2020-2021学年高三上学期月考数学（文）试卷（河南省信阳市商城县上石桥高中）

2020-2021学年高三上学期月考数学（文）试卷（河南省信阳市商城县上石桥高中）

（ 文 科 ） 一．选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．设集合 A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{y|y＝2x+1}，则 B∪（∁ UA）＝（ ） A．[1，2） B．（1，+∞） C．[0，+∞） D．R 2．已知 a＝log0.53，b＝30.5，c＝0.50.5，则（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b 3．已知 tanα＝2，π＜α＜ ，则 sinα+cosα＝（ ） A． B． C． D． 4．已知角α的终边经过点（1，3），则 Ⴐ੕ ੕Ⴐ੕ Ⴐ੕ （ ） A． B． C．± D．3 5．曲线 y＝ex+cosx 在 x＝0 处的切线方程为（ ） A．x﹣y+2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝0 6．已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ） 的部分图象如图所示，则 f（ ）＝（ ） A． B．1 C． D． 7．函数 y＝（ex﹣e﹣x）•cosx 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 f（x）＝sin（2x ）在区间[0，a]（其中 a＞0）上单调递增，则实数 a 的 取值范围是（ ） A．{a|0＜a } B．{a|0＜a } C．{a|a＝kπ ，k∈N*} D．{a|2kπ＜a≤2kπ ，k∈N*} 9．已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），且当 0 ＜x＜2 时，f（x）＝2x2﹣log8x，则 f（47）＝（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 10．若 sin（ α） ，则 sin（2α ）＝（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 f（x）＝kx，g（x） ੕ᘐ ᘐ ，若关于 x 的方程 f（x）＝g（x）在区间[1，2] 内有两个不同实数解，则实数 k 的取值范围是（ ） A．[0， ） B．（ ， ] C．[ ੕ ， ） D．[ ੕ ， ） 12．已知函数 f（x）的导数为 f'（x），f（x）﹣xf'（x）＞0 对 x∈（0，+∞）恒成立， 则下列不等式中一定成立的是（ ） A．f（π）＞f（e） B．f（π）＜f（e） C． ＞ D． ＜ 二．填空题:（每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 tanα＝3，则 sin2α﹣cos2α＝ ． 14．设条件 p：|2x+3|＜1；条件 q：x2﹣（2a+2）x+a（a+2）≤0，若 q 是 p 的必要不充分 条件，则实数 a 的取值范围是 ． 15．定义在 R 上的偶函数 f（x）满足：对任意的 x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有 ᘐᘐ ᘐᘐ ＜ 0，且 f（2）＝0，则不等式 x•f（x）＜0 的解集是 ． 16．若函数 f（x） ᘐ ᘐ ax+a 在（0，1）上不单调，则实数 a 的取值范围 是 ． 三．解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.） 17．（10）已知集合 A＝{x|log2（x+3）≤3}，B＝{x|2m﹣1＜x≤m+3}． （1）若 m＝﹣2，求 A∩B； （2）若 A∪B＝A，求实数 m 的取值范围． 18．（12）已知幂函数 ᘐ ᘐ ，且在（0，+∞）上为增函数． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若 f（a+1）＜f（3﹣2a），求 a 的取值范围． 19．（12）已知函数 f（x）＝x2﹣mx+1（m∈R）． （1）若函数 f（x）在 x∈[﹣1，1]上是单调函数，求实数 m 的取值范围； （2）若函数 f（x）在 x∈[1，2]上有最大值为 3，求实数 m 的值． 20．（12）已知函数 f（x）＝x﹣lnx． （1）求定义域及单调区间； （2）求 f（x）的极值． 21．（12）已知函数 f（x）＝2sin（x ）cosx，x∈R． （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）当 x∈[ ， ]时，求函数 f（x）的最大值与最小值． 22．（12）已知函数 f（x）＝ex﹣a（x+2）． （1）当 a＝1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围． 一．选择题（共 12 小题） 1．设集合 A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{y|y＝2x+1}，则 B∪（ ∁ UA）＝（ ） A．[1，2） B．（1，+∞） C．[0，+∞） D．