【数学】2021届一轮复习人教A版高考数学立体几何解答题100题作业

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立体几何解答题题库 ‎1.‎ 如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=AB=AC =3，平面平面PAB，且与棱PC，AC，BC分别交于P1，A1，B1三点．‎ ‎（1）过A作直线l，使得，，请写出作法并加以证明；‎ ‎（2）若将三棱锥P-ABC分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体P1A1B1C的体积更小），D为线段B1C的中点，求四棱锥A1-PP1DB1的体积． ‎ ‎2.‎ 如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．‎ ‎(1)求四棱锥P-ABCD的体积；‎ ‎(2)证明：BD∥平面PEC；‎ ‎(3)线段BC上是否存在点M，使得AE⊥PM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎3.如图1所示，平面多边形CDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，AB=2EF =2,沿着AB将图形折成图2，其中为AD的中点.‎ ‎ （Ⅰ）求证：EH⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥D-ABFE的体积.‎ ‎4.‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面底面ABCD，，.‎ ‎（1）证明：：；‎ ‎（2）点M在棱PC上，且，若三棱锥的体积为，求实数的值.‎ ‎5.‎ 已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，，M、N分别是AD、PB的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。‎ ‎6.‎ 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC，E是BC的中点.‎ ‎（1）求证：平面AB1E⊥平面B1BCC1；‎ ‎（2）求证：A1C∥平面AB1E．‎ ‎7.‎ 如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且和均为等腰直角三角形，且90°．‎ ‎（Ⅰ）若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；‎ ‎（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G-ABE与三棱锥G-ADF的体积之比．‎ ‎8.‎ 如图，四边形ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，且平面ACEF⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥CH；‎ ‎（Ⅱ）若AB=BD=2，AE=，CH=，求三棱锥F-BDC的体积.‎ ‎9.‎ 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2,‎ BC= EF =1,,DE=3,，G为BC的中点.‎ ‎（1）求证：FG∥平面BED；‎ ‎（2）求证：BD⊥平面AED；‎ ‎（3）求点F到平面BED的距离.‎ ‎10.‎ 如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥B-SAD的体积.‎ ‎11.‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，， ‎ ‎∠BAD＝∠CDA＝90°，．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；‎ ‎（2）求直线PB与平面PAD所成的角；‎ ‎（3）在棱PC上是否存在一点E使得直线BE∥平面PAD，若存在求PE的长，并证明你的结论．‎ ‎12.‎ 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，.‎ ‎（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；‎ ‎（2）若，且，求三棱锥C1-ABC的体积.‎ ‎13.‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，．‎ ‎（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎（2）若，M为线段PC的中点，求三棱锥C-MBD的体积。‎ ‎14.‎ 如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q．‎ ‎（1）证明：PQ∥平面ABCD；‎ ‎（2）若CD⊥BE，EF＝EC＝1，，求五面体ABCDFE的体积．‎ ‎15.‎ ‎ 如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，，，BC=1，，，E为CD的中点.‎ ‎（1）求证：BC∥平面SAE；‎ ‎（2）求三棱锥S-BCE与四棱锥S-BEDA的体积比.‎ ‎16.‎ 如图示，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD， ‎ 底面ABCD是矩形，，E、F分别CD、PB的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求证：EF⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅲ）设, 求三棱锥P-AEF的体积. ‎ ‎17.‎ 如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，，，，QD⊥平面ABCD，，，.‎ ‎（1）求证：平面PAB⊥平面QBC； ‎ ‎（2）求该组合体QPABCD的体积.‎ ‎18.‎ 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．‎ ‎(1)证明：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)证明：平面PDC⊥平面PAD；‎ ‎(3)求四棱锥P—ABCD的体积．‎ ‎19.‎ 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：B1C∥平面A1BD；‎ ‎(Ⅱ)若，‎ 求三棱锥A1-ABD的体积.‎ ‎20.‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形, PA⊥平面ABCD,E为PB中点,.‎ ‎(1).求证: PD∥平面ACE;‎ ‎(2).求三棱锥E-ABC的体积。‎ ‎ ‎ ‎21.‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．　‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；‎ ‎（2）若， E为棱CD的中点，，BC=2，求四面体A-PED的体积．‎ ‎22.‎ 如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，点E在棱CS上，且CE＝λCS．‎ ‎（1）若，证明：BE⊥CD；‎ ‎（2）若，求点E到平面SBD的距离．‎ ‎23.‎ 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，‎ AD =2AB=2BC，M为边AD的中点，CB1⊥底面ABCD.‎ ‎⑴ 求证：C1M∥平面A1ABB1；‎ ‎⑵ 平面B1BM⊥平面ACB1.‎ ‎24.‎ 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，‎ ‎，.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面平面；‎ ‎(Ⅱ)若,求点到平面的距离.‎ ‎25.‎ 四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，，，，△SAD为正三角形．‎ ‎（1）点M为棱AB上一点，若平面，‎ ‎，求实数的值；‎ ‎（2）若，求点B到平面SAD的距离．‎ ‎26.‎ ‎（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E是侧棱PC上的动点 ‎（1）求证：平面PAC⊥平面BDE．‎ ‎（2）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．‎ ‎27.‎ ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，四棱锥P－ABCD的体积为9，求四棱锥P－ABCD的侧面积.‎ ‎28.‎ 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，，点E，F分别为棱AB，PD的中点。‎ ‎（1）求证：AE∥平面PCE；‎ ‎（2）求证：平面PCE⊥平面PCD ‎29.‎ ‎（本题满分12分）‎ 如图1，已知直角梯形ABCD中，，AB//DC，AB⊥AD，E为CD的中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置（D折后变为P），使得PB=2，如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAE⊥平面ABCE；‎ ‎（Ⅱ）求点B到平面PCE的距离．‎ ‎30.‎ 如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且.‎ ‎（1）求证：SO⊥平面ABCD；‎ ‎（2）设是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A-PCD的体积.‎ ‎31.‎ 如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示． (Ⅰ)求证：EM∥平面ABC； (Ⅱ)求出该几何体的体积．‎ ‎ ‎ ‎32.‎ 如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，，，D，‎ E分别为AB和BB′上的点，且．‎ ‎（1）当D为AB中点时，求证：A′B⊥CE；‎ ‎（2）当D在AB上运动时，求三棱锥A′-CDE体积的最小值． ‎ ‎33.‎ 正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，点M是EC中点.‎ ‎（I）求证：BM∥平面ADEF； （II）求三棱锥M－BDE的体积.‎ ‎34.‎ 如图,在底面是正三角形的直三棱柱中,,D是BC的中点．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积．‎ ‎35.‎ 如图，在四棱锥E-ABCD中，,，点F为棱DE的中点.‎ ‎（1）证明：AF∥平面BCE； ‎ ‎（2）若，求三棱锥B-CEF的体积.‎ ‎36.‎ 如图，在矩形ABCD中，，PA⊥平面ABCD，，F为PA的中点.‎ ‎（1）求证：DF∥平面PEC；‎ ‎（2）记四棱锥C- PABE的体积为V1，三棱锥P-ACD的体积为V2，求.‎ ‎37.‎ 如图，在三棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，点P在底面ABCD内的正投影为点M，且M为AD的中点.‎ ‎（1）证明： AB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎38.‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=AD，CD=BC.