2020年高中数学新教材同步必修第一册 第2章第2课时 基本不等式的应用

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第2章第2课时 基本不等式的应用

第二章　2.2　基本不等式 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 知识点　用基本不等式求最值 (1)x，y是 ； (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 ； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . (3)讨论等号成立的条件是否满足. 正数 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN 2.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储 费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝_____.20 解析　总运费与总存储费用之和 即x＝20时取等号. 3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利 润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则 该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元.8 6 2 题型探究 PART TWO 一、利用基本不等式变形求最值 ≥6＋10＝16， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 当且仅当x－1＝y－9＝3， 即x＝4，y＝12时上式取等号， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 延伸探究　若将条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值. 解　方法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∴x＋y的最小值是18. 方法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0， ∴x＋y的最小值是18. 反思 感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应 用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时，要注意各 不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1” 的代换. 9 解析　∵x＋y＝1， 二、基本不等式在实际问题中的应用 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润 ＝销售额－成本－推广促销费) 例2　“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中 华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作 中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 解　设该批产品的利润为y， 当且仅当x＝1时，上式取“＝”， ∴当x＝1时，ymax＝17. 答　当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元. 反思 感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学 知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求 最值，要注意验证等号是否成立. 跟踪训练2　2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成 功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火 箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克 /时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克， 已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.消耗A材料总重量为y千克，那么 要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少. 解　由题意，得k＋9＝10，即k＝1， 所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为 故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克. 典例　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出 口，如图.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长 度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). 基本不等式在实际问题中的应用 核心素养之数学建模 HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO 试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. ∵x>0， 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元. 素养 提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力， 所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.本例中所涉及的y＝x＋ (a>0) 就是一个应用广泛的函数模型. 3 随堂演练 PART THREE √ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 √ 1 3 4 52 3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四 种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m√ ∵要求够用且浪费最少，故选C. 1 3 4 52 4 当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立. 5.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢 的最大容积是________ m3.16 解析　设车厢的长为b m，高为a m. 1 3 4 52 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 1.知识清单： (1)已知x，y是正数. ①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. ②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值. 即：“和定积最大，积定和最小”. (2)求解应用题的方法与步骤. ①审题，②建模(列式)，③解模，④作答. 2.方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值. 3.常见误区：缺少等号成立的条件. 本课结束