【数学】2018届一轮复习北师大版第二章函数导数及其应用第四节二次函数与幂函数教案
第四节 二次函数与幂函数
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.了解幂函数的概念；
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况；
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质。
2016，全国卷Ⅰ，3,5分(幂函数的性质)
2015，天津卷，8,5分(二次函数的图象)
2015，福建卷，9,5分(二次方程的根)
1.幂函数一般不单独命题，而常与指数函数、对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，主要考查幂函数的图象与性质；
2.对二次函数相关性质的考查是命题热点，大多以选择、填空题出现。
微知识 小题练
自|主|排|查
1．幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数。
(2)幂函数的图象比较：
2．二次函数
(1)解析式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)。
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。
(2)图象与性质：
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在x∈上单调递增
在x∈上单调递减
在x∈上单调递增
在x∈上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数
顶点
对称性
图象关于直线x＝－成轴对称图形
微点提醒
1．幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不出现在第四象限。至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
2．幂函数y＝xα的系数为1，系数不为1的都不是幂函数，当α>0时，在(0，＋∞)上都是增函数，当α<0时，在(0，＋∞)上都是减函数，而不能说在定义域上是增函数或减函数。
3．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况；二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关，不能盲目利用配方法得出结论。
4．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法。特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修1P24A组T6改编)若函数f(x)＝x2＋bx＋c，且f(0)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．1 D．4
【解析】 由f(0)＝0，f(3)＝0，得解得所以f(x)＝x2－3x，所以f(－1)＝4。故选D。
【答案】 D
2．(必修1P79习题2.3T2改编)已知幂函数f(x)的图象过点(8,4)，该幂函数的解析式是( )
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x－1 D．y＝x
【解析】 设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数图象过点(8,4)，故有4＝8α，解得α＝，该函数的解析式是y＝x。故选D。
【答案】 D
3．(必修1P44A组T9改编)已知函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a在区间[2,5]上单调，则a的范围为________。
【解析】 f(x)的对称轴为x＝，
若为增函数需≤2，即a≥－3，
若为减函数需≥5，即a≤－9，
所以a的范围为(－∞，－9]∪[－3，＋∞)。
【答案】 (－∞，－9]∪[－3，＋∞)
二、双基查验
1．函数y＝x的图象是( )
【解析】 显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0
x；当x>1时，x0)。故选B。
【答案】 B
4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________。
【解析】 如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]。
【答案】 [1,2]
5．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减。
【答案】 y＝x－ (0，＋∞)
微考点 大课堂
考点一
幂函数的图象与性质
【典例1】 (1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
(2)若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解析】 (1)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意。故选B。
(2)因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝x是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c。故选D。
【答案】 (1)B (2)D
反思归纳 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域。根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。
【变式训练】 已知函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．3
【解析】 因为f(x)是幂函数，
所以m2－m－1＝1，
解得m＝－1或m＝2，
当m＝－1时，m2＋m－3＝－3，
当m＝2时，m2＋m－3＝3，
f(x)＝x－3或f(x)＝x3，
而易知f(x)＝x3在(0，＋∞)上为增函数，
f(x)＝x－3＝在(0，＋∞)上为减函数，
所以m的值为2。故选B。
【答案】 B
考点二
二次函数的解析式
【典例2】 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式。
【解析】 解法一：(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7。
解法二：(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n。
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，
∴m＝。
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8。
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7。
解法三：(利用两根式)：
由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1。
又函数有最大值ymax＝8，即＝8。
解得a＝－4或a＝0(舍)。
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7。
【答案】 f(x)＝－4x2＋4x＋7
反思归纳 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：
【变式训练】 (1)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为______________。
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)。若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝则F(2)＋F(－2)＝________。
【解析】 (1)因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以f(x)的对称轴为x＝2。
又因为f(x)图象被x轴截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为1和3。
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)。
又因为f(x)的图象过点(4,3)，
所以3a＝3，a＝1。
所以所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3。
(2)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2。
所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8。
【答案】 (1)f(x)＝x2－4x＋3 (2)8
考点三
二次函数的图象与性质……多维探究
角度一：二次函数的图象
【典例3】 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1。给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确。
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误。
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误。
由对称轴为x＝－1知，b＝2a。又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a0)，且f(m)<0，则( )
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
解析 ∵f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，
∴f(x)的大致图象如图所示。
由f(m)<0，得－10，∴f(m＋1)>f(0)>0。故选C。
答案 C
4．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________。
解析 f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，x∈[0,1]，
当a≥1时，ymax＝a；
当0＜a＜1时，ymax＝a2－a＋1；
当a≤0时，ymax＝1－a。
根据已知条件得，
或或
解得a＝2或a＝－1。
答案 2或－1
5．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足条件：①f(3－x)＝f(x)；②f(1)＝0；③对任意实数x，f(x)≥－恒成立，则其解析式为f(x)＝__________________________。
解析 依题意可设f(x)＝a2＋k，
由f(1)＝a＋k＝0，得k＝－a，
从而f(x)＝a2－≥－恒成立，
则－≥－，且a＞0，
即＋－≤0，即≤0，
且a＞0，∴a＝1。
从而f(x)＝2－＝x2－3x＋2。
答案 x2－3x＋2
微专题 巧突破
解决与二次函数相关的恒成立问题的方法
二次函数恒成立问题涉及的知识较广，是学习中的一个难点，下面我们把它的常用类型及破解方法归纳如下表：
方法
解读
适合题型
1
判别
式法
(1)f(x)＝ax2＋bx＋c>0恒成立
⇔或
(2)f(x)＝ax2＋bx＋c<0恒成立⇔或
函数的定义域为R
2
分离
变量
法
(1)确定参数前系数的正负，明确参数能够顺利“分离”，转化为a≥f(x)(或a≤f(x))形式。
(2)若a≥f(x)恒成立，转化为a≥f(x)max；
若a≤f(x)恒成立，转化为a≤f(x)min。
参数a能够顺利分离
3
分类
讨论
法
若参数a系数的正负无法确定，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)0，则实数a的取值范围是________。
【解析】 (1)(判别式法)∵a≠0，函数的定义域为R，则ax2－ax＋>0恒成立，
∴解得00时，f(x)＝a2＋2－，由f(x)>0，x∈(1,4)得
或或
解得或
或所以a≥1或；当a<0时，解得a∈∅；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，因为f(1)＝0，f(4)＝－6，所以不符合题意。综上可得，实数a的取值范围是。
解法二：(分离变量法)由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1,4)，得a>－＋在(1,4)上恒成立。令g(x)＝－＋＝－22＋，因为∈，所以g(x)max＝g(2)＝，所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要a>即可，故实数a的取值范围是。
【答案】 (1)(0,2) (2)
【变式训练】 (2017·营口模拟)已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为________。
【解析】 因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，
对称轴x＝－(a－2)，
对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，
所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：
或或
解得a∈∅或1≤a<4或－
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