高考数学一轮复习练案7第二章函数导数及其应用第四讲函数的奇偶性与周期性含解析

高考数学一轮复习练案7第二章函数导数及其应用第四讲函数的奇偶性与周期性含解析

‎ [练案7]　第四讲　函数的奇偶性与周期性 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　D　)‎ A．y＝x＋sin 2x　　 B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋　　 D．y＝x2＋sin x ‎[解析]　选项A是奇函数，B、C都是偶函数，故选D.‎ ‎2．(2020·西藏山南二高模拟)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　D　)‎ A．y＝2x　　 B．y＝ C．y＝|x|　　 D．y＝－x2＋1‎ ‎[解析]　A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.‎ ‎3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(　B　)‎ A．－x(1－x)　　 B．x(1－x)‎ C．－x(1＋x)　　 D．x(1＋x)‎ ‎[解析]　当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．‎ ‎4．(2020·山东师大附中模拟)函数f(x)在R上是偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则函数f(x)在[3,5]上是(　D　)‎ A．增函数　　 B．减函数 C．先增后减的函数　　 D．先减后增的函数 ‎[解析]　因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数，又f(x)在R上是偶函数，且在 [－1,0]上单调递减，所以f(x)在[0,1]单调递增．所以f(x)在[3,5]上是先减后增的函数，故选D.‎ ‎5．(2020·广东佛山一模，7)已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．－　 D．－ - 5 -‎ ‎[解析]　由f(x)＝2x＋为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝0，即(2x＋)＋(2－x＋)＝0，可得a＝－1；由g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，得g(x)＝g(－x)，即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，可得b＝1，则ab＝－1，f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－，故选D.‎ ‎6．设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)等于(　B　)‎ A．10　 B．　‎ C．－10　 D．－ ‎[解析]　因为f(x＋3)＝－，所以f(x＋6)＝－＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6.又f(x)是偶函数，所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝－＝－＝－＝.‎ ‎7．(2020·甘肃天水一中阶段测试)已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(‎3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是(　C　)‎ A．(，＋∞)　　 B．(－∞，)‎ C．(－∞，)∪(，＋∞)　　 D．(0，)∪(，＋∞)‎ ‎[解析]　显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(‎3a－2)>f(a－1)⇔|‎3a－2|>|a－1|⇔(‎3a－2)2>(a－1)2⇔a>或a<，故选C.‎ 二、多选题 ‎8．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是(　ABC　)‎ A．函数f(g(x))是偶函数 B．函数g(f(x))是偶函数 C．函数f(x)·g(x)是奇函数 D．函数f(x)＋g(x)是奇函数 ‎[解析]　对于选项A，f[g(x)]是偶函数，A正确；对于选项B，g[f(x)]是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶数，故选A、B、C.‎ ‎9．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x - 5 -‎ ‎)图象上的是(　BC　)‎ A．(a，－f(a))　　 B．(－a，－f(a))‎ C．(a，－f(－a))　　 D．(a，f(－a))‎ ‎[解析]　∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，－f(－a)＝f(a)．即点(－a，－f(a))和点(a，－f(－a))一定在函数y＝f(x)的图象上．故选B、C.‎ ‎10．(2020·山东普通高校招生春季考试)奇函数y＝f(x)的局部图象如图，则下列结论不正确的是(　BCD　)‎ A．f(2)>0>f(4)‎ B．f(2)<0f(4)>0‎ D．f(2)0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．故选B、C、D.‎ 三、填空题 ‎11．若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为__x＝1__.‎ ‎[解析]　解法一：由已知得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以y＝f(x)关于x＝1对称．‎ 解法二：将y＝f(x＋1)右移1个单位，得到y＝f(x)图象，关于x＝1对称．‎ ‎12．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝__7__.－2≤x≤0时，f(x)＝__2x＋9__.‎ ‎[解析]　因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.‎ ‎13．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f()＝0，则f(x)>0的解集为　(－，0)∪(，＋∞).‎ ‎[解析]　由已知可造构y＝f(x)的示意图象，‎ 所以f(x)>0的解集为(－，0)∪(，＋∞)．‎ ‎14．(2018·课标全国Ⅲ，16)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝‎ - 5 -‎ ‎__－2__.‎ ‎[解析]　本题考查函数的奇偶性．‎ 易知f(x)的定义域为R，‎ 令g(x)＝ln(－x)，则g(x)＋g(－x)＝0，‎ ‎∴g(x)为奇函数，∴f(a)＋f(－a)＝2，‎ 又f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.‎ B组能力提升 ‎1．(多选题)(2020·陕西西安中学模拟改编)设f(x)－x2＝g(x)，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可能为(　BC　)‎ A．g(x)＝x3　　 B．g(x)＝cos x C．g(x)＝x2＋1　　 D．g(x)＝xex ‎[解析]　因为f(x)＝x2＋g(x)，且f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B、C中的函数为偶函数，故选B、C.‎ ‎2．(2020·吉林长春月考)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　C　)‎ A．　 B．－　‎ C．　 D．－ ‎[解析]　根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.故选C.‎ ‎3．(2020·黑龙江哈尔滨六中高三月考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)f(2－)>f(2－)‎ - 5 -‎ B．f(log3)>f(2－)>f(2－)‎ C．f(2－)>f(2－)>f(log3)‎ D．f(2－)>f(2－)>f(log3)‎ ‎[解析]　∵f(x)是定义域为R的偶函数，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)．‎ ‎∴f(log3)＝f(－log34)＝f(log34)．‎ ‎∵log34>log33＝1，且1>2－>2－>0，‎ ‎∴log34>2－>2－>0.‎ ‎∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴f(2－)>f(2－)>f(log34)＝f(log3)．故选C.‎ ‎5．(2020·河北省“五个一名校联盟”高三)已知奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，若当x∈(－1,1)时，f(x)＝lg ，且f(2 018－a)＝1，则实数a的值可以是(　A　)‎ A．　 B．　‎ C．－　 D．－ ‎[解析]　∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)，又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(2－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)为周期函数，周期为4.当x∈(－1,1)时，令f(x)＝lg ＝1，得x＝，又f(2 018－a)＝f(2－a)＝f(a)，∴a可以是，故选A.‎ - 5 -‎