 2-1　已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量  与  平行吗?直线AB平行于直 线CD吗? AB  CD  解析　根据题意知  =(1-(-1),3-(-1))=(2,4),  =(2-1,7-5)=(1,2).AB  CD  ∵2×2-4×1=0,∴  ∥  . 又  =(2,6),  =(2,4), AB  CD  AC  AB  ∴2×4-2×6≠0, ∴A,B,C三点不共线, ∴AB与CD不重合,∴AB∥CD. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2-2 (2020 山东淄博七中高一期中)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2, -2),C(4,1). (1)若  =  ,求D点的坐标; (2)设向量a=  ,b=  ,若ka-b与a+3b平行,求实数k的值. AB  CD  AB  BC  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)设D(x,y), ∵A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1), 又  =  , ∴(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1), ∴(1,-5)=(x-4,y-1), ∴  解得x=5,y=-4, ∴D(5,-4). AB  CD  -4 1, -1 -5, x y    精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 (2)∵a=  =(1,-5),b=  =(2,3), ∴ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k,-5k)-(2,3)=(k-2,-5k-3), a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(1,-5)+(6,9)=(7,4). ∵ka-b与a+3b平行, ∴7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得k=- , ∴实数k的值为- . AB  BC  1 3 1 3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究三　向量共线的应用 例3 (易错题)已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且|  |=2|  |,求点P 的坐标. AP  PB  解析　设点P的坐标为(x,y), ∵|  |=2|  |, ∴P在线段AB上时,  =2  , AP  PB  AP  PB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), ∴  解得  ∴点P的坐标为  ; 当P在线段AB的延长线上时,   =-2  , -3 -2-2 , 4 4-2 , x x y y     1,3 0, x y     1,03      AP  PB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), ∴  解得  ∴点P的坐标为(-5,8). 综上所述,点P的坐标为  或(-5,8). -3 2 2 , 4 -4 2 , x x y y       -5, 8, x y    1,03      精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 变式训练 1.(变条件)若将本例条件“|  |=2|  |”改为“  =3  ”,其他条件不变,求点 P的坐标. AP  PB  AP  PB  解析　设点P的坐标为(x,y). 因为  =3  ,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y), 所以  解得  所以点P的坐标为  . AP  PB  -3 -3-3 , 4 6-3 , x x y y     0, 1 ,2 x y   10, 2      精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.(变条件)若将本例条件改为“经过点P(-2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A,B, 且|  |=3|  |”,求点A,B的坐标. AB  AP  解析　由题设知,A,B,P三点共线, 且|  |=3|  |.设A(x,0),B(0,y). ①点P在A,B之间,则有  =3  , AB  AP  AB  AP  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴(-x,y)=3(-2-x,3),∴  解得x=-3,y=9, 点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9). ②点P不在A,B之间,则有  =-3  , 易得点A,B的坐标分别为  ,(0,-9). 综上,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9)或  ,(0,-9). - -6-3 , 9, x x y    AB  AP  3- ,02      3- ,02      精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 易错点拨 常因点的位置考虑不全而造成过程性失分. 在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可以根据几何问题转化为 向量问题后解方程(组)求解,同时应注意分类讨论. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 3-1　已知两点P1(3,2),P2(-8,3),点P  满足  =λ  ,求λ及y的值.1 ,2 y     1PP  2PP  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　因为  =  =  ,   =  =  , 又  =λ  , 所以  =λ  , 根据向量相等, 1PP  1 -3, -22 y     5- , -22 y     2PP  1-8- ,3-2 y     17- ,3-2 y     1PP  2PP  5- , -22 y     17- ,3-2 y     得  解得  5 17- - ,2 2 -2 (3- ), λ y λ y     5 ,17 49.22 λ y     精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1.