【数学】2019届一轮复习苏教版参数方程和极坐标方程学案

【数学】2019届一轮复习苏教版参数方程和极坐标方程学案

‎ 讲练测之核心热点 【江苏版】‎ 热点二十二 参数方程和极坐标方程 ‎【名师精讲指南篇】‎ ‎【高考真题再现】‎ 例1 【2013江苏高考】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为 ，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.‎ 因为直线的参数方程为，（为参数），由，得代入 得到直线的普通方程为.‎ 同理求得曲线的普通方程为.‎ 联立方程组，解得公共点的坐标为，.‎ 例2 【2014江苏高考】‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.‎ ‎【答案】 ‎【解析】直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.‎ 例3 【2015江苏高考】已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.‎ ‎【答案】 ‎【解析】先根据将圆C的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径.‎ ‎【热点深度剖析】‎ ‎1. 江苏高考中，本知识点考查的主要内容有：极坐标与参数方程的基本概念、公式的理解与掌握.特别是极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，以及参数方程的简单应用是本知识点考查的重中之重.‎ ‎2. 重点掌握将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，体会参数思想和数形结合思想的应用，明确解析几何的精髓.‎ ‎3.预计16年极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化是考查重点内容.‎ ‎【最新考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ ‎ iyuan u ‎ 坐标系与参数方程　　‎ 坐标系的有关概念　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.‎ 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.‎ 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.‎ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.‎ 简单图形的极坐标方程　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 参数方程　　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 直线、圆及椭圆的参数方程　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 参数方程与普通方程的互化　　‎ ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ 参数方程的简单应用 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1.平面直角坐标系中的伸缩变换： ‎2.极坐标系 ‎（1）极坐标系的概念：平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.‎ ‎（2）直角坐标与极坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,则极坐标与直角坐标的互化公式如表:‎ 点 直角坐标 极坐标 互化公式 ‎（3） 常见曲线的极坐标方程：‎ 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 过极点,倾斜角为的直线 ‎(1) ‎(2) 过点,与极轴垂直的直线 过点,与极轴平行的直线 ‎3、参数方程 ‎（1）参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.‎ ‎（2）参数方程和普通方程的互化：‎ 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.‎ ‎（3）常见曲线的参数方程：‎ ‎①圆的参数方程为 （为参数）；‎ ‎②椭圆的参数方程为 （为参数）；‎ ‎③双曲线的参数方程 （为参数）；‎ ‎④抛物线参数方程 为参数）；‎ ‎⑤过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）。‎ ‎【应试技巧点拨】‎ 1、 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 ‎ 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴正半轴重合，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化，极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造的形式，其中方程两边同乘以或同时平方是常用的变形方法，要注意变形的等价性。‎ ‎2、参数方程与普通方程的互化方法 ‎ iyuan u ①将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝1等；②将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．‎ ‎3、利用参数方程解决问题的方法 ‎①过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．‎ ‎②对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎③解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．‎ ‎【考场经验分享】‎ ‎1.目标要求：极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，以及参数方程的简单应用是本知识点考查的重中之重.‎ ‎2.注意问题：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．利用直线参数方程t的几何意义解题先化为标准形式后才能利用．‎ ‎3.经验分享：点到直线距离公式，椭圆参数方程是常用知识点 ‎【名题精选练兵篇】‎ ‎1. 【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．‎ ‎【答案】5．‎ ‎2. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ 在极坐标系中，已知点的极坐标为，圆的极坐标方程为，‎ 试判断点和圆的位置关系 ‎【答案】点在圆外 ‎【解析】‎ 试题分析：先根据将点的极坐标化为直角坐标为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 ‎，再根据点A到圆心距离得点在圆外. ‎ 试题解析：解：点的直角坐标为， ………2分 圆的直角坐标方程为， …………6分 则点到圆心的距离，‎ 所以点在圆外. ‎ ‎3. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ ‎4. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】（坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆 的一条准线的交点位于轴上,求实数的值.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：利用加减消元得直线普通方程：，利用平方关系消参数得椭圆普通方程，得准线：，因此，即 试题解析：解：直线：， ‎ 椭圆:， …………………………5分 准线： ‎ 由得， …………………………10分 资*源 库5. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)‎ 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C所截得的弦长．