‎ ‎（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎（2）若∠BAD=120°，∠BCD=60°，且PB⊥PD，求二面角B-PC-D的平面角的大小.‎ ‎39.‎ 如图，在各棱长均为4的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，E为棱BB1上一点.‎ ‎（1）证明：平面ACE⊥平面BDD1B1；‎ ‎（2）在图中作出点A在平面A1BD内的正投影H（说明作法及理由），并求三棱锥B-CDH的体积.‎ ‎40.‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，M，N分别为线段PC，AD的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥面PNB；‎ ‎（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积.‎ ‎41.‎ 在如图所示的几何体中，PB∥EC，PB =2CE=2，PB⊥平面ABCD，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°．‎ ‎（1）求证：AC∥平面PDE；‎ ‎（2）求CD与平面PDE所成角的正弦值．‎ ‎42.‎ 在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，PA =AD=DC=2AB=2，PD =AC，E是棱PC的中点，且BE⊥CD.‎ ‎（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）求点P到平面BDE的距离.‎ ‎43.‎ 已知平面四边形PABC中，中，，现沿AC进行翻折，得到三棱锥P-ABC，点D，E分别是线段BC，AC上的点，且DE∥平面PAB.‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）当D是BC中点时，求证：平面ABC⊥平面PDE.‎ ‎44.‎ 如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，点M在线段PC上，且PM=2MC，O为AD的中点.‎ ‎（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，且AB=2，求三棱锥P-OBM的体积.‎ ‎45.‎ ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，.‎ ‎（Ⅰ）证明：直线AC⊥平面PBD；‎ ‎（Ⅱ）若=1，，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎46.‎ ‎（本小题满分14分）‎ 如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎47.‎ ‎（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：PE⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.‎ ‎48.‎ ‎（本小题满分13分）‎ 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．‎ ‎49.‎ ‎（12分）‎ 如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．‎ ‎（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．‎ ‎50.‎ 如图，在多边形中，，，，，是线段上的一点，且，若将沿折起，得到几何体.‎ ‎（1）试问：直线与平面是否有公共点？并说明理由；‎ ‎（2）若，且平面平面，求三棱锥的体积．‎ ‎51.‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是菱形，∠BAD=600 ，AB=PD=2，O为AC与BD的交点.‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥PB；‎ ‎（Ⅱ）若点E是PB的中点，求三棱锥E—ABC的体积.‎ ‎52.‎ 如图，在三棱锥P-ABC中，为AC的中点.‎ ‎（1）证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）若点M在棱BC上，且，求点C到平面POM的距离.‎ ‎53.‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离．‎ ‎54.‎ ‎（12分）‎ 如图，在三棱锥P-ABC中， ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．‎ ‎（1）证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．‎ ‎55.‎ 已知直角梯形ABCD中，，∥，，，E为AB的中点，过E作EF∥AD，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF.‎ ‎（1）若为的中点，求证：∥面； （2）若，试求多面体的体积. ‎ ‎56.‎ ‎（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．‎ ‎（Ⅰ）若∥平面，求；‎ ‎（Ⅱ）平面将三棱柱分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．‎ ‎57.‎ 多面体ABCDEF中，，，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，， M，N分别是AB，DF的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎58.‎ 如图，四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是平行四边形，, 平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，M是AD 中点．‎ ‎(1)求证：平面PMB⊥平面PAD；‎ ‎(2)证明：∠PDC >∠PAB，且△PDC与△PAB的面积相等.‎ ‎59.‎ 如图，三棱锥中，，，是等边三角形且以为轴转动.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当三棱锥体积最大时，求它的表面积.‎ ‎60.‎ 如图，在三棱锥S - ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点.‎ ‎(I)证明: AC⊥SO;‎ ‎(Ⅱ)求点C到平面SAB的距离.‎ ‎61.‎ 中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形，，，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒，其中重合于点，与重合，与重合，与重合，与重合（如图所示）．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）已知，过作交于点，求的值．‎ ‎62.‎ 如图1，是边长为3的等边三角形，在边上，在边上，且.将沿直线折起，得四棱锥，如图2.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面底面，求三棱锥的体积.‎ ‎63.‎ 如图所示，和所在平面互相垂直，且，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎64.‎ 如图，四棱柱的底面为菱形，且.‎ ‎（1）证明：四边形为矩形；‎ ‎（2）若，平面，求四棱柱的体积.‎ ‎65.‎ ‎ 如图（1）所示，长方形ABCD中，AB=2AD，M是DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM，如图（2）所示，在图（2）中，‎ ‎（1）求证：BM ⊥平面ADM；‎ ‎（2）若AD =1，求三棱锥B-MCD的体积.‎ ‎66.‎ 如图所示，正三棱柱ABC - A1B1C1的高为2，点D是A1B的中点，‎ 点E是B1C1的中点. ‎ ‎（1）证明：DE∥平面ACC1 A1；‎ ‎（2）若三棱锥E - DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长.‎ ‎67.‎ ‎ 如图，已知四棱锥，底面为菱形，，‎ ‎,平面，分别是的中点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若为的中点时，与平面所成的角最大，‎ 且所成角的正切值为，求点A到平面的距离。‎ ‎68.‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．‎ ‎ （Ⅰ）证明PC∥平面EBD；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角A—BE—D的正切值．‎ ‎69.‎ 如图，已知四棱锥P -ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠ADC =90°，且AD =2BC =2CD，PA =PB =PD．‎ ‎（1）求证：平面PAD丄平面ABCD；‎ ‎（2）若∠PAD=45°且PA=，E，F分别是PA，PC的中点，求多面体PEBFD的体积．‎ ‎70.‎ 如图，在三棱锥中，，点为边的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱柱的体积.‎ ‎71.‎ 如图，已知四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为直角梯形，FA⊥AB，AD=AF=FE=1，AB=2，AD⊥BE.‎ ‎（Ⅰ）求证：BE⊥DE； ‎ ‎（Ⅱ）求点F到平面CBE的距离.‎ ‎72.‎ 如图，直三棱柱中，M是AB的中点.‎ ‎（1）证明：BC1∥平面MCA1；‎ ‎（2）若，，求点C1到平面MCA1的距离.‎ ‎73.‎ 在四棱锥P—ABCD中，AD⊥AB，AD∥BC，△PDA，△PAB都是边长为1的正三角形.‎ ‎（1）证明：平面PDB⊥平面ABCD；‎ ‎（2）求点C到平面PAD的距离.‎ ‎74.‎ 已知多面体ABCDEF中，四边形ABFE为正方形，为AB的中点，．‎ ‎（1）求证： AE⊥平面CDEF；‎ ‎（2）求六面体ABCDEF的体积．‎ ‎75.‎ 如图，平面平面，四边形是菱形，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）在上有一点，使得，求的值.‎ ‎76.‎ 如图，直三棱柱中，，，分别是的中点．‎ ‎（1）证明：平面平面； ‎ ‎（2）求三棱锥的高．‎ ‎77.‎ 如图，垂直于菱形所在平面，且，，点、分别为边、的中点，点是线段上的动点.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）当三棱锥的体积最大时，求点到面的距离.‎ ‎78.‎ 如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎79.‎ 如图所示的几何体中，平面平面,为直角三角形， ，四边形为直角梯形，，，，，. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得 ‎，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎80.‎ 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC边上，且DE=1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD'的体积．‎ ‎81.