若向量a=(  ,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是(　　 ) A.c=(  ,-1)　 B.e=(-1,-  ) C.d=(-  ,-1)　 D.f=(-1,  ) 3 3 3 3 3 课堂检测 评价检测·素养提升 D 解析　因为a+2b=(  ,-3)=-  (-1,  ),所以向量a+2b与(-1,  )是共线向量.3 3 3 3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.设点P是P1(1,-2),P2(-3,5)连线上一点,且  =- ·  ,则点P的坐标为  (　 　) A.(5,-9)　 B.(-9,5) C.(-7,12)　 D.(12,-7) 2P P  1 2 1PP  解析　设P(x,y),∵  =-   ,∴P2是P1P的中点,∴-3=  ,5=  , 解得x=-7,y=12,∴P(-7,12). 2P P  1 2 1PP  1 2 x -2 2 y C 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 3.(多选题)已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标可能是   (　 　) A.(-9,6)　 B.(-1,-2) C.(-7,-2)　 D.(6,-9) ABD 解析　设C(x,y),则  =(x-3,y+6),  =(-8,8). ∵A,B,C三点在同一条直线上,∴ =  ,即x+y+3=0,将四个选项分别代入x+y +3=0验证可知A,B,D符合要求. AC  AB  -3 -8 x 6 8 y  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 4.已知a=(2,1),b=(x,-1),且(a-b)与b共线,则|x|=　　 　 .2 解析　由题知a-b=(2-x,2),∵(a-b)∥b, ∴(2-x)×(-1)-2x=0,解得x=-2, ∴|x|=2. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 5.设O是坐标原点,  =(k,12),  =(4,5),  =(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共 线? OA  OB  OC  解析　∵  =(k,12),  =(4,5),  =(10,k),∴  =  -  =(4-k,-7),OA  OB  OC  AB  OB  OA    =  -  =(10-k,k-12),又A,B,C三点共线,∴由两向量平行的充要条件,得(4-k) (k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11, 即当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线. AC  OC  OA  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 逻辑推理——方程思想在平面几何中的应用 已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求直线AC与OB交点P的坐标.   素养演练 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　解法一:由O,P,B三点共线,得  ∥  , 可设  =λ  =(4λ,4λ), 则  =  -  =(4λ-4,4λ),   =  -  =(-2,6). 由A,P,C三点共线,得  ∥  , ∴(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ= , ∴  =   =(3,3), OP  OB  OP  OB  AP  OP  OA  AC  OC  OA  AP  AC  3 4 OP  3 4 OB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴点P的坐标为(3,3). 解法二:设点P(x,y),则  =(x,y),  =(4,4). ∵P、B、O三点共线, ∴  ∥  ,∴4x-4y=0. 又A(4,0),C(2,6),O(0,0), ∴  =  -  =(x,y)-(4,0)=(x-4,y),   =  -  =(2,6)-(4,0)=(-2,6). ∵P、A、C三点共线, OP  OB  OP  OB  AP  OP  OA  AC  OC  OA  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴  ∥  ,∴6(x-4)+2y=0, ∴  解得  ∴点P的坐标为(3,3). 素养探究:利用线段相交,得到三点共线,转化为向量共线,利用方程思想求解, 过程中体现了逻辑推理核心素养. AP  AC  4 -4 0, 6( -4) 2 0, x y x y     3, 3. x y    精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 针对训练 　如图,在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),  =   ,  =   ,AD与BC交 于点M,求点M的坐标.   OC  1 4 OA  OD  1 2 OB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　∵点O(0,0),A(0,5),B(4,3), ∴  =(0,5),  =(4,3). 设C(x1,y1),∵  =   =  , ∴x1=0,y1= , ∴点C的坐标为  . 同理可得点D的坐标为  . 设点M的坐标为(x,y),则  =(x,y-5), OA  OB  OC  1 4 OA  50, 4      5 4 50, 4      32, 2      AM  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升   =  . 且A,M,D三点共线,∴  ∥  , ∴- x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.① ∵  =  ,   =  =  . 且C,M,B三点共线, ∴  ∥  , AD  72,- 2      AM  AD  7 2 CM  5, - 4x y     CB  54-0,3- 4      74, 4      CM  CB  精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴ x-4  =0,即7x-16y=-20.② 由①②,得x= ,y=2, ∴点M的坐标为  . 7 4 5- 4y     12 7 12 ,27     