2018届二轮复习（理）专题二　三角函数与平面向量第3讲学案（全国通用）

2018届二轮复习（理）专题二　三角函数与平面向量第3讲学案（全国通用）

第3讲　平面向量 高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A.－2 B.－ C.－ D.－1‎ 解析　如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0).设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝‎ ‎(－1－x，－y)，＝(1－x，－y).‎ 所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－.‎ 当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值为－.‎ 答案　B ‎2.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ 解析　|a＋2b|2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2‎ ‎＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，‎ ‎∴|a＋2b|＝＝2.‎ 答案　2 ‎3.(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(‎ λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________.‎ 解析　·＝3×2×cos 60°＝3，＝＋，则·＝·(λ－)‎ ‎＝·－2＋2＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝.‎ 答案　 ‎4.(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解　(1)∵a∥b，∴3sin x＝－cos x，‎ ‎∴3sin x＋cos x＝0，即sin＝0.‎ ‎∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，∴x＋＝π，∴x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝3cos x－sin x＝－2sin.‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x－∈，‎ ‎∴－≤sin≤1，∴－2≤f(x)≤3，‎ 当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；‎ 当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.‎ 考 点 整 合 ‎1.平面向量的两个重要定理 ‎(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2‎ 是一组基底.‎ ‎2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎3.平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝‎ .‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝.‎ ‎4.平面向量的三个锦囊 ‎(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).‎ ‎(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).‎ ‎(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.‎ 热点一　平面向量的有关运算 ‎【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ ‎(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.‎ 解析　(1)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，‎ 所以a·b＝m×1＋1×2＝0，得m＝－2.‎ ‎(2)＝＋＝＋ ‎＝＋(－)＝－＋，‎ ‎∵＝λ1＋λ2，‎ ‎∴λ1＝－，λ2＝，‎ 因此λ1＋λ2＝.‎ 答案　(1)－2　(2) 探究提高　对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.‎ ‎【训练1】 (2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A.2 B. C. D. 解析　法一　如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1，1).‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝，‎ ‎∴解之得故λ＋μ＝.‎ 法二　以，作为基底，‎ ‎∵M，N分别为BC，CD的中点，‎ ‎∴＝＋＝＋，‎ ＝＋＝－，‎ 因此＝λ＋μ＝＋，‎ 又＝＋，‎ 因此解得λ＝且μ＝.‎ 所以λ＋μ＝.‎ 答案　D 热点二　平面向量的数量积 命题角度1　平面向量数量积的运算 ‎【例2－1】 (1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2‎ C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________.‎ 解析　(1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOI3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OB·，‎ 即I1>I3.∴I30)，与f(x)图象的对称轴x＝相邻的f(x)的零点为x＝.‎ ‎(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝1，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值.‎ 解　(1)f(x)＝sin 2ωx－＋ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin，‎ 由于与f(x)图象的对称轴x＝相邻的零点为x＝，‎ 得·＝－＝，‎ 所以ω＝1，则f(x)＝sin.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，B＝，‎ 易知A∩B＝，‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ ‎(2)f(C)＝sin＝1.‎ 因为0

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