【数学】2020届一轮复习人教B版不等式、推理与证明课时作业(2)

【数学】2020届一轮复习人教B版不等式、推理与证明课时作业(2)

第六章　不等式、推理与证明 课时作业34　不等关系与一元二次不等式 ‎1．(2019·湖南衡阳一模)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列结论正确的是(　D　)‎ A．ac2＜bc2 B.＜ C.＞ D．a2＞ab＞b2‎ 解析：选项A，∵c为实数，∴取c＝0，得ac2＝0，bc2＝0，此时ac2＝bc2，故选项A不正确；选项B，－＝，‎ ‎∵a＜b＜0，∴b－a＞0，ab＞0，‎ ‎∴＞0，即＞，故选项B不正确；‎ 选项C，∵a＜b＜0，∴取a＝－2，b＝－1，则＝＝，＝2，此时＜，故选项C不正确；选项D，∵a＜b＜0，∴a2－ab＝a(a－b)＞0，∴a2＞ab，又∵ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2，故选项D正确，故选D.‎ ‎2．(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　A　)‎ A．0≤k≤1 B．0＜k≤1‎ C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1‎ 解析：当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，‎ 只需 解得0＜k≤1.综上，k的取值范围是0≤k≤1，故选A.‎ ‎3．若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则(　A　)‎ A．a＋b－c的最小值为2‎ B．a－b＋c的最小值为－4‎ C．a＋b－c的最大值为4‎ D．a－b＋c的最大值为6‎ 解析：当x＝1，y＝－1时，－6≤a－b＋c≤4，所以a－b＋c的最小值为－6，最大值为4，故B，D错误；当x＝－1，y＝－1时，－12≤－a－b＋c≤－2，则2≤a＋b－c≤12，所以a＋b－c的最小值为2，最大值为12，故A正确，C错误，故选A.‎ ‎4．若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　A　)‎ A．(－∞，－3] B．(－∞，0]‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，1]‎ 解析：方法一：令f(x)＝x2－2x＋a，‎ 则由题意，得 解得a≤－3，故选A.‎ 方法二：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，‎ 则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，‎ 所以a≤－3，故选A.‎ ‎5．(2019·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　D　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ C．(－1,2)‎ D．(－2,1)‎ 解析：易知f(x)在R上是增函数，‎ ‎∵f(2－x2)＞f(x)，‎ ‎∴2－x2＞x，解得－2＜x＜1，‎ 则实数x的取值范围是(－2,1)，故选D.‎ ‎6．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　D　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.‎ ‎7．(2019·江西南昌二中月考)若a＞1,0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是(　D　)‎ A．loga2 018＞logb2 018 B．logba＜logca C．(c－b)ca＞(c－b)ba D．(a－c)ac＞(a－c)ab 解析：∵a＞1,0＜c＜b＜1，‎ ‎∴logab＜0，loga2 018＞0，‎ ‎∴logb2 018＝＜loga2 018，‎ ‎∴A正确；‎ ‎∵0＞logab＞logac，∴＜，‎ ‎∴logba＜logca，∴B正确；‎ ‎∵ca＜ba，c－b＜0，‎ ‎∴(c－b)ca＞(c－b)ba，∴C正确；‎ ‎∵ac＜ab，a－c＞0，∴(a－c)ac＜(a－c)ab，‎ ‎∴D错误．故选D.‎ ‎8．(2019·郑州质检)已知函数f(x)＝若关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)－b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是(　D　)‎ A．2 B．3‎ C．5 D．8‎ 解析：作出函数f(x)的图象如图中实线部分所示，‎ 由[f(x)]2＋af(x)－b2＜0，‎ 得＜f(x)‎ ‎＜，‎ 若b≠0，则f(x)＝0满足不等式，‎ 即不等式有2个整数解，不满足题意，‎ 所以b＝0，所以－a＜f(x)＜0，且整数解x只能是3，‎ 当2＜x＜4时，－8＜f(x)＜0，‎ 所以－8≤－a＜－3，‎ 即a的最大值为8，故选D.‎ ‎9．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是＋≥＋.‎ 解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.‎ ‎∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0.‎ ‎∴＋≥＋.‎ ‎10．(2019·湛江调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)＜0的解集为，则f(ex)＞0(e是自然对数的底数)的解集是{x|－ln2＜x＜ln3}．