【数学】2019届高考一轮复习北师大版理2-4二次函数与幂函数学案
第4讲 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
续 表
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意知
即得a＞.
已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为( )
A．[0，1] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
解析：选B.如图，由图象可知m的取值范围是[1，2]．
已知幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则f(2)－f(1)＝________.
解析：设幂函数为f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝，即f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1.
答案：－1
(教材习题改编)函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．
解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得
g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．
所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.
所以g(x)的值域为[－1，3]．
答案：[－1，3]
幂函数的图象及性质
[典例引领]
(1)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)·xm＋1为偶函数，则m＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解析】 (1)因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数为f(x)＝x2为偶函数，满足条件，当m＝2时，幂函数为f(x)＝x3为奇函数，不满足条件，故选A.
(2)因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.
【答案】 (1)A (2)A
幂函数的图象与性质问题的解题策略
(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．
(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．
(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．
[通关练习]
1．(2018·西安模拟)函数y＝的图象大致是( )
解析：选C.y＝＝x，其定义域为x∈R，排除A，B，又0<<1，图象在第一象限为上凸的，排除D，故选C.
2．若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a
0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
角度三 一元二次不等式恒成立问题
(转化与化归思想)(2018·河北武邑第三次调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．(－，0)
C．(－∞，0)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【解析】 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，所以f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t
＋2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(－∞，－)，故选A.
【答案】 A
(1)二次函数最值问题的类型及处理思路
①类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．
②解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
(2)二次函数中恒成立问题的求解思路
①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
[通关练习]
1．(2017·高考北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．
解析：由已知可得，y＝1－x，代入x2＋y2，得x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2(x－)2＋，x∈[0，1]，当x＝0或x＝1时，取得最大值1，当x＝时，取得最小值，所以x2＋y2的取值范围是[，1]．
答案：[，1]
2．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．
解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，
因为在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a时，ymin＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3，
当a＋2≤1时，即a≤－1，ymin＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3，
当a<11)．
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a
＝2.
(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，
所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max，又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，
所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
所以f(x)max－f(x)min≤4，即－1≤a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.
幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．
二次函数求最值的三种常见类型
二次函数的最值由所给区间，对称轴及开口方向等因素确定．
(1)一般在轴定区间定的条件下有以下三种情况：
①若所给区间为R，则在顶点处取最值．
②在所给区间[m，n]，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴x＝－∈[m，n]时，其最值为一个是在顶点处取得．另一个则距轴较远的端点处取得．
③在所给区间[m，n]，－∉[m，n]时，则利用函数的单调性求得最值(在区间的两个端点处)．
(2)若二次函数自变量的区间确定，但对称轴位置是变化的，则需要根据对称轴位置变化情况分对称轴在给定区间内变化与在给定区间外变化两种情况讨论，若对称轴只能在给定区间内变化，则只考虑对称轴与区间端点的距离即可．若对称轴在区间外，应分在区间左侧或右侧内讨论．
(3)若所给区间变化，而对称轴位置确定，则对于区间变化时，是否包含对称轴与x轴交点的横坐标必须进
行分类讨论，其分类标准为变化区间中包含对称轴与x轴交点的横坐标与变化区间中不包含对称轴与x轴交点的横坐标．具体分类可分四类．
①对称轴在区间左侧．
②对称轴在区间右侧．
③对称轴在闭区间内且在中点的左侧．
④对称轴在闭区间内且在中点的右侧(或过中点)．
会用两种数学思想
(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．
(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．
易错防范
(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
1．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．cb>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
解析：选D.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，得a>0，且c<0，所以f(0)＝c<0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
4．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－)，f()的大小关系为( )
A．f()>f(－)>f(－1)
B．f()＜f(－)＜f(－1)
C．f(－)＜f()＜f(－1)
D．f(－1)＜f()＜f(－)
解析：选B.因为f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，所以得m＝0，即f(x)＝－x2＋3，其在[0，＋∞)上为减函数，又因为f(－)＝f()，f(－1)＝f(1)且1<<，所以f(1)>f()>f()，即f()0，符合题意；
当m>0时，由f(0)＝1可知：要满足题意，
需解得0f(a－1)的实数a的取值范围．
解：因为函数f(x)的图象经过点(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝x.
又因为f(2－a)>f(a－1)，
所以解得1≤a<，
故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为1≤a<.
10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，
所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.
故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
1．已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)<0，则必有( )
A．f(p＋1)>0 B．f(p＋1)<0
C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符号不能确定
解析：选A.由题意知，f(0)＝c>0，函数图象的对称轴为x＝－，则f(－1)＝f(0)>0，设f(x)＝0的两根分别为x1，x2(x10，f(p＋1)>0.
2．(2018·陕西西安模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2f(x2)；②x1f(x1)xf(x2)；④xf(x1)h(x2)，
即>，
于是xf(x1)>xf(x2)，
故③正确，④错误，故选C.
3．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：依据题意，得－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈上恒成立，即－4m2≤－－＋1在x∈上恒成立．
当x＝时，函数y＝－－＋1取得最小值－，
所以－4m2≤－，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，
解得m≤－或m≥.
答案：∪
4．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a0，则－x<0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，所以f(x)＝
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0，g(1)＝1－2a为最小值；
当12，即a>1时，g(2)＝2－4a为最小值．
综上可得g(x)min＝
