【数学】2020届一轮复习人教版（理）第十章第七节　离散型随机变量的分布列、均值与方差作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第十章第七节　离散型随机变量的分布列、均值与方差作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级　基础夯实练 ‎1．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．‎ ‎(1)求X的分布列、期望和方差；‎ ‎(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．‎ 解：(1)X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.‎ D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.‎ ‎(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.‎ 又E(Y)＝aE(X)＋b，‎ 所以当a＝2时，‎ 由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.‎ 当a＝－2时，‎ 由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.‎ 所以或 ‎2．(2018·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．‎ 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．‎ 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中将均可获得奖金400元．‎ ‎(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；‎ ‎(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？‎ 解：(1)X的可能取值为0,500,1 000.‎ P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1 000)＝××＝，‎ 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为 X ‎0‎ ‎500‎ ‎1 000‎ P ‎(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520，‎ 若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，则E(ξ)＝3×＝ ‎，抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲较划算．‎ ‎3．(2018·天津实验中学期中)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中摸球(不放回)，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球，则试验结束．‎ ‎(1)求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；‎ ‎(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望．‎ 解：(1)记“第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球”为事件A，则P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为1,2,3,4，‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝×＝；‎ P(X＝3)＝××＝；P(X＝4)＝×××＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ ‎4．(2018·湖南湘中联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．‎ ‎(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；‎ ‎(2)求η的分布列及期望E(η)．‎ 解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，可得表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”．‎ 又P()＝(1－0.4)3＝0.216，‎ 故P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.‎ ‎(2)η的所有可能取值为200,250,300.‎ P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，‎ P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，‎ P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.‎ 所以η的分布列为 η ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.‎ B组　能力提升练 ‎5．(2018·湖南邵阳月考)某省电视台举行歌唱大赛，大赛依次设初赛、复赛、决赛三个轮次的比赛．已知某歌手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，，，且各轮次通过与否相互独立．记该歌手参赛的轮次为ξ.‎ ‎(1)求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎(2)记“函数f(x)＝3sin(x∈R)是偶函数”为事件A，求A发生的概率．‎ 解：(1)ξ的所有可能取值为1,2,3.‎ P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，‎ P(ξ＝3)＝×＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)若f(x)＝3sin(x∈R)是偶函数，则ξ＝1或ξ＝3.‎ 故P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝＋＝.‎ ‎6．(2018·辽宁大连期中)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的单位进行试销，得到一组检测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如表所示.‎ 试销单价x/元 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ a ‎9‎ 产品销量y/件 b ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 已知变量x，y具有线性负相关关系，且i＝39，i＝480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归方程分别为：甲，y＝4x＋54；乙，y＝－4x＋106；丙，y＝－4.2x＋105.其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．‎ ‎(1)试判断谁的计算结果正确，并求出a，b的值；‎ ‎(2)若由线性回归方程得到的估计数据(xi，i)中的i与检测数据(xi，yi)中的yi差的绝对值不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数ξ的分布列和数学期望．‎ 解：(1)已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲的计算结果不对，由题意得，＝＝6.5，＝＝80，‎ 将＝6.5，＝80分别代入乙、丙的回归方程，经验证知乙的计算结果正确，‎ 故回归方程为y＝－4x＋106.‎ 由i＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8，‎ 由i＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90.‎ ‎(2)列出估计数据(xi，yi)与检测数据(xi，yi)如表.‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ y ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎90‎ ‎86‎ ‎82‎ ‎78‎ ‎74‎ ‎70‎ 易知有3个“理想数据”，故“理想数据”的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