人教a版数学【选修1-1】作业：3-4生活中的优化问题举例（含答案）
§3.4 生活中的优化问题举例
课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决
实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为
____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用
________，可以解决一些生活中的______________．
2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分
析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，
而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．
3．解决优化问题的基本思路是：
用函数表示的数学问题 → 用函数表示的数学问题
↓
优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程．
一、选择题
1．某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)＝x2
60－x
2 (0
400
，则总利润最大时，年
产量是( )
A．100 B．150 C．200 D．300
题号 1 2 3 4 5 6
答案
二、填空题
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货
物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1 和
y2 分别为 2 万元和 8 万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________
千米处．
8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小
时，x 与 h 的比为________．
9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是 27π，且用料最省，则圆柱的底面半径
为________．
三、解答题
10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩
之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间
的桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它
因素．记余下工程的费用为 y 万元．
(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；
(2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
11．某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件．如果降低价格，销售量可
以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤30)的平方成
正比，已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
能力提升
12．某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少 10 层、每层 2 000
平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋
48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平
均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用
建筑总面积)
13．已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C＝100＋4q，价格 p 与产量 q 的
函数关系式为 p＝25－1
8q，求产量 q 为何值时，利润 L 最大．
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．
(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变
量之间的函数关系 y＝f(x)；
(2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)写出答案．
§3.4 生活中的优化问题举例
答案
知识梳理
1．优化问题 导数 导数 优化问题
作业设计
1．B [V′(x)＝60x－3
2x2＝0，x＝0 或 x＝40.
x (0,40) 40 (40,60)
V′(x) ＋ 0 －
V(x) 极大值
可见当 x＝40 时，V(x)达到最大值．]
2．C [y′＝－x2＋81，令 y′＝0，得 x＝9 或 x＝－9(舍去)．当 00；当 x>9
时，y′<0，故当 x＝9 时，函数有极大值，也是最大值．]
3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，
如图所示，设场地宽为 x 米，则长为512
x
米，因此新墙壁总长度 L＝2x＋512
x (x>0)，
则 L′＝2－512
x2 .
令 L′＝0，得 x＝±16.∵x>0，∴x＝16.
当 x＝16 时，L 极小值＝Lmin＝64，此时堆料场的长为512
16
＝32(米)．]
4．C [设底面边长为 a，直三棱柱高为 h.
体积 V＝ 3
4 a2h，所以 h＝ 4V
3a2
，
表面积 S＝2· 3
4 a2＋3a· 4V
3a2
＝ 3
2 a2＋4 3V
a
，
S′＝ 3a－4 3V
a2
，由 S′＝0，得 a＝3 4V.
经验证，当 a＝3 4V时，表面积最小．]
5．D [设高为 x cm，则底面半径为 202－x2 cm，
体积 V＝π
3x·(202－x2) (00，当 x∈
20 3
3
，20 时，V′<0，所以当 x＝20 3
3
时，V 取最大值．]
6．D [由题意，总成本为 c＝20 000＋100x，
所以总利润为 p＝r－c
＝
300x－x2
2
－20 000 0≤x≤400
60 000－100x x>400
，
p′＝ 300－x 0≤x≤400
－100 x>400
，
p′＝0，当 0≤x≤400 时，得 x＝300；
当 x>400 时，p′<0 恒成立，
易知当 x＝300 时，总利润最大．]
7．5
解析 依题意可设每月土地占用费 y1＝k1
x
，每月库存货物的运费 y2＝k2x，其中 x 是仓库
到车站的距离．
于是由 2＝k1
10
，得 k1＝20；由 8＝10k2，得 k2＝4
5.
因此两项费用之和为 y＝20
x
＋4x
5
，y′＝－20
x2
＋4
5
，
令 y′＝－20
x2
＋4
5
＝0 得 x＝5(x＝－5 舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小．
8．1∶1
解析 设窗户面积为 S，周长为 L，则 S＝π
2x2＋2hx，h＝ S
2x
－π
4x，所以窗户周长
L＝πx＋2x＋2h＝π
2x＋2x＋S
x
，L′＝π
2
＋2－S
x2.
由 L′＝0，得 x＝ 2S
π＋4
，x∈ 0， 2S
π＋4 时，L′<0，
x∈
2S
π＋4
，＋∞
时，L′>0，
所以当 x＝ 2S
π＋4
时，L 取最小值，
此时h
x
＝2S－πx2
4x2
＝2S
4x2
－π
4
＝π＋4
4
－π
4
＝1.
9．3
解析 设半径为 r，则高 h＝27π
πr2
＝27
r2 .
∴水桶的全面积 S(r)＝πr2＋2πr·27
r2
＝πr2＋54π
r .
S′(r)＝2πr－54π
r2
，令 S′(r)＝0，得 r＝3.
∴当 r＝3 时，S(r)最小．
10．解 (1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即 n＝m
x
－1 (00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x＝64 处取得最
小值，此时 n＝m
x
－1＝640
64
－1＝9.
故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小．
11．解 (1)设商品降低 x 元时，多卖出的商品件数为 kx2，若记商品在一个星期的销售
利润为 f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)
＝(21－x)·(432＋kx2)，
又由已知条件 24＝k·22，于是有 k＝6，
所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有 f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下表：
x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30]
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 极小值 极大值
故 x＝12 时，f(x)达到极大值．因为 f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为 30－12＝
18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则 f(x)＝(560＋48x)＋2 160×10 000
2 000x
＝560＋48x＋10 800
x (x≥10，x∈N*)，
f′(x)＝48－10 800
x2
，
令 f′(x)＝0 得 x＝15.
当 x>15 时，f′(x)>0；
当 00；
当 84
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