‎ 如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠BAD=.‎ ‎（1）求证：平面BCF∥平面AED；‎ ‎（2）若BF=BD=a，求四棱锥A-BDEF的体积.‎ ‎ ‎ ‎82.‎ 如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB=2FD=a．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥AC；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．‎ ‎83.‎ ‎ 如图，在底面为矩形的四棱锥中，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎ （2）若，平面平面，‎ 求三棱锥与三棱锥 的表面积之差.‎ ‎84.‎ 如图，是圆柱的上、下底面圆的直径，是边长为2的正方形，是底面圆周上不同于两点的一点，.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎85.‎ 如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，，垂足分别为，，四边形为菱形，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求该几何体的体积.‎ ‎86.‎ 如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.‎ ‎（1）求证：BC⊥平面ACFE；‎ ‎（2）求多面体ABCDEF的体积.‎ ‎87.‎ 在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ ‎88.‎ ‎ 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CD∥AB,AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,侧棱AA1⊥平面ABCD.且点M是AB1的中点.‎ ‎(1)证明:CM∥平面ADD1A1；‎ ‎(2)求点M到平面ADD1A1的距离. ‎ ‎89.‎ 如图所示，已知圆的直径长度为4，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求点D到平面PBC的距离.‎ ‎90.‎ 如图，在四棱锥中，为钝角三角形，侧面垂直于底面，，点 是的中点，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．‎ ‎91.‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．‎ ‎（1）求证：平面CMN∥平面PAB；‎ ‎（2）求三棱锥P﹣ABM的体积．‎ ‎92.‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC中点O为球心，AC为直径的球面交线段PD（不含端点）于M．‎ ‎（1）求证：面ABM⊥面PCD；‎ ‎（2）求三棱锥P﹣AMC的体积．‎ ‎93.‎ 如图，边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，AF∩BC=O，DE=，ED∥AF且∠DAF=90°‎ ‎（1）求证：DE⊥平面BCE ‎（2）过O作OH⊥平面BEF，垂足为H，求二面角H﹣AE﹣O的余弦值．‎ ‎94.‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．‎ ‎（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；‎ ‎（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．‎ ‎ ‎ ‎95.‎ 如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)求正四棱锥的高，使得该四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍.‎ ‎96.‎ 已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=AD=2，平面AED⊥平面ABCD，△AED 为等边三角形，EF∥AB，EF=，M为线段BC的中点。‎ ‎（I）求证：直线MF∥平面BED；‎ ‎（II）求平面BED与平面FBC所成角的正弦值；‎ ‎（III）求直线BF与平面BED所成角的正弦值。‎ ‎97.‎ 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，点分别为的中点.‎ ‎(1)求证：直线∥平面；‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎98.‎ 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，点是上一点.‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)若是中點，求三棱椎的体积.‎ ‎99.‎ 如图，直棱柱的棱长都为，点为棱的中点，点在棱上，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎100.‎ 如图,在四棱锥中,棱底面,且,,, 是的中点.‎ ‎(1)求证:平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ 立体几何解答题题库答案 ‎1.‎ ‎（1）作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线．‎ 证明如下：，且，平面．‎ 平面平面，且平面，平面平面．‎ 平面，．‎ 又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线．‎ ‎（2）将三棱锥分成体积之比为的两部分，‎ 四面体的体积与三棱锥分成体积之比为，‎ 又平面平面，．‎ 易证平面，则到平面的距离即为到平面的距离，‎ 又为的中点，到平面的距离，‎ 故四棱锥的体积．‎ ‎2.‎ ‎(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，‎ PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，‎ ‎∴VP－ABCD＝PA×SABCD＝×4×4×4＝. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 ‎（2）证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF，‎ ‎∵EB∥PA，且EB＝PA，‎ 又OF∥PA，且OF＝PA，∴EB∥OF，且EB＝OF，‎ ‎∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD.‎ 又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分 解法二：‎ 可取PA的中点Q,证明平面PEC∥平面BDQ.BD⊂平面BDQ.所以BD∥平面PEC.‎ ‎(3)存在，点M为线段BC上任意一点. 证明如下：‎ 连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，‎ ‎∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，‎ ‎∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE.‎ 又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，‎ ‎∴点M为线段BC上任意一点，均可使得AE⊥PM. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分 ‎3.‎ ‎（Ⅰ）在梯形中,∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∵.‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴.（4分）‎ ‎∵平面平面,平面平面,∴平面.‎ ‎ （Ⅱ）在中,,∴.‎ 分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系, 设,则,,,‎ ‎,,则,,易知平面的一个法向量为,‎ ‎∵平面的法向量为,∴即令,则,,‎ ‎∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为,‎ ‎∴,解得,即.（10分）‎ 所以六面体的体积为：‎ ‎.（12分）‎ ‎4.‎ ‎（1）证明：取AD的中点O，连OC,OP ‎∵为等边三角形，且O是边AD 的中点 ‎∴‎ ‎∵平面底面，且它们的交线为AD ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎（2）设点M到平面ACD的距离为 ‎∵‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎5.‎ ‎（I）连PM、MB ∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥MD ‎∴PM=BM 又PN=NB ∴MN⊥PB 得NC⊥PB ∴PB⊥平面MNC ‎ 平面PBC ‎∴平面MNC⊥平面PBC ‎（II）取BC中点E，连AE，则AE//MC∴AE//平面MNC，‎ A点与E点到平面MNC的距离相等 取NC中点F，连EF，则EF平行且等于BN ‎ ‎∵BN⊥平面MNC ∴EF⊥平面MNC，EF长为E 点到平面MNC的距离 ∵PD⊥平面ABCD，‎ 又BC⊥DC 面 ∴BC⊥PC.‎ ‎ ‎ ‎ 即点A到平面MNC的距离为 ‎6.‎ ‎（2）连接A1B，设A1B∩AB1=F，连接EF．‎ 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，‎ 所以F为A1B的中点． ‎ 又因为E是BC的中点，‎ 所以EF∥A1C． ‎ 因为EF在平面AB1E内，A1C不在平面AB1E内，‎ 所以A1C∥平面AB1E． ‎ ‎7.‎ 证明：（1）∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，‎ 又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，‎ ‎∴BC⊥平面AEBF， ……………（2分）‎ 又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF. ……………（3分）‎ ‎∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B，‎ ‎∴AF⊥平面BCF. ……………（5分）‎ 又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF. ………………………………（6分）‎ ‎（2）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.‎ ‎∵和均为等腰直角三角形，且90°，‎ ‎∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF，‎ ‎∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.‎ 延长EB到点H，使得BH =AF，又BC AD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形，‎ ‎∴HFABCD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF.‎ 过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF）‎ ‎∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点. ………………………………（9分）‎ 又BE=，∴EG=，又，‎ ‎，‎ 故..………………………………（12分）‎ ‎8.‎ ‎（1）证明：四边形为菱形 ‎，………………1分 又面面=‎ ‎………………2分 面面C………………3分 ‎,………………4分 ‎………………5分 ‎………………………………6分 ‎（2）在中，‎ 所以,………………6分 ‎………………8分 ‎，‎ ‎,………………9分 ‎…………………………………. 10分 又,,,‎ ‎∴CH⊥平面BDF. . . . . . . . . . . . . 12分 ‎……………………………14分 ‎9.‎ ‎（1）证明：取BD的中点O，连接OE，OG 在中，因为G是BC的中点，‎ 所以OG∥DC且，……………1分 因为EF∥AB，AB∥DC，，‎ 所以EF∥OG且，……………………2分 所以四边形是平行四边形，所以∥， ………………………3分 又平面，平面，‎ 所以∥平面． ……………………………4分 ‎（2）证明：在中，，，，‎ 由余弦定理得， …………………………5分 因为，‎ 所以. …………………………6分 因为平面平面，平面,平面平面，‎ 所以平面. ……………………………7分 ‎（3）解法1：由（1）∥平面，‎ 所以点F到平面的距离等于点G到平面的距离， ……………………8分 设点G到平面的距离为，‎ 过E作，交的延长线于M， ‎ 则平面，所以是三棱锥的高． ……………………9分 由余弦定理可得，‎ ‎ 所以,. …………………………10分 ‎ .‎ ‎ 因为，………………………………11分 即，解得. ‎ ‎ 所以点F到平面的距离为． ………………………………12分 解法2：因为∥，且,‎ 所以点F到平面的距离等于点A到平面的距离的， ……………8分 由（2）平面.‎ 因为平面，所以平面平面．‎ 过点作于点，又因为平面平面，故平面.‎ 所以为点到平面的距离．…………………9分 在中，，‎ 由余弦定理可得 所以， …………………10分 因此， ……………………………………………………11分 所以点F到平面BED的距离为． ………………………………………………12分 ‎10.‎ ‎（1）设为的中点，连接，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 又平面，且，‎ 平面，又平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）连接，在中，∵，，为的中点，‎ ‎∴为正三角形，且，，‎ ‎∵在中，，为的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∵在中，，∴为直角三角形，且，‎ ‎∴又，且，∴平面.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎11.‎ 证明(1)因为∠BAD＝∠CDA＝90°，‎ 所以,四边形ABCD为直角梯形,‎ 又满足 ‎ 又 ‎ ‎ 又 ,‎ ‎,‎ 所以平面PAD⊥平面PBC……………………4分 ‎(2)30°…………………………………8分 ‎(3)存在E为PC中点,即 满足条件……………………………12分 ‎12.‎ ‎（1)证明：∵四边形是菱形，∴,∵,‎ ‎∴平面，又平面，∴．∵,是的中点，∴，∵，∴平面 …………… ……6分 ‎（2）菱形的边长为，又是等边三角形，则.‎ 由（1）知，，又是的中点，，又是等边三角形，则.在中，……9分 ‎ ……………12分 ‎13.‎ ‎（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴. ‎ 又∵平面ABCD，平面ABCD，∴．　‎ 又，平面，平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）解： ‎ ‎14.‎ ‎（1）证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）解：由CD⊥BE，CD⊥CB，易证CD⊥CE，‎ 由BC⊥CD，BC⊥FD，易证BC⊥平面CDFE，所以CB⊥CE，‎ 即CD，CE，CB两两垂直．‎ 连接FB，FC，则CD＝2，BC＝3，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎15.‎ ‎（1）证明：因为，，，‎ 所以，，‎ 在△ACD中，，，，‎ 由余弦定理可得：‎ 解得：CD=4‎ 所以，所以△ACD是直角三角形，‎ 又为的中点，所以 又，所以△ACE为等边三角形，‎ 所以，所以，‎ 又AE平面SAE，平面SAE，‎ 所以BC∥平面SAE.‎ ‎（2）解：因为平面，‎ 所以同为三棱锥与四棱锥的高.‎ 由（1）可得，，‎ 所以.‎ ‎.‎ 所以 故：三棱锥与四棱锥的体积比为1:4.‎ ‎16.‎ ‎（Ⅰ）取PA的中点G，连FG，由题可知：BF=FP,则FG //AB ‎ FG = AB ,又CE= ED ，可得：DE//AB 且DE = AB ，‎ FG //DE 且FG = DE ,四边形DEFG为平行四边形，则EF //DG ‎ 且EF =DG ,DGÌ平面PAD；EFË平面PAD， EF//平面PAD¼¼¼4分 ‎（Ⅱ）由PD ^平面ABCD ，PD Ì平面PAD ， 平面PAD^平面ABCD，‎ 且交线为AD，又底面ABCD是矩形， BA ^ AD，BA ^ 平面PAD ，‎ 平面PAB^平面PAD,其交线为PA ，又PD=AD，G为PA的中点，DG ^ PA，‎ DG ^平面PAB ，由（Ⅰ）知：EF // DG , EF^平面PAB¼¼¼8分 ‎（Ⅲ）由AB=BC=得：BC =1, AB = ,AD=PD=1,‎ ‎ F 为PB的中点，‎ = = = =‎ ‎= = ¼¼¼¼12分 ‎17.‎ ‎(1)见解析；（2）.‎ 解：（1）证明：∵，，∴，‎ 又∵，∴，‎ 又，，，，‎ ‎∴，又∵，‎ ‎∴平面. --------------------------5‎ ‎18.‎ ‎（1）证明：∵平面PAD垂直矩形平面ABCD ，∴CD⊥平面PAD 取DC中点H，连接EH，EH⊥CD，连接FH，则FH⊥CD 则CD⊥平面EHF，∴平面EHF//平面PAD，又EF∈平面EHF ∴EF平行PAD； …………4分 （2）证明：∵平面PAD垂直矩形平面ABCD ，角CDA=90度，CD⊥平面PAD，又平面PAD∩平面PDC于PD，又DC∈平面PDC，∴平面PDC垂直平面PAD………8分 ‎（3） …………12分 ‎19.‎ ‎（1）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1中点，‎ ‎20.‎ ‎（1）证明:连接,交于,连接.‎ ‎ ∵四边形ABCD为正方形 ∴F为BD的中点 ∵E为PB的中点, ∴EF∥PD又∵面,面,‎ ‎∴PD∥平面. （2）.取AB中点为G,连接EG.‎ ‎∵E为PB的中点,‎ ‎∴EG∥PA ‎∵平面ABCD,‎ ‎∴平面ABCD,‎ 即是三棱锥的高,‎ 在中,,,则,,‎ ‎∴三棱锥的体积为.‎ ‎21.‎ ‎（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.‎ ‎∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，‎ ‎∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB. ‎ ‎∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD. ‎ ‎∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎（Ⅱ）取BC的中点O，连接OP、OE. ‎ ‎∵平面，∴，∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO平面PBC，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，∵AE平面ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE⊥AE.‎ ‎∵PO∩PE=P，∴AE⊥平面POE，∴AE⊥OE. ‎ ‎∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD,‎ ‎∴，∴．‎ ‎∵，，，∴，‎ ‎．‎ P C B A E D O ‎22.‎ ‎（1）证明：因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EF∥SD且DF＝1．‎ 因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，‎ 所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．‎ 又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，‎ 所以SA⊥CD，AD⊥CD．‎ 因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，‎ 所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．‎ 因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．‎ 又BE平面BEF，所以CD⊥BE．‎ ‎（2）解：由题设得，，‎ 又因为，，，‎ 所以，‎ 设点C到平面SBD的距离为h，则由VS—BCD＝VC—SBD得，‎ 因为，所以点E到平面SBD的距离为．‎ ‎23.‎ 证明：（1）∵几何体为四棱柱，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ 即∥，且，……………2分 又∵底面为等腰梯形，∴∥，‎ 即∥， ………………………3分 又∵，且为边的中点，‎ ‎∴，即，……………4分 则四边形为平行四边形，即∥， ………………………………5分 又∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面， ……………………………………………………7分 ‎（2）∵∥，且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ 又∵，∴四边形为茭形，则⊥， ……………9分 ‎ 又∵⊥底面，且底面，∴⊥， ……………11分 又∵，且平面，平面，‎ ‎∴⊥平面， ……………………………………………………13分 又∵底面，∴平面⊥平面 ……………………………14分 ‎24.‎ ‎（Ⅰ）证明：取中点，连接 可知且 ‎ 又,在有 又，,‎ 即 ………………………3分 又平面,平面 平面， ………………………5分 又平面 平面平面 ………………………6分 ‎（Ⅱ）设点到平面的距离为 ‎,‎ ‎ 又平面平面，‎ 且平面平面 面 ………………………8分 ‎ ………………………9分 在中有，‎ ‎ …………………10分 ‎，‎ 所以点到平面的距离为 .………………………12分 ‎25.‎ ‎（1）因为平面SDM，‎ 平面ABCD，‎ 平面SDM 平面ABCD=DM，‎ 所以，‎ 因为，所以四边形BCDM为平行四边形，又，所以M为AB的中点．‎ 因为，．‎ ‎（2）因为， ，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面，‎ 平面平面，‎ 在平面内过点作直线于点，则平面，‎ 在Rt△SEA和Rt△SED中，‎ 因为，所以，‎ 又由题知，‎ 所以， ‎ 由已知求得，所以，‎ 连接BD，则，‎ 又求得△SAD的面积为，‎ 所以由点B 到平面的距离为．‎ ‎26.‎ ‎（1）由已知，平面ABCD，‎ ‎∵平面，‎ 又∵，∴平面．‎ 因平面EBD，则平面平面BDE． ‎ ‎（2）法1：记AC交BD于点O，连PO，‎ 由（1）得平面平面BDP，且交于直线PO，‎ 过点E作于H，则平面PBD，‎ ‎∴为BE与平面PBD所成的角． ‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴． ‎ 又，则．‎ 于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是． ‎ 法2：（等体积法）∵，‎ ‎∴E点到平面PBD的距离为． ‎ 又，则．‎ 于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是．‎ ‎27.‎ ‎（1）‎ 又 又 ‎（2）设，则.‎ 过作,为垂足，‎ ‎ 为中点.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 四棱锥P-ABCD的侧面积为：‎ ‎,‎ ‎。‎ ‎28.‎ 解：（1）如图，取的中点，连接，，所以为的中位线，所以，.‎ 因为四边形为矩形，为的中点，所以，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为底面，所以，.又，，所以平面，又平面，所以.‎ 在中，，‎ 所以为等腰直角三角形，所以，又是的中点，所以.‎ 又，故，‎ 又，所以平面.‎ ‎29.‎ 解：（Ⅰ）如图，取AE的中点O，连接PO，OB，BE．‎ 由于在平面图形中，如题图1，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形，‎ ‎∴在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，‎ ‎∴PO⊥AE，OB⊥AE，PO=OB=，‎ ‎∵PB=2，∴，‎ ‎∴PO⊥OB………………………………………………………………3分 又，∴平面PO⊥平面ABCE，‎ ‎∵PO平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCD……………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PO⊥AE，OB⊥AE，，故AE⊥平面POB．‎ ‎∵PB平面POB，∴AE⊥PB，又BC//AE，∴BC⊥PB．‎ 在Rt△PBC中，‎ 在△PEC中，PE=CE=2，‎ ‎∴………………………………9分 设点B到平面PCE的距离为d，由，‎ 得…………………………12分 ‎30.‎ ‎（1）证明：底面是棱形，对角线，‎ 又平面平面，‎ 又为中点，平面.‎ ‎（2）连平面平面，平面平面，‎ ‎，在三角形中，是的中点，是的中点，取的中点，连，‎ 则底面，且，‎ 在直角三角形中，，‎ 在直角三角形中，，，‎ ‎.‎ ‎31.‎ ‎(Ⅰ)证：∵M为DB的中点，取BC中点G，连接EM、MG、AG，则 MG∥DC，且 2分 ∴MG∥AE且MG = AE 4分 故四边形AGME为平行四边形，∴EM∥AG 6分 又AG⊂平面ABC，EMË平面ABC，∴EM∥平面ABC． 8分 ‎(Ⅱ)解：由己知，AE = 2，DC = 4，AB⊥AC，且AB = AC = 2 ∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB 又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE ∴AB是四棱锥B－ACDE的高 10分 梯形ACDE的面积 ‎ ∴，即所求几何体的体积为4． 12分 ‎32.‎ ‎（1）证明：∵为的中点，故为的中点，三棱柱为直三棱柱，‎ ‎∴平行四边形为正方形，∴， ‎ ‎∵，为的中点，∴，‎ ‎∵三棱柱为直三棱柱，‎ ‎∴平面，又平面，∴， ‎ 又，∴平面，‎ ‎∵平面，∴． ...............................6分 ‎ ‎（2）设，则 由已知可得到平面的距离即为的边所对的高， ‎ ‎∴‎ ‎∴当，即为的中点时，有最小值18． ...............................12分 ‎ ‎33.‎ ‎34.‎ ‎（1）连接交于点O由题意知O为的中点,D为BC中点，所以，因为平面， 平面，所以 平面 …………6分 ‎ ‎（2）。 …………12分 ‎ ‎35.‎ 解法一：（1）证明：取的中点，连接.‎ 因为点为棱的中点，‎ 所以且，‎ 因为且 ，‎ 所以且，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以， ‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 因为,平面，平面,‎ 所以平面. ‎ 因为点为棱的中点，且，‎ 所以点到平面的距离为2. ‎ ‎.‎ 三棱锥的体积.‎ 解法二：（1）证明：在平面内，分别延长，交于点. ‎ 因为， ‎ 所以为中点. ‎ 又因为为的中点，‎ 所以. ‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）同解法一.‎ 解法三：（1）证明：取棱的中点，连接， ‎ 因为点为棱的中点，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面； ‎ 因为，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面； ‎ 又因为,平面，平面，‎ 所以平面平面； ‎ 因为平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）同解法一. ‎ ‎36.‎ ‎（1）连接EF，∵，∴四边形ABEF为平行四边形，∴，‎ 在矩形ABCD中，，∴，∴四边形CDFE为平行四边形，‎ ‎∴.∴平面.‎ ‎（2）连接PB，由题意知，，‎ ‎∴.‎ ‎37.‎ 解：（1），‎ 由余弦定理得，，‎ 故 又点在底面内的正投影为点，平面，又平面 ‎，又平面，‎ ‎（2）连接平面平面 又为的中点，‎ 设，则 ‎，即 ‎，又 在等腰中，‎ 梯形的面积为 ‎.‎ ‎38.‎ 解：（1）证明：‎ 点在线段的中垂线上，即有 又平面，而平面，‎ 又平面平面平面 ‎（2）设，由（1）可知，可建立如图空间直角坐标系，‎ 不妨设，又，易知，，而 ‎，‎ ‎，在中，，‎ 则 设平面的法向量为，则，而 ‎，不妨设，则可取 同理可得平面的法向量为 设二面角的平面角为 则二面角的平面角为.‎ ‎39.‎ 解：（1）证明：∵底面为菱形，∴.‎ 在直四棱柱中，底面，∴.‎ ‎∵，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：设与交于点，连接，‎ 过作，为垂足，即为在平面内的正投影.（若只是作图而不写作法，则不给分）‎ 理由如下：‎ ‎∵平面，∴，‎ 又，，∴平面，‎ ‎∴，又，∴平面.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，由得，‎ 过作，垂足为，由得.‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎40.‎ 证明：（Ⅰ）连BD，由已知⊿ABD和⊿PAD都是边长为2的正三角形 又N为AD的中点，∴AD⊥PN, AD⊥BN, ∴AD⊥面PBN ‎（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，且交于AD,又PN⊥AD,∴PN⊥面ABCD,∴PN⊥NB 由⑴知BC//AD, AD⊥面PBN，∴BC⊥面PBN.又M为PC中点，‎ ‎41.‎ ‎（1）证明：连接交于，取中点，连接，，‎ 因为，，又，‎ 所以，，从而，平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）解：连接，可计算得，，，，，设点到平面的距离为，‎ 则由，，‎ 得，所以由，‎ 知，所以，‎ 所以与平面所成角的正弦值为．‎ ‎42.‎ ‎（Ⅰ）取中点，连接，‎ 由已知,故为平行四边形，‎ 所以 ，因为，故.‎ 又，所以，‎ ‎，所以.‎ 由已知可求，，所以，‎ 所以，又，所以.‎ ‎（Ⅱ）已知是棱的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ 由（Ⅰ）知，所以在直角三角形中，，， ‎ ‎ 在中，，，又，‎ ‎ 所以，所以.‎ 所以 的面积为.‎ 三棱锥的体积为，‎ 三棱锥的体积，‎ 又，所以，，‎ 故点到平面的距离为.‎ ‎43.‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，‎ 平面平面，所以 因为平面，平面，所以平面 ‎（2）因为是的中点，，所以为的中点.‎ 又因为，所以 又，，所以，‎ ‎，平面，，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎44.‎ ‎(Ⅰ)∵PA=PD，AO=OD,∴PO⊥AD， ‎ 又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BO⊥AD， ‎ PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB ‎ 又AD⊂平面PAD，∴平面POB⊥平面PAD； ‎ ‎（Ⅱ）方法一 ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD， ‎ ‎∵ 平面ABCD ‎ ∴PO⊥OB ‎ ‎∵为等边三角形， ,∴，‎ ‎∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴‎ ‎∴ ‎ 由(Ⅰ) AD⊥平面POB∴BC⊥平面POB ‎ ‎∴‎ 方法二 ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD， ‎ ‎∵为等边三角形， ,∴，‎ ‎∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，‎ 由(Ⅰ)BO⊥AD∴ ‎ ‎∵PM=2MC ‎∴‎ ‎45.‎ ‎（Ⅰ）连接交与 ------1分 ‎， ------3分 ‎, -------4分 直线⊥平面 -------5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得-------6分 ‎ -------7分 ‎ -------8分 ‎ -------9分 ‎ -------10分 ‎ -------11分 ‎ -------12分 ‎46.‎ 证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点，‎ 所以. ..............4分 又平面，平面，‎ 所以平面. ..............6分 ‎（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，‎ 又，即，而面，且，‎ 所以面. ..............8分 而面，所以，‎ 又是正方形，所以，而面，且，‎ 所以面. .............12分 又面，所以面面. ..............14分 ‎47.‎ ‎（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.‎ ‎∵底面为矩形，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.‎ ‎∵平面平面，∴平面.‎ ‎∴.又, ‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅲ）如图，取中点，连接.‎ ‎∵分别为和的中点，∴，且.‎ ‎∵四边形为矩形，且为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎48.‎ 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．‎ ‎（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．‎ 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．‎ 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．