R 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行并集和补集的运算即可． 【解答】解： ∁ ൌ ሼሼ ሼ ሽ ൌ ൌ ， ，B＝{y|y＝2x+1}＝（1，+∞）， ∴B∪（ ∁ UA）＝[0，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，并集和补集的运算，考查了计算能力，属 于基础题． 2．已知 a＝log0.53，b＝30.5，c＝0.50.5，则（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b 【分析】可以得出 ꅈၫ ＜ ， ꅈၫ ＞ ， ＜ ． ၫ ꅈၫ ＜ ，然后即可得出 a，b，c 的大小 关系． 【解答】解：∵log0.53＜log0.51＝0，30.5＞1，0＜0.50.5＜1， ∴a＜c＜b． 故选：C． 【点评】本题考查了对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 3．已知 tan α ＝2， π ＜ α ＜ ，则 sin α +cos α ＝（ ） A． ၫ ၫ B． ၫ ၫ C． ၫ D． ၫ ၫ【分析】由已知可求得 sin α +cos α ＜0，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解． 【解答】解：∵ π ＜ α ＜ ， ∴sin α ＜0，cos α ＜0，可得 sin α +cos α ＜0， ∵tan α ＝2， ∴ sin α +cos α ൌ ꅈၫ ꅈꅈ ൌ ꅈၫꅈꅈ ൌ ꅈၫꅈꅈ ꅈၫꅈꅈ ൌ ꅈၫ ꅈၫ ൌ ൌ ၫ ၫ ． 故选：A． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查 了转化思想，属于基础题． 4．已知角 α 的终边经过点（1，3），则 ꅈꅈ ꅈၫ ꅈꅈ ൌ （ ） A． B． C． D．3 【分析】由题意任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得结论． 【解答】解：∵角 α 终边经过点（1，3），∴tan αൌ ൌ 3， 则 ꅈꅈ ꅈၫ ꅈꅈ ൌ ꅈꅈ ꅈၫ ꅈꅈ ꅈၫ ൌ ꅈၫ ꅈၫ ൌ ൌ ； 故选：B． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础 题． 5．曲线 y＝ex+cosx 在 x＝0 处的切线方程为（ ） A．x﹣y+2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝0 【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合切线方程即可得到结论． 【解答】解：函数的导数为 f′（x）＝ex﹣sinx， 则在 x＝0 处的切线斜率 k＝f′（0）＝1，f（0）＝2， 则在 x＝0 处的切线方程为 y﹣2＝x﹣0， 即 x﹣y+2＝0， 故选：A． 【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关 键． 6．已知函数 f（x）＝Asin（ ω x+ φ ）（A＞0， ω ＞0，| φ |＜ ）的部分图象如图所示，则 f（ ） ＝（ ） A． B．1 C． D． 【分析】由函数 f（x）的部分图象求得 A、T、 ω 和 φ 的值，即可写出 f（x），进而根据特 殊角的三角函数值即可求解． 【解答】解：由函数 f（x）＝Asin（ ω x+ φ ）的部分图象知， A＝2， T ൌ ，解得 T＝4 πൌ ， ∴ ωൌ ； 又 f（ ）＝2sin（ φ ）＝2， 可得 φ ＝2k π ，k ∈ Z，解得 φ ＝2k π ，k ∈ Z， ∵| φ |＜ ， ∴可得 φൌ ， ∴f（x）＝2sin（ x ）， ∴f（ ）＝2sin（ ）＝2sin ൌ ． 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 7．函数 y＝（ex﹣e﹣x）•cosx 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结 果． 【解答】解：函数 y＝（ex﹣e﹣x）•cosx，可得 f（﹣x）＝（e﹣x﹣ex）cos（﹣x）＝﹣（ex ﹣e﹣x）•cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除 B，排除 D． x＝2 时，f（2）＝（e2﹣e﹣2）•cos2＜0，对应点在第四象限，排除 A， 故选：C． 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置，是判断函数的 图象的常用方法． 8．已知函数 f（x）＝sin（2x ）在区间[0，a]（其中 a＞0）上单调递增，则实数 a 的取值 范围是（ ） A．{a|0＜a } B．{a|0＜a } C．{a|a＝k π ，k ∈ N*} D．{a|2k π ＜a≤2k π ，k ∈ N*} 【分析】求出原函数的单调增区间，可得 f（x）的一个增区间为[ ၫ ， ]，再由函数 f （x）在区间[0，a]（其中 a＞0）上单调递增，可得 a 的取值范围． 【解答】解：由 ၫ ሼ ၫ ， 得 ၫ ၫ ሼ ၫ ，k ∈ Z． 