山东省枣庄市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

山东省枣庄市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

‎2019-2020学年山东省枣庄市高一（下）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知i是虚数单位，则复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对分子进行化简，然后再利用复数的除法运算求解即可 ‎【详解】解：因为，‎ ‎ 所以复平面内对应的点为，位于第一象限 故选：A ‎【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的几何意义，属于基础题 ‎2. 设α∈R，则下列结论中错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 28 -‎ 根据诱导公式，二：，三：，四：，六：与角的相关三角函数间的等量关系，即可知各选项的正误 ‎【详解】根据诱导公式 公式二，有 公式四，有 公式六，有 公式二、三，有 故选：D ‎【点睛】本题考查了诱导公式，根据诱导公式判断相关三角函数的等式是否成立 ‎3. 若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据事件A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），再由P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）求解.‎ ‎【详解】因为事件A与B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，‎ 所以P（AB）＝P（A）P（B）＝，‎ 所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-=‎ - 28 -‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查独立事件的概率以及并集事件的概率，属于基础题.‎ ‎4. 在ABC中，BC＝1，AB＝，C＝，则A＝（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理求出或，再检验即得解.‎ ‎【详解】由正弦定理得 因为,所以或，‎ 因为BC＝1＜AB＝，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎5. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AD，CC1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的大小为（ ）‎ - 28 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连接，则可得∥，从而可得与所成的角就是异面直线A1E与BF所成角，然后由已知可得≌,从而可得到结果 ‎【详解】解：取的中点，连接，则,‎ 因为为的中点，所以,‎ 因为，∥，‎ 所以，∥，‎ 所以四边形为平行四边形，所以，∥‎ 因为，∥，‎ 所以，∥，‎ 所以四边形为平行四边形，所以∥，‎ - 28 -‎ 所以与所成的角就是异面直线A1E与BF所成角，‎ 由题意可知，,‎ 所以≌,所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，即与所成的角为，‎ 所以异面直线A1E与BF所成角为 故选：D ‎【点睛】此题考查异面直线所成的角，考查数学转化思想和推理能力，属于基础题 ‎6. 已知从某中学高一年级随机抽取20名女生，测量她们的身高（单位：cm），把这20名同学的身高数据从小到大排序：‎ ‎148.0 149.0 150.0 152.0 154.0 154.0 155.0 155.5 157.0 157.0 ‎ ‎158.0 159.0 161.0 162.0 163.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0‎ 则这组数据的第75百分位数是（ ）‎ A. 163.0 B. 164.0 C. 163.5 D. 164.5‎ ‎【答案】A - 28 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这组数据的第75百分位数就是这组数据排列后的第15个数，从而可得答案 ‎【详解】解：因为这组数据从小到大已排序，‎ 所以这组数据的第75百分位数为第个数，即为163.0‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查百分位数的计算，属于基础题 ‎7. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上投影向量为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.‎ ‎【详解】由余弦定理可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ AD平分∠BAC且与BC相交于点D，是等腰三角形，‎ 是中点，，‎ - 28 -‎ 由图可知向量在上的投影向量为 ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.‎ ‎8. θ为第二或第三象限角的充分必要条件是（ ）‎ A. cosθ＜0 B. sinθ＜0 C. cosθtanθ＜0 D. sinθtanθ＜0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数象限角的符号，由sinθtanθ，得到 且 求解.‎ ‎【详解】因为sinθtanθ，‎ 所以 且 ，‎ - 28 -‎ 所以 且，‎ 所以θ为第二或第三象限角.‎ 以上各步可逆.‎ 所以“sinθtanθ＜0”θ为第二或第三象限角的充分必要条件.‎ 所以故选：D ‎【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断以及三角函数象限角的符号，属于基础题.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 已知向量，则下列结论不正确的是（ ）‎ A. B. 与可以作为基底 C. +＝ D. ﹣与方向相反 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，得到，利用共线向量定理和平面向量基本定理可判断A，B，C的正误，再由﹣，判断D即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 则，+＝，与不可以作为基底，‎ ‎﹣，所以﹣与方向相反.‎ - 28 -‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查平面向量共线向量定理以及基本定理，属于基础题.‎ ‎10. 已知函数f（x）＝sin（2x+），将f（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则（ ）‎ A. 当x＝时，g（x）取最小值 B. g（x） 在[，]上单调递减 C. g（x）的图象向左平移 个单位后对应的函数是偶函数 D. 直线y＝与g（x）（0＜x＜）图象的所有交点的横坐标之和为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用伸缩变换得到函数，再依次利用整体代入的方法，判断AB是否正确；按照平移变换判断函数平移后是否是偶函数；令，计算内所有的实数根.