【数学】2020届一轮复习人教A版基本不等式习题作业

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【数学】2020届一轮复习人教A版基本不等式习题作业

‎2020届一轮复习人教A版 基本不等式习题 作业 一、选择题 ‎1.下列不等式一定成立的是(  )‎ A.lg>lg x(x>0)‎ B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.<1(x∈R)‎ 解析 当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg≥lg x(x>0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;显然选项C正确;当x=0时,有=1,选项D不正确.‎ 答案 C ‎2.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(  )‎ A.[0,2] B.[-2,0]‎ C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]‎ 解析 2≤2x+2y=1,所以2x+y≤,所以x+y ‎≤-2.‎ 答案 D ‎3.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是(  )‎ A. B. ‎ C.2 D. 解析 由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,当且仅当x=,y=时取等号,∴xy的最大值为2.‎ 答案 C ‎4.已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为(  )‎ A.4 B.2 ‎ C.8 D.16‎ 解析 由a>0,b>0,a+b=+=,得ab=1,‎ 则+≥2=2.当且仅当=,‎ 即a=,b=时等号成立.故选B.‎ 答案 B ‎5.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(  )‎ A.≤ B.+≤1‎ C.≥2 D.a2+b2≥8‎ 解析 4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,≥,选项A,C不成立;+==≥1,选项B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.‎ 答案 D ‎6.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(  )‎ A. B.2 ‎ C.2 D.4‎ 解析 依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以≥,即ab≥2(当且仅当a=2,b=2时等号成立),所以ab的最小值为2,故选C.‎ 答案 C ‎7.已知a,b,c,d≥0,a+b=c+d=2,则(a2+c2)(b2+d2)的最大值是(  )‎ A.4 B.8 ‎ C.16 D.32‎ 解析 ∵≤≤=4,‎ ‎∴(a2+c2)(b2+d2)≤16,当a=d=2,b=c=0或b=c=2,a=d=0时取到等号,故选C.‎ 答案 C ‎8.(2019·杭州高级中学测试)若正数x,y满足x2+2xy-1=0,则2x+y的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 解析 由x2+2xy-1=0,得y=-,所以2x+y=2x+-=x+=×≥=,当且仅当3x=,即x=时等号成立,此时y=,符合题意,所以2x+y的最小值为,故选D.‎ 答案 D ‎9.(2019·丽水测试)已知x+y=++8(x,y>0),则x+y的最小值为(  )‎ A.5 B.9‎ C.4+ D.10‎ 解析 由x+y=++8得x+y-8=+,则(x+y-8)(x+y)=(x+y)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即y=2x时,等号成立,令t=x+y,所以(t-8)·t≥9,解得t≤-1或t≥9,因为x+y>0,所以x+y≥9,所以x+y的最小值为9,故选B.‎ 答案 B 二、填空题 ‎10.(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________.‎ 解析 由a-3b+6=0,得a=3b-6,所以2a+=23b-6+≥2=2×2-3=,当且仅当23b-6=,即a=-3,b=1时等号成立.‎ 答案  ‎11.已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则xy取最小值时,x的值为__________,y的值为__________.‎ 解析 ∵x>0,y>0,∴x+4y+5=xy≥2+5,‎ 即xy-4-5≥0,可求得xy≥25,‎ 当且仅当x=4y时取等号,即x=10,y=.‎ 答案 10  ‎12.(2018·江苏卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________.‎ 解析 因为∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,所以∠ABD=∠CBD ‎=60°,由三角形的面积公式可得acsin 120°=a×1×sin 60°+c×1×sin 60°,化简得ac=a+c,又a>0,c>0,所以+=1,则4a+c=(4a+c)·=5++≥5+2=9,当且仅当c=2a时取等号,故4a+c的最小值为9.‎ 答案 9‎ ‎13.(2019·镇海中学模拟)若实数x,y满足4x+4y=2x+1+2y+1,则S=2x+2y的取值范围是________.‎ 解析 因为4x+4y=(2x+2y)2-2·2x·2y,2x+1+2y+1=2(2x+2y),设2x+2y=t(t>0),则由题意得t2-2·2x·2y=2t,即2·2x·2y=t2-2t.因为0<2·2x·2y≤2·,即00,且x+y++=,则-的最小值是________.‎ 解析 因为x+y++=,所以-=-+x+y++-=x++y+-≥-=-,当且仅当x=,y=,即x=2,y=时,取等号.‎ 答案 - ‎19.设a+b=2,b>0,则当a=________时,+取得最小值为________.‎ 解析 由于a+b=2,所以+=+=++,由于b>0,|a|>0,所以+≥2=1,因此当a>0时,+的最小值是+1=.当a<0时,+的最小值是-+1=.故+的最小值为,此时即a=-2.‎ 答案 -2  ‎20.已知a,b,c>0,且a2+b2+c2=10,则ab+ac+bc的最大值是________,ab+ac+2bc的最大值是________.‎ 解析 因为ab+ac+bc≤=10,当且仅当a=b=c时取等号,又因为a2+xb2≥ab(0≤x≤1),a2+yc2≥ac(0≤y≤1),(1-x)b2+(1-y)c2≥2bc,令==,即x=y=2-,故此时有a2+b2+c2≥(-1)(ab+ac+2bc),即ab+ac+2bc≤5+5,当且仅当a=()b=()c时取等号.‎ 答案 10 5+5‎
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