‎ 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．‎ 所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．‎ 在Rt△CAD中，CD==4．‎ 在Rt△CMD中，．‎ 所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．‎ ‎49.‎ 解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．‎ 因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．‎ 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．‎ 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．‎ 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．‎ ‎（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．‎ 证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．‎ 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．‎ MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．‎ ‎50.‎ 解：（1）直线与平面没有公共点，理由如下：‎ 连接，交于点，连接．　‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，即直线与平面没有公共点.‎ ‎（2）∵平面平面，平面平面，平面，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，平面，平面，∴平面，‎ ‎∴三棱锥的高等于点到平面的距离，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎51.‎ ‎ （Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD ‎ AC ‎ ∴PD⊥AC ………………2分 ‎ ∵四边形ABCD是菱形 ‎ ∴BD⊥AC ………………3分 ‎ 又且PD，BD ‎ ‎ ∴AC⊥面PBD，PB ‎ ‎ ∴AC⊥PB. ………………6分 ‎ （Ⅱ）解：∵O是菱形ABCD对角线的交点 ‎ ∴O是BD的中点 ‎ ∵E是PB的中点 ‎ ∴OE是ΔBPD的中位线，即OE∥PD，且OE=‎ ‎ ∵PD⊥平面ABCD ∴OE⊥平面ABCD ‎ ∴OE为三棱锥E—ABC的高 ………………9分 ‎ ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=600 ，‎ ‎ ∴BC=AB=2，∠ABC=1200 ‎ ‎ ∴==‎ ‎ ∴ ………………12分 ‎ ‎52.‎ 解：‎ ‎（1）因为为的中点，所以，‎ 且．连结，因为，所以为等腰直角三角形，且，‎ 由知，，‎ 由，知平面；‎ ‎（2）作，垂足为，‎ 又由（1）可得，所以平面，‎ 故的长为点到平面的距离．‎ 由题设可知，‎ 所以．‎ 所以点到平面的距离为．‎ ‎53.‎ ‎（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，‎ ‎∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．‎ EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；————————————-—————5分 ‎（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，‎ ‎∴V==，∴AB=，PB==．‎ 作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，‎ 故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：‎ A到平面PBC的距离．————————————————————————12分 ‎ ‎ ‎54.‎ 解：‎ ‎（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．‎ 连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．‎ 由知，OP⊥OB．‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．‎ ‎（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．‎ 所以OM=，CH==．‎ 所以点C到平面POM的距离为．‎ ‎55.‎ 证明：（1）取的中点，连接，，因为∥，，且，所以，且GH∥EB，所以四边形为平行四边形，EG∥BH，面，故 ∥面.‎ 解：（2）因为面面，所以，，两两垂直，连接，所求的几何体分为两部分，四棱锥与三棱锥，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴多面体AD-BCFE体积为2×=‎ ‎56.‎ 解：（Ⅰ）取中点为，连结， 1分 ‎∵分别为中点 ‎∴∥∥，∴四点共面， 3分 且平面∩平面 又平面，且∥平面∴∥ 5分 ‎∵为的中点，∴是的中点，∴． 6分 ‎（Ⅱ）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，∴，‎ 又，则平面 设，又三角形是等腰三角形，所以.‎ 如图，将几何体补成三棱柱，∴几何体的体积为：‎ ‎ 9分 又直三棱柱体积为： 10分 故剩余的几何体棱台的体积为： 11分 ‎∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：． 12分 ‎57.‎ ‎（1）证明：取的中点，连接 因为分别是的中点，所以在菱形中，，‎ 在中，‎ 又，所以，‎ ‎，所以平面平面，‎ 平面，所以平面.‎ ‎（2）证明：连结，‎ 是边长为2的等边三角形，所以，，‎ 四边形是菱形，∴，∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴‎ 又，所以平面 平面，所以平面平面.‎ ‎58.‎ 解：(1)△PAD是边长为2的等边三角形, M是AD中点 PM⊥AD, PM平面PAD 又平面PAD⊥底面ABCD ‎ 平面PAD∩底面ABCD=AD ‎∴PM⊥底面ABCD 又BM底面ABCD, PM⊥BM, △PMB是直角三角形 ‎ 在等边△PAD中，PM=，又PB=， MB=‎ ‎∠BAD=60○, 在△ABM中, 由余弦定理：MB2 = AM2+AB2-2AM×AB×cos60○‎ 得：AB2 - AB -2=0, 即AB=2， △ABD也是等边三角形，‎ BM⊥AD 平面PAD∩底面ABCD=AD ‎ BM底面ABCD ‎ ‎∴BM⊥平面PAD 又BM平面PMB 平面PMB⊥平面PAD ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知底面ABCD是菱形. 连接CM, 在△DMC中，∠MDC=120○,‎ 由余弦定理：MC2 = MD2+CD2-2MD×CD×cos120○ =12+ 22-2×1×2×=7‎ 得： MC=， 在直角形△PMC中， ：PC2 =PM2+MC2=‎ 在△PDC中，由余弦定理：‎ 在△PAB中，由余弦定理：‎ ‎, ，余弦函数在是减函数 ‎∠PDC >∠PAB， ‎ 而， ‎ ‎，即△PDC与△PAB面积相等. ‎ ‎(注：没有通过计算出面积，能够说明面积相等原因的，仍然是满分)‎ ‎59.‎ ‎（1）证明：取的中点，连接，，‎ ‎；‎ ‎（2）解：，‎ ‎∴若最大，则最大.‎ ‎∴平面平面.‎ 此时.‎ ‎60.‎ 证明: (I)由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且， ‎ 又为等腰三角形，故，且，‎ 从而.所以为直角三角形， .‎ 又AO∩BO=O.‎ 所以平面即.‎ ‎(Ⅱ)设到平面的距离为，则由(I)知:三棱锥 即 为等腰直角三角形，且腰长为2.‎ 的面积为 面积为，‎ 到平面的距离为.‎ ‎61.‎ 证明：(1)∵折后A，B，C，D重合于一点O，‎ ‎∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，‎ ‎∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，…………………2分 ‎∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，‎ ‎∴SE=SG，∴EG⊥SO，……………………………………4分 又∵EG⊂平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．………………………6分 ‎（2）解：依题意，当时，即 Rt△SHO中，SO=5，，……………10分 Rt△EMO中，，‎ ‎∴． ……………12分 ‎62.‎ ‎（1）在图1中，由题意知，‎ 在中，由余弦定理知 所以，‎ 所以，，‎ 在沿直线折起的过程中，与的垂直关系不变，‎ 故在图2中有 又，所以平面，所以.‎ ‎（2）如图2，因为平面底面，‎ 由（1）知，且平面底面，‎ 所以底面，‎ 所以为三棱锥的高，且 又因为在图1中，‎ 所以 故三棱锥的体积为.‎ ‎63.‎ ‎（1）证明：过点做，垂足为，连接，由可证出，所以即.又，，所以平面.又平面，所以.‎ ‎（2）在图1中，过点作，垂足为，连接.因为平面平面，所以面，又，所以由三垂线定理知.‎ 因此为二面角的平面角.‎ 在中，.‎ 由知，，因此，从而得，即二面角的正弦值为.‎ ‎64.‎ ‎（1）证明: 连接，设，连接.‎ ‎∵，∴.‎ 又为的中点，∴.‎ ‎∴平面，∴.‎ ‎∵，∴.‎ 又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.‎ ‎（2）解：由，可得，∴.‎ 由平面，可得平面平面，且交线为.‎ 过点作，垂足为点，则平面.‎ 因为平面,∴，即.‎ 在中，可得.‎ 所以四棱柱的体积为.‎ ‎65.‎ ‎（1）在长方形中，因为，是的中点，‎ 所以，从而，所以.‎ 又因为，，所以平面.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 因为是的中点，所以，.‎ 设点到平面的距离为，‎ 由（1）知平面，因为，‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ ‎66.‎ 证明（1）：如图，连接，因为是的中点，是的中点， ………………………………1分 所以在中， ……………………………3分 ‎，‎ ‎ ………………………………5分 所以 ………………………………6分 ‎（2）解：由等体积法，得 因为是的中点，所以点到平面的距离是点 到平面的距离的一半. ………………………………………………8分 如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知， 平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高， …………………………………………10分 所以，解得 所以该正三棱柱的底面边长为. ……………………………………………………………12分 ‎67.‎ ‎ （1）证明：由四边形为菱形，，可得，为正三角形. 因为M为的中点，所以. ………2分 又，因此. 因为平面，平面，所以. ‎ 而，所以平面. ………………5分 ‎ ‎（2）连接、.由（Ⅰ）可知：平面.则为与平面所成的角. ‎ 在中，，所以当最短时，最大， ……………7分 即当时，最大，此时，‎ 因此.又，所以，于是. …10分 设点A到平面的距离为d，‎ 则由，得，‎ ‎ ‎ 所以，点A到平面的距离为 …………12分 ‎68.