‎ ‎【答案】.‎ ‎6. 【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】在极坐标系中，求圆上的点到直线（）距离的最大值.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ ‎7.【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015一模】选修4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分10分)‎ 己知直线 的参数方程为（t为参数）,圆C的参数方程为.(a>0. 为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线的距离的最大值为，求a的值。‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：利用代入法消去参数，得直线的普通方程为．利用三角函数平方关系消去参数得圆的普通方程为．根据点到直线距离公式得圆的圆心到直线的距离，从而，解得.‎ 试题解析：因为直线的参数方程为,‎ 消去参数，得直线的普通方程为．……………………………………3分 又因为圆的参数方程为（为参数），‎ 所以圆的普通方程为．………………………………………………6分 因为圆的圆心到直线的距离，……………………………………………8分 故依题意，得，‎ 解得. ……………………………………………………………………………10分 考点：点到直线距离公式 ‎8.【扬州2015一模】已知曲线C1的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为，求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标 ‎【答案】 试题解析：由，得曲线的直角坐标系的方程为, ……3分 ‎ 由，得曲线的普通方程为, ……7分 ‎ 由，得，即（舍去）或，‎ 所以曲线与曲线交点的直角坐标为． ……10分 考点：极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程 ‎9.【南京盐城2015一模】（选修4-4：坐标系与参数方程）（本题满分10分）‎ 在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离.‎ ‎【答案】 考点：极坐标化直角坐标，点到直线距离公式 ‎10.【镇江2015一模】(选修4-4：坐标系与参数方程)‎ 已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为为参数）.‎ ‎（1）请分别把直线和圆的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线被圆截得的弦长.‎ ‎【答案】（1）（2）16‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用化简得，利用消参数得（2）利用点到直线距离得所以直线被圆截得的弦长 试题解析：（1）由 ，得 ，即. ……4分 圆的方程为. ……6分 ‎（2），‎ 弦长. ……10分 考点：极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程，点到直线距离 ‎11.【泰州2015一模】（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）‎ 己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，直线与圆相交于两点，求弦的长．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 考点：极坐标方程化为直角坐标，参数方程化普通方程，直线与圆位置关系 ‎12.【苏州2015一模】选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数a的值.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：由化圆与直线为直角坐标方程和2x + 4 y + a = 0 ，再根据 圆与直线相切，得圆心到切线距离为半径：，解得： 试题解析：r2 = 3rcosq，圆 r= 3 cosq的普通方程为：‎ x2 + y 2 = 3x, 即，………………………3 分 直线 2rcosq+ 4rsinq+ a = 0 的普通方程为：2x + 4 y + a = 0 ， …………………6 分 又圆与直线相切，所以解得： ……………10 分 考点：直线与圆相切 ‎13.【常州2015一模】选修4—4：坐标系与参数方程 已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程.‎ ‎【答案】（）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：求轨迹方程，先设动点的坐标，利用建立等量关系，消去参数得轨迹方程，再根据参数范围确定轨迹范围：又 所以，.‎ 试题解析：设，则 ………………………2分 两式平方相加得． ………………………5分 又 所以，. ………………………8分 所以动点轨迹的普通方程为（）．………………………10分 考点：消参法求轨迹方程 ‎【名师原创测试篇】‎ ‎1.已知直线C1: （t为参数），曲线C2: (θ为参数).‎ ‎(I)当a=时,求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(II)过坐标原点0作C1的垂线,垂足为A, P为OA中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（1，0），；‎ ‎ （Ⅱ）P点轨迹的普通方程为．轨迹是圆心为，半径为的圆．‎ ‎2.曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.‎ ‎（1）求曲线和直线的普通方程；‎ ‎（2）为曲线上任意一点，求点P到直线的距离的最值.‎ ‎【答案】（1）C2：，； （2） ‎【解析】（Ⅰ）C2：（为参数），即C2：， ‎（Ⅱ），由点到直线的距离公式得 ‎3.已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ 分析：（1）把给出的参数方程移项后两边平方作和即可化为普通方程；把给出的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y即可化极坐标方程为普通方程；‎ ‎（2）联立方程组求解交点的直角坐标，然后直接化为极坐标．‎ 解析：将消去参数,化为普通方程, ‎ 即:,将代入得, ‎ ‎, ‎ ‎∴的极坐标方程为; ‎ ‎(Ⅱ)的普通方程为, ‎ 由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),. ‎ ‎4.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点 的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.‎ ‎(1)求的值及直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.‎ 分析：（1）由点在直线上可以直接求出的值，利用互化公式求出直线的直角坐标方程；（2）消去圆C的参数得出圆的普通方程，然后利用圆心到直线的距离与半径比较大小，从而判断出直线与圆的位置关系. ‎ ‎5.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线l的极坐标方程为。‎ ‎（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；‎ ‎（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求的值。‎ 分析：（1）利用极坐标系与直角坐标系的互化关系得出点P和直线l的直角方程，从而进行判断位置关系；（2）由直线的直角方程写出直线的参数方程，利用直线参数方程的几何意义求出的值.‎ 解析：：（1）直线即 · 直线的直角坐标方程为，点在直线上。 ‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为 将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，‎ 有，‎ 设两根为， ‎