取 k＝0，得 ၫ ሼ ， 则函数数 f（x）＝sin（2x ）的一个增区间为[ ၫ ， ]． ∵函数 f（x）＝sin（2x ）在区间[0，a]（其中 a＞0）上单调递增， ∴0＜a ． 故选：A． 【点评】本题考查正弦型复合函数单调性的求法，考查运算求解能力，是基础题． 9．已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），且当 0＜x ＜2 时，f（x）＝2x2﹣log8x，则 f（47）＝（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 【分析】根据 f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），可知该函数的周期为 4，然后再 结合周期性、奇偶性将所求的函数值转化为已知区间上的函数值求解． 【解答】解：因为 f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x）， 所以 f（x）是周期为 4 的奇函数． 所以 f（47）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性等性质，以及学生运用转化思想解题的能力和 运算能力．属于基础题． 10．若 sin（ α ） ൌ ，则 sin（2 α ）＝（ ） A． B． C． D． 【分析】利用二倍角公式化简即可求出结果． 【解答】解：因为 sin（ α ） ൌ ， 所以 ꅈꅈ ൌ ൌ ， 所以 sin（2 α ） ൌ ꅈၫൌ ൌ ꅈꅈ ൌ ꅈꅈ ൌ ． 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础 题． 11．已知函数 f（x）＝kx，g（x） ൌ ሼ ሼ ，若关于 x 的方程 f（x）＝g（x）在区间[1，2]内有 两个不同实数解，则实数 k 的取值范围是（ ） A．[0， ） B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ） 【分析】令 ሼ ൌ ሼ ሼ ，x ∈ [1，2]，将题意转化为 h（x）在[1，2]内的图象与直线 y＝k 有 两个交点，利用导数求出函数 h（x）的单调性及极值，进而画出函数 h（x）的草图，再 数形结合分析即可得答案． 【解答】解：由 f（x）＝g（x） 知 ， ၫሼ ൌ ሼ ሼ ，则 ၫ ൌ ሼ ሼ ，令 ሼ ൌ ሼ ሼ ，x ∈ [1，2]， 因为方程 f（x）＝g（x） 在区间[1，2]内有两个不同的实数解， ∴h（x）在[1，2]内的图象与直线 y＝k 有两个交点， ∴ ሼ ൌ ሼ ሼ ， 令 ሼ ＞ ， ＜ ሼ ＜ ，令 ሼ ＜ ， ＜ ሼ ＜ ， 当 ሼ ൌ 时，h（x） 取最大值 ൌ ， 当 x＝1 时，h（1）＝0；当 x＝2 时，f（2） ൌ ， 因为 h（2）＞h（1）， 数形结合易知，当 k ∈ൌ ， 时，h（x） 与直线 y＝k 有两个交点． 故选：C． 【点评】本题考查函数的零点与方程的解之间的联系，分离参数法的应用，利用导数研 究函数单调性、极值及最值，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 12．已知函数 f（x）的导数为 f'（x），f（x）﹣xf'（x）＞0 对 x ∈ （0，+∞）恒成立，则下列 不等式中一定成立的是（ ） A．f（ π ）＞f（e） B．f（ π ）＜f（e） C． ＞ D． ＜ 【分析】构造函数 g（x） ൌ ሼ ሼ ，求导后可证得 g（x）在（0，+∞）上单调递减，由 π＞e，知 g（ π ）＜g（e），从而得解． 【解答】解：设 g（x） ൌ ሼ ሼ ，则 g'（x） ൌ ሼሼሼ ሼ ， ∵f（x）﹣xf'（x）＞0 对 x ∈ （0，+∞）恒成立， ∴g'（x）＜0，即 g（x）在（0，+∞）上单调递减， ∵ π ＞e，∴g（ π ）＜g（e），即 ＜ ． 故选：D． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的 转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 二．填空题（共 4 小题） 13．已知 tan α ＝3，则 sin2 α ﹣cos2 α ＝ ၫ ． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解． 【解答】解：∵tan α ＝3， ∴sin2 α ﹣cos2 αൌ ꅈၫꅈꅈ ꅈၫꅈꅈ ൌ ꅈၫ ꅈၫ ൌ ၫ ． 故答案为： ၫ ． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查 了转化思想，属于基础题． 14．设条件 p：|2x+3|＜1；条件 q：x2﹣（2a+2）x+a（a+2）≤0，若 q 是 p 的必要不充分条 件，则实数 a 的取值范围是 [﹣3，﹣2] ． 【分析】求出 p，q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进 行求解即可． 【解答】解：∵q 是 p 的必要不充分条件，∴p ⇒ q，且 q⇏ p． 记 p：A＝{x||2x+3|＜1}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}， q：B＝{x|x2﹣（2a+2）x+a（a+2）≤0}＝{x|a≤x≤a+2}， 则 A 是 B 的真子集．