‎ ‎（Ⅰ）证明：连接AC交BD于G，连接EG，‎ ‎ ∵ ，又 ，‎ ‎ ∴ ，∴ PC∥EG，‎ ‎ 又EG平面EBD，PC平面EBD，‎ ‎∴ PC∥平面EBD.‎ ‎…………………………………………… 6分 ‎（Ⅱ） ∵ PB⊥平面ABCD， ∴ AD⊥PB.‎ 又∵ AD⊥AB，∴ AD⊥平面EAB.‎ 作AH⊥BE于H，连接DH，则DH⊥BE，‎ ‎∴ ∠AHD 是二面角A—BE—D的平面角.‎ 在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=，‎ 由△ABE 的面积得：AH=，‎ ‎∴ tan∠AHD==，‎ 故 二面角A—BE—D的正切值为. ……………………………… 12分 ‎69.（1）见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）通过证明平面内的平面，可证得平面平面.‎ ‎（2）利用，可求得所求体积.‎ 试题解析：（1）证明：如图，分别取，的中点，，连接，，，，则四边形为正方形，‎ ‎∴，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴平面，∴，‎ ‎∵，∴．‎ 又∵与为平面内的两条相交直线，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面．‎ ‎（2）解：∵且，则由，知．‎ ‎∵，分别是，的中点，∴三棱锥与三棱锥的高均等于，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎70.‎ ‎（1）由题意，平面，平面，可得，又△为等边三角形，点为边的中点，可得，与相交于点，则平面，平面，所以，平面平面． ‎ ‎（2）因为△为直角三角形，，‎ 所以，‎ 由（1）可知，在直角三角形中，‎ ‎ ，，‎ 可得，‎ 故，‎ 所以，三棱柱的体积为． ‎ ‎71.‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，连接.由题设可知，.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 而，，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）如图，连接，.‎ ‎∵，又，，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴平面，即平面.‎ ‎∴，.‎ 设点到平面的距离为，由，‎ 得，解得.‎ ‎∴点到平面的距离为.‎ ‎72.‎ 解：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，又是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）由，是的中点，所以，‎ 在直三棱柱中，，，所以，‎ 又，所以，，所以.‎ 设点到平面的距离为，因为的中点在平面上，‎ 故到平面的距离也为，三棱锥的体积，‎ 的面积，则，得，‎ 故点到平面的距离为.‎ ‎73.‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，‎ 连接∵，都是正三角形，‎ ‎∴，‎ 设为的中点，∴，，‎ 在Rt中，，∴，‎ ‎∵为的中点，∴，‎ 在等腰中，，，∴，‎ 在中，，，，‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，‎ 设点到平面的距离为，则，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴点到平面的距离为．‎ ‎74.‎ ‎（1）取中点，连接，‎ 根据题意可知，四边形是边长为2的正方形，所以，‎ 易求得，所以，于是；‎ 而，所以平面，又因为，所以平面；‎ ‎（2）连接，则，‎ 由（1）可知平面平面，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎75.‎ ‎（Ⅰ）∵四边形是菱形，∴，‎ 又∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 在中，，，设，计算得，，‎ 在梯形中，，，，，‎ 梯形的面积，‎ ‎∴四棱锥的体积为.‎ ‎（Ⅱ）在平面内作，且，连接交于，‎ 则点满足，证明如下：‎ ‎∵，，‎ ‎∴，且，且，∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，，‎ 又菱形中，，，∴，，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴，即，‎ ‎∵，∴，又，∴.‎ ‎76.‎ ‎（1）由已知得：‎ 所以∽‎ 所以，所以 又因为，是的中点，所以 所以平面，所以 而，所以平面 又平面，‎ 所以平面平面；‎ ‎（2）设三棱锥的高为，因为,‎ 所以，‎ 由，得：，‎ 所以，所以,‎ 由，得：，所以.‎ ‎77.‎ ‎（I）连接、相交于点.‎ ‎∵平面，而平面，‎ ‎∴‎ ‎∵四边形为菱形，∴‎ ‎∵，∴平面 ‎∵、分别为、的中点，∴，‎ ‎∴平面，而平面，∴‎ ‎(II）菱形中，，得.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵ 平面，即平面，‎ ‎∴‎ 显然，当点与点重合时，取得最大值2，此时 且，，则 ‎∵是中点，所有到平面的距离等于到平面的距离，‎ 又∴，求得 ‎∴到平面的距离为.‎ ‎78.‎ 解：（1）∵是等边三角形，为的中点，‎ ‎∴，∴平面，得.①‎ 在侧面中，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴.②‎ 结合①②，又∵，∴平面，‎ 又∵平面，∴平面平面 ‎（2）中，易求，，‎ 得 中，易求，‎ 得 设三棱锥的体积为，点到平面的距离为.‎ 则，得，.‎ ‎79.‎ ‎（Ⅰ）因为，，‎ 所以四边形是平行四边形. 所以 因为平面，平面， ‎ 所以平面 …………………… 4分 ‎（Ⅱ）因为平面平面,，平面，‎ 所以平面 因为平面，所以 ‎ 因为，，平面，平面， ‎ 所以平面 ‎ 因为，‎ 所以平面 …………………… 9分 ‎（Ⅲ）假设存在，过点作， 交于， ‎ 由（Ⅱ）可知平面 ，又因为平面， ‎ 所以 又因为，，所以平面 因为平面，‎ 所以. …………………… 12分 连接，因为，， 所以△的面积是.‎ 所以 所以 所以 …………………… 14分 ‎80.‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接BD交AE于点O，推导出Rt△ABD～Rt△DAE，从而得到OB⊥AE，OD'⊥AE，由此能证明AE⊥平面OBD'．‎ ‎（Ⅱ）由VA﹣BCD'=VD'﹣ABC，能求出三棱锥A﹣BCD'的体积．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接BD交AE于点O，依题意得，‎ 所以Rt△ABD～Rt△DAE，‎ 所以∠DAE=∠ABD，所以∠AOD=90°，所以AE⊥BD，‎ 即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′=O，‎ OB，OD'⊂平面OBD'．‎ 所以AE⊥平面OBD'．‎ 解：（Ⅱ）因为平面AD'E⊥平面ABCE，‎ 由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，‎ 所以OD'为三棱锥D'﹣ABC的高，‎ 在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，DE=1，所以，‎ 所以VA﹣BCD'=VD'﹣ABC==‎ 即三棱锥A﹣BCD'的体积为．‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．‎ ‎81.‎ 证明：（1）由是菱形，‎ 面面面 由是矩形 面面面 面面面面.‎ ‎（2）连接 由是菱形，‎ 由面面 面面，‎ 则为四棱锥的高 由是棱形，，则为等边三角形，‎ 由；则 ‎，‎ ‎.‎ ‎82.‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，AC⊥FD，从而AC⊥平面BDF．推导出EB∥FD，从而B，D，F，E四点共面，由此能证明EF⊥AC．‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO，由VE﹣FAC=VA﹣FEO+VC﹣FEO，能求出三棱锥E﹣FAC的体积．‎ ‎【解答】证明：：（Ⅰ）连接BD，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．‎ 因为FD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥FD．‎ 因为BD∩FD=D，所以AC⊥平面BDF．‎ 因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，所以EB∥FD．‎ 所以B，D，F，E四点共面．‎ 因为EF⊂平面BDFE，所以EF⊥AC．‎ 解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO．‎ 由（Ⅰ）知，AC⊥平面BDFE，‎ 所以AC⊥平面FEO．‎ 因为平面FEO将三棱锥E﹣FAC分为两个三棱锥A﹣FEO和C﹣FEO，‎ 所以VE﹣FAC=VA﹣FEO+VC﹣FEO．‎ 因为正方形ABCD的边长为a，，‎ 所以，．‎ 取BE的中点G，连接DG，则FE=DG=．‎ 所以等腰三角形FEO的面积为=．‎ 所以VE﹣FAC=VA﹣FEO+VC﹣FEO====．‎ 所以三棱锥E﹣FAC的体积为．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎83.‎ ‎84.‎ 证明：(1)由圆柱性质知：平面，‎ 又平面，∴，‎ 又是底面圆的直径，是底面圆周上不同于两点的一点，∴，‎ 又，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)解法1：过作，垂足为，由圆柱性质知平面平面，‎ ‎∴平面，又过作，垂足为，连接，‎ 则即为所求的二面角的平面角的补角，‎ ‎，易得，，，‎ ‎∴，‎ 由(1)知，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴所求的二面角的余弦值为.‎ 解法2：过在平面作，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵，，∴，∴，，，‎ ‎∴，，‎ 平面的法向量为，设平面的法向量为，‎ ‎，即，取，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的二面角的余弦值为.‎ 解法3：如图，以为原点，分别为轴，轴，圆柱过点的母线为轴建立空间直角坐标系，则 ‎，，，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，，即，令，则，，‎ ‎∴，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，，即，令，则，.‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的二面角的余弦值为.‎ 解法4：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系：‎ ‎∵，，∴，∴，，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ ‎∴，，‎ 即，，‎ ‎，取，‎ ‎∴.‎ ‎∴所求的二面角的余弦值为.‎ ‎85.‎ ‎（1）由题意知，平面，平面，‎ ‎∴平面，又，平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵，，平面，‎ ‎∴平面平面，又平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）连接，，且，‎ ‎∵四边形为菱形，‎ ‎∴，又平面，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴平面，又，∴，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴该几何体的体积为.