高中数学选修1-1课时提升作业（十四）2-2-2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用探究导学课型
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课时提升作业(十四)
双曲线方程及性质的应用
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.若 ab≠0，则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的 ( )
【解析】选 C.方程可化为 y=ax+b 和 + =1.从 B，D 中的两椭圆看 a，b∈
(0，+∞)，但 B 中直线有 a<0，b<0 矛盾，应排除；D 中直线有 a<0，b>0 矛盾，应排除；再
看 A 中双曲线的 a<0，b>0，但直线有 a>0，b>0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的 a>0，b<0
和直线中 a，b 一致.
2.(2015·德化高二检测)直线 y=k(x+ )与双曲线 -y2=1 有且只有一个公共点，则 k 的
不同取值有 ( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【解析】选 D.由已知可得，双曲线的渐近线方程为 y=± x，顶点(±2，0)，而直线恒过(- ，
0)，故有两条与渐近线平行，有两条切线，共 4 条直线与双曲线有一个交点.
3.已知曲线 - =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P，Q 两点，且 · =0(O 为原点)，则 -
的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.
【解析】选 B.将 y=1-x 代入 - =1，得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则 x1+x2= ，x1x2= .因为 · =x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1，所
以 - +1=0，即 2a+2ab-2a+a-b=0，即 b-a=2ab，所以 - =2.
4.(2015·邢台高二检测)已知点 F1，F2 分别是双曲线 - =1 的左、右焦点，过 F2 且垂直
于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若△ABF1 是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取
值范围是 ( )
A.( +1，+∞) B.(1， )
C.(1，1+ ) D.( ，+∞)
【解析】选 C.如图所示.
由于∠F1AB=∠F1B A，
△ABF1 为锐角三角形，故∠AF1B 为锐角.故只需要
∠AF1F2<45°即可
即 <1，所以 = <1 即 c2-a2<2ac.
即 e2-2e-1<0，解得 1-
1，故 10，b>0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，
过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线
的离心率的取值范围是 ( )
A.(1， ) B.( ，+∞)
C.(1，2) D.(2，+∞)
【解析】选 D.设 A(-c，y0)，代入双曲线方程得 - =1，所以
= .
所以|y0|= ，
所以|AF|= .
因为△ABE 是钝角三角形，所以∠AEF>45°.
则只需|AF|>|EF|，即 >a+c，所以 b2>a2+ac，
即 c2-a2>a2+ac，c2-ac-2a2>0.
所以 e2-e-2>0，解得 e>2，e<-1(舍去).
5.(2015·天津高考)已知双曲线 - =1(a>0，b>0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线的渐
近线与圆 +y2=3 相切，则双曲线的方程为 ( )
A. - =1 B. - =1
C. -y2=1 D.x2- =1
【解析】选 D.由双曲线的渐近线 bx-ay=0 与圆(x-2)2+y2=3 相切可知 = ，又因为
c= =2，所以有 a=1，b= ，故双曲线的方程为 x2- =1.
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6.双曲线中心在原点，一个焦点坐标为 F( ，0)，直线 y=x-1 与其相交于 M，N 两点，MN
中点的横坐标为- ，则双曲线的方程为________.
【解析】由题意知中点坐标为 ，
设双曲线方程为 - =1.
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 - =1 ①，
- =1②，
①-②得 = ，即 = · ，
所以 = ，解得 a2=2，
故双曲线方程为 - =1.
答案： - =1
【拓展延伸】弦的中点及弦长问题的解决思路
(1)联立直线与双曲线方程.
(2)消元得关于 x 或 y 的一元二次方程.
(3)根的判别式、根与系数的关系.
(4)弦长问题、弦的中点问题的解决.
7.(2014·浙江高考)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 - =1(a>0，b>0)的两条渐近线分
别交于点 A，B，若点 P(m，0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是________.
【解题指南】求出 A，B 的坐标，写出 AB 中点 Q 的坐标，因为|PA|=|PB|，所以 PQ 与已知直
线垂直，寻找 a 与 c 的关系.
【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 y= x 与 y=- x，分别与 x-3y+m=0(m≠0)
联立方程组，解得 A ，B ，
设 AB 的中点为 Q，则 Q( ， )，
因为|PA|=|PB|，所以 PQ 与已知直线垂直，所以 kPQ=-3，解得 2a2=8b2=8(c2-a2)，即 = ，= .
答案：
8.已知双曲线 - =1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则此直线斜率的取值范围是________.