从而 ၫ ၫ 且两个等号不同时成立， 解得﹣3≤a≤﹣2． 故实数 a 的取值范围是[﹣3，﹣2] 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合 关系是解决本题的关键． 15．定义在 R 上的偶函数 f（x）满足：对任意的 x1，x2 ∈ （﹣∞，0]（x1≠x2），有 ሼሼ ሼሼ ＜ 0，且 f（2）＝0，则不等式 x•f（x）＜0 的解集是 （﹣∞，﹣2）∪（0，2） ． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：因为任意的 x1，x2 ∈ （﹣∞，0]（x1≠x2），有 ሼሼ ሼሼ ＜0， 所以函数 f（x）在（﹣∞，0]上单调递减， 由偶函数的对称性可知，f（x）在（0，+∞）上单调递增， 由 f（2）＝0 可得 f（﹣2）＝0， 由 x•f（x）＜0 可得 ሼ ＞ ሼ ＜ 或 ሼ ＜ ሼ ＞ ， 解可得，x＜﹣2 或 0＜x＜2． 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2） 【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本 题的关键，综合考查函数性质的应用． 16．若函数 f（x） ൌ ሼ ሼ ax+a 在（0，1）上不单调，则实数 a 的取值范围是 （0，1） ． 【分析】求导得 f'（x）＝x2﹣2x+a，由二次函数的性质可知，f'（x）在（0，1）上单调 递减，而原问题可转化为 f'（x）在（0，1）内至少有一个变号零点，再结合零点存在定 理列出关于 a 的不等式组，解之即可． 【解答】解：∵f（x） ൌ ሼ ሼ ax+a，∴f'（x）＝x2﹣2x+a，对称轴为 x＝1，开口向 上， ∴f'（x）在（0，1）上单调递减， ∵f（x）在（0，1）上不单调，∴f'（x）在（0，1）内至少有一个变号零点， ∴ ＞ ＜ ，即 ၫ ＞ ၫ ＜ ，解得 0＜a＜1． ∴实数 a 的取值范围是（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，将原函数的单调性转化为导函数的零点 问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 三．解答题（共 6 小题） 17．已知集合 A＝{x|log2（x+3）≤3}，B＝{x|2m﹣1＜x≤m+3}． （1）若 m＝﹣2，求 A∩B； （2）若 A∪B＝A，求实数 m 的取值范围． 【分析】（1）m＝﹣2 时，求出集合 A，B，由此能求出 A∩B． （2）当 B＝ ∅ 时，2m﹣1≥m+3，当 B≠ ∅ 时， ꌨ ＜ ꌨ ꌨ ＞ ꌨ ၫ ，由此能求出实数 m 的取 值范围． 【解答】解：（1）m＝﹣2 时，集合 A＝{x|log2（x+3）≤3}＝{x|﹣3＜x≤5}， B＝{x|2m﹣1＜x≤m+3}＝{x|﹣5＜x≤1}． ∴A∩B＝{x|﹣3＜x≤1}． （2）∵集合 A＝{x|log2（x+3）≤3}＝{x|﹣3＜x≤5}， B＝{x|2m﹣1＜x≤m+3}，A∪B＝A， ∴当 B＝ ∅ 时，2m﹣1≥m+3，解得 m≥4． 当 B≠ ∅ 时， ꌨ ＜ ꌨ ꌨ ꌨ ၫ ，解得﹣1≤m≤2． 综上，实数 m 的取值范围是{m|﹣1≤m≤2 或 m≥4}． 【点评】本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题． 18．已知幂函数 ሼ ൌ ꌨ ꌨ ሼ ꌨ ꌨ ，且在（0，+∞）上为增函数． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若 f（a+1）＜f（3﹣2a），求 a 的取值范围． 【分析】（1）由幂函数的定义及性质得 ꌨ ꌨ ൌ ꌨ ꌨ ＞ 求出 m 的值，进而求出函数的 解析式； （2）由题意函数的单调性求出 0＜a+1＜3﹣2a，求出 a 的取值范围． 【解答】解：（1）m2﹣3m+3＝1，即 m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得 m＝ 1 或 m＝2， 当 m＝1 时， ሼ ൌ ሼ ൌ ሼ ， 当 m＝2 时， ሼ ൌ ሼ ൌ ሼ ， ∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴ ሼ ൌ ሼ ； （2）由（1）得 f（x）定义域为[0，+∞）且 f（x）在（0，+∞）上为增函数∴ ၫ ၫ ၫ ＜ ၫ ， 解得： ၫ ＜ ， 所以 a 的取值范围为： ൌ ， ． 【点评】考查幂函数的定义及性质，属于基础题． 19．已知函数 f（x）＝x2﹣mx+1（m ∈ R）． （1）若函数 f（x）在 x ∈ [﹣1，1]上是单调函数，求实数 m 的取值范围； （2）若函数 f（x）在 x ∈ [1，2]上有最大值为 3，求实数 m 的值． 