‎ ‎86.‎ 解：（1）在梯形中，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴.‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）取的中点，连接，由题意知，‎ ‎∴平面，且，‎ 故.‎ ‎87.‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，，由已知，，，解得，所以，即，得．‎ 在中，∵，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵平面，，‎ ‎∴平面．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，平面，则到平面的距离等于到平面的距离，由平面，则，‎ 在中，易求，‎ ‎，且，‎ 即，则，‎ 即点到平面的距离．‎ ‎88.‎ ‎（1）取AB的中点E，连结CE、ME.………………………………………………1分 ‎∵M为AB1的中点 ∴ME∥BB1∥AA1 ‎ ‎ 又∵AA1平面ADD1A1 ∴ME∥平面ADD1A1……………………………………………3分 又∵AB∥CD，CD= AB ∴AE平行且等于CD ∴四边形AECD为平行四边形 ∴CE∥AD又∵AD平面ADD1A1 ∴CE∥平面ADD1A1‎ 又∵ME∩CE=E ∴平面CME∥平面ADD1A1………………………………………………5分 又∵CM平面CME ∴CM∥平面ADD1A1………………………………………………6分 ‎（2）由（1）可知CM∥平面ADD1A1，所以M到平面ADD1A1的距离等价于C到平面ADD1A1的距离，不妨设为h，则. ………………………………………………8分 ‎………………………9分 在梯形ABCD中，可计算得AD= ，…………………………………………………10分 则…………………11分 ‎∴= ，得，即点M到平面ADD1A1的距离…………………………12分 ‎（另解：可在底面过E点做出E点到平面ADD1A1的垂线段）.‎ ‎89.‎ ‎（Ⅰ）连接，由知，点为的中点，‎ 又∵为圆的直径，∴，‎ 由知，，‎ ‎∴为等边三角形，从而． 3分 ‎∵点在圆所在平面上的正投影为点，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴，-----------------5分 由得，平面． 6分 ‎（Ⅱ）法1：过作平面交平面于点. ‎ 由（Ⅰ）可知，，‎ ‎∴． 9分 又，，，‎ ‎∴为等腰三角形，则． ‎ 由得， 12分 ‎ ‎90.‎ ‎（1）证明：取中点，连接，设，，‎ 依题意得，四边形为正方形，且有，，‎ 所以，所以，‎ 又平面底面，平面底面，底面，‎ 所以平面. 又平面，所以平面平面 ‎（2）过点作的垂线，交延长线于点，连接，‎ 因为平面底面，平面底面，‎ 平面，所以底面，故为斜线在底面内的射影，‎ 为斜线与底面所成的角，即 由（1）得，，所以在中，，，，‎ 在中，，，，由余弦定理得，‎ 所以，从而，‎ 过点作，所以底面，‎ 所以两两垂直，如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量 得 取得，‎ 设平面的法向量 得，取得，，‎ 所以 ‎ 故所求的二面角的余弦值为.‎ ‎91.‎ ‎【分析】（1）推导出MN∥PA，从而MN∥平面PAB，再推导出CN∥AB，从而CN∥平面PAB，由此能证明平面CMN∥平面PAB．‎ ‎（2）点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离，三棱锥P﹣ABM的体积V=VM﹣PAB=VC﹣PAB=VP﹣ABC，由此能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD，AD的中点，‎ ‎∴MN∥PA．‎ 又∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，‎ ‎∴MN∥平面PAB．‎ 在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CN=AN，∴∠ACN=60°．‎ 又∵∠BAC=60°，∴CN∥AB．‎ ‎∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB．‎ 又∵CN∩MN=N，∴平面CMN∥平面PAB．…（6分）‎ 解：（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，‎ ‎∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．‎ 由已知，AB=1，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABM的体积：‎ ‎．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎92.‎ ‎【分析】（1）推导出CD⊥AD，CD⊥PA，从而CD⊥面PAD，进而AM⊥CD，再求出AM⊥MC，从而AM⊥面PCD，由此能证明面ABM⊥面PCD．‎ ‎（2）三棱锥P﹣AMC的体积VP﹣AMC=VC﹣PAM，由此能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，‎ ‎∵PA⊥面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，‎ ‎∴CD⊥面PAD，∵AM⊂面PAD，∴AM⊥CD，‎ ‎∵AC为直径的球面交PD于M，∴AM⊥MC，‎ ‎∵CD与MC是面PCD内两条相交直线，‎ ‎∴AM⊥面PCD，‎ ‎∵AM⊂平面ABM，∴面ABM⊥面PCD．…6（分）‎ 解：（2）∵PA=AD=4，等腰直角三角形PAD面积为S=8，CD=2‎ ‎∴三棱锥P﹣AMC的体积：‎ VP﹣AMC=VC﹣PAM=VC﹣PAD=•S•CD=…12（分）‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎93.‎ ‎【分析】（1）由AF⊥面BCE，且DE∥AF，即可得DE⊥面BCE．‎ ‎（2）取BF中点G，连结EG，过O作OH垂直EG于H，则有OH⊥面BEF．‎ 如图以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（0，﹣，0），E（0，0，2），O（0，0，0），G（）‎ 二面角H﹣AE﹣O等于二面角G﹣AE﹣O，利用面AEG、面AEO的法向量求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵正方形ABFC的对角线AF、BC互相垂直，面ABFC⊥面ADEF，ABFC∩面ADEF=AF ‎∴AF⊥面BCE，且DE∥AF，∴DE⊥面BCE．‎ ‎（2）∵∠DAF=90°，面ABFC⊥面ADEF，ABFC∩面ADEF=AF∴DA⊥面ABFC．‎ ‎∵正方形ABFC的边长为2，DE=，ED∥AF，∴EO⊥面ABFC．‎ 取BF中点G，连结EG，过O作OH垂直EG于H，则有OH⊥面BEF．‎ 如图以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．‎ 则A（0，﹣，0），E（0，0，2），O（0，0，0），G（）‎ 二面角H﹣AE﹣O等于二面角G﹣AE﹣O，‎ 设面AEG的法向量为，，．‎ ‎，取．‎ 面AEO的法向量为．‎ cos＜＞=﹣．‎ ‎∴二面角H﹣AE﹣O的余弦值为：‎ ‎【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．‎ ‎94.‎ ‎【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．‎ ‎（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…‎ ‎=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），‎ ‎∴cos＜，＞===﹣，‎ ‎∴CE与PD所成角的余弦值为．…‎ ‎（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，‎ ‎∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），‎ 又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．‎ 设为平面CDE的法向量，‎ 则，取x=1，得=（1，0，1），…‎ 设直线BF与平面CDE所成的角为θ，‎ 则sinθ=|cos＜，＞|==，…‎ 令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，‎ 当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，‎ 即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为． …‎ ‎95.‎ ‎.(1)证明：直三棱柱中，平面，‎ 所以：，又，‎ 所以：平面，平面，‎ 所以：平面平面.‎ ‎(2)到平面的距离.‎ 所以：，‎ 而：，所以.‎ ‎96.‎ ‎（I）证明：在△ADB中，∵∠DAB=45° AB=AD=2，∴AD⊥BD 取AD中点O，AB中点N，连接ON，则ON∥BD，‎ ‎∴AD⊥ON又∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，AD⊥OE，‎ ‎∴EO⊥平面ABCD，‎ ‎∴以O为原点，OA，ON，OE分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图取BD的中点H，连接FH，OH，则OH∥AB∥EF，且OH=EF，‎ ‎∴FH∥EO，‎ ‎∴FH⊥平面ABCD，‎ ‎∴D（-1,0,0） B（-1,2,0） H（-1,1，） F（-1,1，） C（-3,2,0） M（-2,2,0），‎ ‎∴=（0,2,0） =（1,0，） =（1，-1，），‎ 设平面AED的一个法向量为（x，y，z），则∴‎ 不妨设=（，0，-1）‎ ‎∴⊥，‎ 又∵MF平面AED ‎∴直线MF∥平面AED ‎（II）解：∵=（-2,0,0），=（0，-1，）‎ 设平面FBC的一个法向量为（x，y，z），则∴‎ 不妨设=（0，，1）‎ 设平面BED与平面FBC所成的角为 则丨cos丨=丨丨=，∴sin ‎∴平面BED与平面FBC所成角的正弦值为 ‎（III）解：直线BF与平面BED所成角为a，‎ 则sina=丨cos<>丨=丨丨=。‎ ‎∴直线BF与平面BDE所成角的正弦值为 ‎97.‎ ‎（1）设的中点为，连接,‎ 由题意，∥且,∥且 ‎ 故∥且，所以，四边形为平行四边形 所以，∥,又 所以，∥平面……6分 ‎（2）由（1），点到平面的距离等于点到平面的距离，设为.‎ 由条件易求，‎ 故 ，‎ 所以由得 解得……12分 ‎98.‎ 证明： ，，‎ ‎，且 ‎，‎ ‎， 又 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎99.（1）面面，，则面，‎ 面，∴，‎ ‎，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，∴面.‎ ‎（2），即，解，‎ 即点到面距离为. ‎ ‎100.‎ ‎(1)证明:取中点,连接,∵底面,底面,,且 平面,又平面,所以.‎ 又∵,H为PB的中点, ,又,平面,在中,分别为中点, ,又, ,‎ ‎，∴四边形是平行四边形,∴、平面.‎ ‎(2)解:由(1)知,，∴,又,且,‎ 平面,是三棱锥的高,又可知四边形为矩形,且, ,所以.‎ 另解:是的中点,∴到平面的距离是到平面的距离的一半，‎ 所以.‎