‎ ‎【详解】由条件可知 ‎ 当时，，此时，取得最小值，所以A正确；‎ 当时，，当，即 - 28 -‎ ‎，此时函数单调递减，当，即时，函数单调递增，故B不正确；‎ 向左平移个单位后得到函数，函数是偶函数，故C正确；‎ ‎，解得：，解得：， ‎ 或，解得：,,‎ 因为，所以或 所以交点的横坐标之和为，故D正确.‎ 故选：ACD ‎【点睛】本题考查三角函数的性质，图象变换，方程实根的综合问题，重点考查整体代入的方法，以及伸缩和平移变换规律，属于中档题型.‎ ‎11. 在对某中学高一年级学生身高（单位：cm）的调查中，随机抽取了男生23人、女生27人，23名男生的平均数和方差分别为170和10.84，27名女生的平均数和方差分别为160和28.84，则（ ）‎ A. 总样本中女生的身高数据比男生的离散程度小 B. 总样本的平均数大于164‎ C. 总样本的方差大于45‎ D. 总样本的标准差大于7‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 28 -‎ 对于A，利用方差的性质判断即可；对于B，利用平均的公式计算即可；对于C，利用方差公式计算即可；对于D，利用标准差公式计算即可 ‎【详解】对于A，因为方差越小，数据的离散程度越小，所以总样本中女生的身高数据比男生的离散程度大，所以A错误；‎ 对于B，由已知可得样本的平均数为，所以B正确；‎ 对于C，设23名男生的身高分别为，27名女生的身高分别为，则 ‎，，‎ ‎，，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以总样本的方差为 ‎，‎ 所以C正确，‎ 对于D，由上面的计算可知标准差约为，所以D错误 故选：BC - 28 -‎ ‎【点睛】此题考查方差和平均数的计算，考查计算能力，属于中档题 ‎12. 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，则下列结论错误的是（ ）‎ A. A1D⊥AF B. 三棱锥A﹣BCF外接球的表面积为9π C. 点C到平面AEF的距离为 D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，连接，用反证法证明与不可能垂直，判断A，证明的中点就是三棱锥外接球球心，求得球面积，判断B，利用等体积法求得点C到平面AEF的距离判断C，作出完整截面并求出面积判断D．‎ ‎【详解】A．如图，取中点，连接，由于是中点，∴，而平面，∴平面，平面，∴，若，由于，∴平面，又平面，∴，‎ - 28 -‎ 但正方形中，是中点，不可能有，A错；‎ B．设与交于点，则是的外心，取中点，连接，则，∴平面，∴是三棱锥外接球的球心，，球表面积为，B正确；‎ C．，，‎ 中，，，，‎ 则，，‎ ‎，设到平面的距离为，‎ 则得，，C正确；‎ - 28 -‎ D．连接，易证得，平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形，，，，梯形的高为，，D正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中命题的真假，考查线线垂直的判断，三棱锥的外接球问题，等体积法求点到平面的距离，考查正方体的截面等知识，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，分析并解决问题的能力，属于中档题．‎ 三、填空愿：本题共4小题，每小题5分，共20分，‎ ‎13. 函数的定义域为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 28 -‎ 解不等式可求得函数的定义域.‎ ‎【详解】解不等式，可得，‎ 因此，函数的定义域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14. 有如下命题：‎ ‎①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；‎ ‎②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；‎ ‎③平行于同一条直线的两条直线平行；‎ ‎④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公理可得出结论.‎ ‎【详解】公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；‎ 公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；‎ 公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；‎ 公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.‎ 命题④等角定理.‎ - 28 -‎ 故答案为：①②③.‎ ‎【点睛】本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.‎ ‎15. 已知平面非零向量两两所成的角相等，，则的值为_____．‎ ‎【答案】3或0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或，由于三个向量的模已知，当两两夹角为时，直接算出结果；当两两夹角为时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模．‎ ‎【详解】由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或，‎ 当两两夹角为时，方向相同，则；‎ 当两两夹角为时，由于，‎ 则，‎ 则，.‎ 综上的值为3或0.‎ 故答案为：3或0.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.‎ - 28 -‎ ‎16. 在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：‎ ‎423 231 423 344 114 453 525 323 152 342‎ ‎345 443 512 541 125 342 334 252 324 254‎ 相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案 ‎【详解】解：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423 231 423 114 323 152 342 512 125 342 334 252 324有13组，‎ 所以甲获胜的频率为，‎ 所以甲获得冠军的概率的近似值约为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查频率与概率的关系，属于基础题 四、解答题：本愿共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知圆锥SO的底面半径R＝3，高H＝4．‎ - 28 -‎ ‎（1）求圆锥SO的侧面积和体积：‎ ‎（2）圆锥SO的内接圆柱OO'的高为h，当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO'的侧面积最大，并求出最大值．‎ ‎【答案】（1）；；（2）时，圆柱的侧面积的最大值是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算母线长，根据公式直接计算侧面积和体积；（2）设圆柱的底面半径为，根据比例关系表示，写出圆柱的侧面积，利用二次函数求最大值.‎ ‎【详解】由条件可知圆锥的母线长，‎ 所以圆锥的侧面积，体积；‎ ‎（2）设圆柱的底面半径为，则，解得：，（），‎ 则圆柱侧面积 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，侧面积取得最大值.