【分析】（1）根据题意，由二次函数的性质可得 f（x）的开口方向以及对称轴方程，进 而结合函数单调性的定义分析可得答案； （2）根据题意，由二次函数的性质可得函数 f（x）在 x＝1 或 x＝2 处取得最大值，据此 分情况讨论即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，函数 f（x）＝x2﹣mx+1，为二次函数，其开口向上且对称 轴 ሼ ൌ ꌨ ， 当 f（x）在 x ∈ [﹣1，1]上单调递增时， ꌨ ，解得 m≤﹣2， 当 f（x）在 x ∈ [﹣1，1]上单调递减时， ꌨ ，解得 m≥2， 综上，m ∈ （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． （2）由题意，函数 f（x）在 x＝1 或 x＝2 处取得最大值， 当 f（1）＝3 时，解得 m＝﹣1，此时 3 为最小值，不合题意，舍去； 当 f（2）＝3 时，解得 m＝1，此时 3 为最大值，符合题意． 综上所述，m＝1． 【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的单调性以及最值，属于基础题． 20．已知函数 f（x）＝x﹣lnx． （Ⅰ）求定义域及单调区间； （Ⅱ）求 f（x）的极值 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的极值即可． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞）， f（x）＝x﹣lnx，f′（x）＝1 ሼ ൌ ሼ ሼ ，x ∈ （0，+∞）， 令 f′（x）＞0，解得：x＞1，令 f′（x）＜0，解得：0＜x＜1， 故 f（x）的递减区间是（0，1），递增区间是（1，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 故 f（x）的极小值是 f（1）＝1，无极大值． 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道基础题． 21．已知函数 f（x）＝2sin（x ）cosx，x ∈ R． （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）当 x ∈ [ ， ]时，求函数 f（x）的最大值与最小值． 【分析】（1）利用三角函数的辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可． （2）求出角的范围，结合函数的最值与单调性之间的关系进行求解即可． 【解答】（1）解：f（x）＝2sin（x ）cosx＝2（ sinx cosx）cosx ＝sinxcosx cos2x ൌ sin2x • ꅈꅈሼ ൌ sin2x cos2x ൌ sin（2x ） ， 故函数 f（x）的最小正周期 T＝ π ． （2）当 ሼ ∈ ൌ ， 时， 2x ， 2x ၫ ， 即当 2x ൌ 时，函数取得最大值， ሼꌨၫሼ ൌ ， 当 2x ൌ 时，函数取得最小值， ሼꌨၫ ൌ ． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函 数的周期性和单调性的性质是解决本题的关键．难度不大． 22．已知函数 f（x）＝ex﹣a（x+2）． （1）当 a＝1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围． 【分析】（1）当 a＝1 时，f′（x）＝ex﹣1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义 域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性； （2）当 a≤0 时，f′（x）＝ex﹣a＞0 恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不 合题意；当 a＞0 时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于 0 即可求得 a 的取值范围． 【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且 f′（x）＝ex﹣a． （1）当 a＝1 时，f′（x）＝ex﹣1，令 f′（x）＝0，解得 x＝0． ∴当 x ∈ （﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当 x ∈ （0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增； （2）当 a≤0 时，f′（x）＝ex﹣a＞0 恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不 合题意； 当 a＞0 时，令 f′（x）＝0，解得 x＝lna， 当 x ∈ （﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当 x ∈ （lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ∴f（x）的极小值也是最小值为 f（lna）＝a﹣a（lna+2）＝﹣a（1+lna）． 又当 x→﹣∞时，f（x）→+∞，当 x→+∞时，f（x）→+∞． ∴要使 f（x）有两个零点，只要 f（lna）＜0 即可， 则 1+lna＞0，可得 a＞ ． 综上，若 f（x）有两个零点，则 a 的取值范围是（ ，+∞）． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数 零点的个数求参数的取值范围，是中档题．