‎ 解析：依题意可得f(x)＝a(x－3)(a＜0)，‎ 则f(ex)＝a(ex－3)(a＜0)，‎ 由f(ex)＝a(ex－3)＞0，‎ 可得＜ex＜3，解得－ln2＜x＜ln3.‎ ‎11．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2,3]上，有最大值4和最小值1，设f(x)＝.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．‎ 解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，‎ 因为a＞0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，‎ 故解得 ‎(2)由已知及(1)可得f(x)＝x＋－2，‎ f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，‎ 化简得1＋2－2·≥k，‎ 令t＝，则t∈.‎ 即k≤t2－2t＋1，‎ 记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈，‎ 故h(t)max＝1，所以实数k的取值范围是(－∞，1]．‎ ‎12．某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50元．‎ ‎(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，求x的取值范围．‎ ‎(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．‎ 解：(1)根据题意，有100≥1 500，‎ 即5x2－14x－3≥0，得x≥3或x≤－，‎ 又1≤x≤10，所以3≤x≤10.‎ ‎(2)设生产480千克该产品获得的利润为u元，则u＝24 000，1≤x≤10，‎ 记f(x)＝－＋＋5(1≤x≤10)，‎ 则f(x)＝－32＋＋5(1≤x≤10)，当x＝6时，f(x)取得最大值，‎ 此时u＝24 000×＝122 000，‎ 故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元．‎ ‎13．(2019·河南豫北名校联考)已知函数f(x)＝e1＋x＋e1－x，则满足f(x－2)＜e2＋1的x的取值范围是(　D　)‎ A．x＜3 B．0＜x＜3‎ C．1＜x＜e D．1＜x＜3‎ 解析：∵f(x)＝e1＋x＋e1－x＝e·ex＋＝e，‎ 令t＝ex，可得y＝e，‎ 内函数t＝ex为增函数，而外函数y＝e在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴函数f(x)＝e1＋x＋e1－x的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)．‎ 又f(x)＝e1＋x＋e1－x为偶函数，‎ ‎∴由f(x－2)＜e2＋1，得f(|x－2|)＜f(1)，‎ 得|x－2|＜1，解得1＜x＜3，故选D.‎ ‎14．(2019·湖南湘东联考)若∀x∈R，函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1与g(x)＝mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为(　B　)‎ A．(0,4] B．(0,8)‎ C．(2,5) D．(－∞，0)‎ 解析：当m＜0且x趋于＋∞时，函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1与g(x)＝mx的值均为负值，不符合题意．‎ 当m＝0时，g(x)＝0，f(x)＝－8x＋1，‎ 当x≥时，f(x)≤0，g(x)＝0，不符合题意．‎ ‎∴m＞0，易知f(x)的图象的对称轴为x＝，f(0)＝1＞0，当≥0，即0＜m≤4时，函数f(x)的图象与x轴的交点都在y轴右侧，如图1所示，符合题意；‎ 当＜0，即m＞4时，要满足题意，需f(x)的图象在x轴上方，如图2所示，则Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)＜0，则4＜m＜8.‎ 图1‎ ‎　‎ 图2‎ 综上可得0＜m＜8，故选B.‎ ‎15．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则实数b的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．‎ 解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.‎ 又因为f(x)的图象开口向下，‎ 所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，‎ 所以当x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，‎ 若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，‎ 则b2－b－2＞0恒成立，‎ 解得b＜－1或b＞2. 所以实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．‎ ‎16．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若存在实数a∈[1,2]，对任意x∈[1,2]，都有f(x)≤1，则7b＋5c的最大值是－6.‎ 解析：因为x∈[1,2]，所以ax2＋bx＋c≤1等价于a≤，由题意知存在a∈[1,2]，使得不等式a≤对任意x∈[1,2]恒成立，所以≥1，即x2＋bx＋c－1≤0对x∈[1,2]恒成立，所以即所以7b＋5c＝3(b＋c)＋2(2b＋c)≤－6，即7b＋5c的最大值为－6.‎