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查圆锥和圆柱侧面积体积的求法，重点考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎18. 已知函数 ‎（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）若0＜A＜，且，求cosA的值．‎ ‎【答案】（1），单调增区间为，（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简得，从而可求其最小正周期和单调区间；‎ ‎（2）由，得，再结合角的范围可得，而，再利用两角和的余弦公式可得答案 ‎【详解】解：（1）‎ 所以的最小正周期为，‎ 由，得，‎ - 28 -‎ 所以的单调增区间为，‎ ‎（2）因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎【点睛】此题考查三角函数的性质，考查三角函数恒等变换公式的运用，考查计算能力，属于基础题 ‎19. 如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点， ‎ ‎（1）用表示和；‎ ‎（2）求向量与夹角的余弦值．‎ - 28 -‎ ‎【答案】（1），，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平面向量基本定理和向量的加减法法则进行求解即可 ‎（2）如图，以，所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，然后表示出向量与的坐标，再利用向量夹角的坐标公式求解 ‎【详解】解：（1）因为D为斜边BC的靠近点B的三等分点，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为E为AD的中点，‎ 所以，‎ 所以,‎ ‎（2）,‎ 如图，以，所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，‎ 则,‎ 所以， ，‎ - 28 -‎ 所以，‎ ‎,‎ 设向量与夹角为，则 ‎【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，考查向量夹角公式的应用，考查计算能力，属于中档题 ‎20. 某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目．已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．用Ai表示事件“李明答对第i道题”（i＝1，2，3，4）．‎ ‎（1）写出所有的样本点；‎ ‎（2）求李明通过面试的概率．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意知李明通过面试的样本点有：；(2)由这 - 28 -‎ ‎4道题目能否答对是独立的，且李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为，即可求得李明通过面试的概率 ‎【详解】(1) 李明能通过面试的样本空间中样本点：‎ ‎(2)由(1)知，李明通过面试的概率 又这4道题目能否答对是独立的，且李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为 ‎∴，，，，‎ 即 ‎【点睛】本题考查了概率的概念及独立事件的概念计算，由题意任意答对3个及以上的题可通过面试即可写出通过面试的所有样本点，根据基本事件的独立性，利用独立事件的乘法概率公式求样本点概率，进而求得通过面试的概率 ‎21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，点E是CD的中点，将△DAE沿线段AE折起到PAE的位置，F为PB的中点．‎ ‎（1）证明：平面PAE；‎ ‎（2）若PB＝2，求证：平面PAE⊥平面ABCE．‎ - 28 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接，可证明是平行四边形，得，从而得线面平行；‎ ‎（2）取中点，连接，可证明，再有，得线面垂直，从而得证面面垂直．‎ ‎【详解】（1）如图，取中点，连接，∵是中点，∴，‎ 原矩形中是中点，∴，，∴，‎ ‎∴平行四边形，∴，‎ 又平面PAE，平面PAE，∴平面PAE；‎ ‎（2）取中点，连接，∵，∴，‎ 又，，∴，‎ ‎，‎ 在中，，‎ - 28 -‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎，平面ABCE，平面ABCE，∴平面ABCE．‎ 又平面，∴平面PAE⊥平面ABCE．‎ ‎【点睛】本题考查证明线面平行和面面垂直，掌握线面平行和面面垂直的判定定理是解题关键．‎ ‎22. 由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于年月日至日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为公斤，第三化杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表：‎ 质量指标值 产品等级 为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，在以组距为画频率分布直方图（设“”时，发现满足：，，．‎ ‎（1）试确定的所有取值，并求；‎ ‎（2）从样本质量指标值不小于的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中一次性随机抽取件产品，求至少有件级品的概率；‎ ‎（3）求样本质量指标值的平均数（各分组区间的数据以该组区间的中点值代表）．‎ - 28 -‎ ‎【答案】（1）的所有取值有、、、、、，；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意确定所有的分组，进而可求得的所有取值，结合频率之和为可求得实数的值；‎ ‎（2）由题意可知，抽取的件产品中，的有件，分别记为、、、，的有件，分别记为、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“抽取件产品中至少有件级品”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；‎ ‎（3）计算出每组的频率，将每组的中点值乘以对应的频率，将所得结果相加可求得的值.‎ ‎【详解】（1）根据题意，，按组距为可分成个小区间，‎ 分别是、、、、、，‎ 因为，由，，‎ 所以，的可能取值有、、、、、，‎ 每个小区间对应的频率值分别是，‎ 所以，，解得；‎ ‎（2）由（1）中的数据，得：‎ 的频率为；‎ - 28 -‎ 的频率为；‎ 的频率为.‎ 利用按比例分层抽样抽取的件产品中，‎ 的有件，分别记为、、、，的有件，分别记为、、，‎ 从抽取的件产品中任取件产品，所有的基本事件有、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，‎ 事件“抽取件产品中至少有件级品”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，‎ 因此，所求概率为；‎ ‎（3）的频率为，的频率为，‎ 的频率为，的频率为，‎ 的频率为，的频率为.‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利用频率求参数，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率、以及平均数的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ - 28 -‎ - 28 -‎