函数与方程4

函数与方程4

‎ ‎ 函 数 与 方 程 ‎ 黄浦区东格致中学 许颖 ‎ ‎ ‎ 方程F(x,y)=0与函数y=f(x)之间可以互相转化，所以我们可以用函数观点来研究方程问题，也可以用方程思想来解决函数问题。‎ ‎ 主要理论依据是：函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点的横坐标是方程f(x)=g(x)的实根。‎ 一、用函数思想解答方程问题 ‎ y ‎ A ‎ ‎ 1 B y=2-x ‎ 0 x ‎ ‎ 1、 构造函数，确定方程的实根的个数问题 ‎ 点评：本题中的方程是超越方程，很难通过解方程求出实根，但可以构造两个函数，通过这两个函数图象的交点的个数确定方程实根的个数。‎ ‎ y ‎ y=a+1‎ ‎ 4‎ ‎ y=|x2-4|‎ ‎-2 0 2 x ‎ -4‎ 例2：确定方程|x2-4|=a+1的实根的个数。‎ 解：方程|x2-4|=a+1的实根的个数就是曲线y=|x2-4|与直线y=a+1‎ ‎ 的交点个数。由图2可得，当a+1>4，即a>3时，有2个交点；‎ ‎ 当a+1=4，即a=3时，有3个交点；当03时，2个；a=3时，3个；-10，即x2-4x+3+m=0且x<3。‎ ‎ 构造函数：y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1和y=m，要使方程在[0,3) ‎ ‎ 上有唯一解，由图4可看出，只需y=-(x-2)2+1和y=m在[0,3)‎ 5‎ ‎ ‎ ‎ 上有唯一交点，所以m=1或-3£m£0。 ‎ 解法二：令函数f(x)= x2-4x+3+m，原方程在[0,3)上有唯一解等价于函数f(x)的图象在区间[0,3)‎ ‎ 上与x轴有唯一交点，则D=16-4(3+m)=0或f(0)f(3)£0，解得m=1或-3£m£0。‎ 1、 构造函数，讨论方程的实根的范围问题。‎ 已知二次方程ax2+bx+c=0（a>0）有两根x1，x2，，构造函数f(x)= ax2+bx+c=0，‎ 关于两根的分布问题，主要有以下几种类型（m,nÎR）：‎ 例5：已知关于x的方程x2+(a-3)x+a=0的两根均为正数，求实数a的取值范围。‎ 解法一：设方程的两根为x1，x2，原方程有的两根均为正数，等价于 解法二：构造函数f(x)= x2+(a-3)x+a，则 5‎ ‎ ‎ 1、 利用函数性质解方程 二、用方程思想解决函数问题 ‎1、求反函数 ‎2、求函数值域或最值问题 ‎3、求函数解析式 5‎ ‎ ‎ 练习：‎ ‎1、确定方程sinx=lgx的实根的个数。‎ ‎2、当a为何值时，方程lg(x+1)+lg(4-x)=lg(a-x) (aÎR)有不同的两解? 仅有一解? 无解?‎ ‎4、m为何值时，方程2x2+(m-2)x+m-5=0的一个根比2大，一个根比2小？‎ ‎5、若关于x的二次方程x2-2kx+3k-2=0的两根都大于1，求k的取值范围。‎ ‎6、设f(x)=4x-2x+1，求 f-1(0)的值。‎ 答案：‎ ‎1、3‎ ‎2、当4

查看更多