【解析】由题意知 F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为 y=± x，
当过 F 点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，-
≤k≤ .
答案：
【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其
位置关系.
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关
系.
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9.双曲线 - =1(a>1，b>0)的焦距为 2c，直线 l 过点(a，0)和(0，b)，且点
(1，0)到直线 l 的距离与点(-1，0)到直线 l 的距离之和 s≥ c，求双曲线离心率 e 的取值
范围.
【解析】由题意知直线 l 的方程为 + =1，
即 bx+ay-ab=0，
则 + ≥ c，
整理得 5ab≥2c2.
又因为 c2=a2+b2，所以 5ab≥2a2+2b2.
所以 ≤ ≤2.e= =
所以 ≤e≤ .
10.(2015·合肥高二检测)直线 l：y=kx+1 与双曲线 C：2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A，
B.
(1)求实数 k 的取值范围.
(2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k
的值；若不存在，说明理由.
【解题指南】(1)与右支交于两点，则联立直线与双曲线后得到的一元二次方程有两正根.
(2)以 AB 为直径的圆过点 F 则 FA⊥FB.
【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0
①，
依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，
所以
解得 k 的取值范围为{k|-20，b>0)的右焦点为 F，O 为坐标原点，以 OF 为直径的
圆与双曲线的一条渐近线相交于 O，A 两点，若△AOF 的面积为 b2，则双曲线的离心率等于
( )
A. B. C. D.
【解析】选 D.因为 A 在以 OF 为直径的圆上，所以 AO⊥AF，
所以 AF：y=- (x-c)与 y= x 联立解得 x= ，y= ，
因为△AOF 的面积为 b2，
所以 ·c· =b2，所以 e= .
2.过双曲线 - =1 的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为 ，这样的直线的条数为
( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选 D.依题意可得右焦点 F(5，0)，
所以垂直 x 轴，过 F 的直线是 x=5.
代入 - =1，求得 y=± ，
所以此时弦长= + = .
不是垂直 x 轴的，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比它长，所以这里只有一条，
因为两个顶点距离=4 ，即左右两支上的点最短是 4 ，
所以如果是交于两支的话，弦长不可能为 ，所以只有 1 条.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3.(2015·南昌高二检测)已知双曲线 - =1(a>0，b>0)与直线 y=2x 有交点，则双曲线的
离心率的取值范围是________.
【解析】双曲线的渐近线方程为 y=± x.
若双曲线 - =1 与直线 y=2x 有交点，
则 >2，从而 >4.
所以 >4，解得 e2= >5，故 e> .
答案：( ，+∞)
4.(2015·重庆高考改编)双曲线 - =1(a>0，b>0)的右焦点为 F，左、右顶点为 A1，A2，
过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为
__________.
【解析】由题意知 F(c，0)，A1(-a，0)，A2(a，0)，其中 c= .
联立
可解得 B ，C ，
所以 = ， = ，
又因为 A1B⊥A2C，
所以 · =(c+a)(c-a)- =0，
解得 a=b，
所以该双曲线的渐近线斜率为±1.
答案：±1
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
5.(2015·黄石高二检测)已知双曲线 3x2-y2=3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45°，与双
曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长.
【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.
【解析】因为 a=1，b= ，c=2，
又直线 l 过点 F2(2，0)，且斜率 k=tan 45°=1，
所以 l 的方程为 y=x-2，
由
消去 y 并整理得 2x2+4x-7=0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为 x1·x2=- <0，
所以 A，B 两点分别位于双曲线的左、右两支上.
因为 x1+x2=-2，x1·x2=- ，
所以|AB|= |x1-x2|
= ·
= · =6.
6.已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A，B 两点.
(1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值.
(2)是否存在这样的实数 a，使 A，B 两点关于直线 y= x 对称？若存在，请求出 a 的值；若
不存在，请说明理由.
【解析】(1)由 消去 y 得，
(3-a2)x2-2ax-2=0. ①
依题意
即- 0.
解得 k< ，且 x1+x2= .
因为 B(1，1)是弦的中点，
所以 =1，所以 k=2> .
故不存在被点 B(1，1)所平分的弦.
【一题多解】设存在被点 B 平分的弦 MN，
设 M(x1，y1)，N(x2，y2).
则 x1+x2=2，y1+y2=2，且
①-②得(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0.
所以 kMN= =2，故直线 MN：y-1=2 (x-1).
由 消去 y 得，2x2-4x+3=0，Δ=-8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在.
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