贵州省凯里一中2020届高三3月模拟考试（入学诊断）数学（理科）试题 Word版含解析

贵州省凯里一中2020届高三3月模拟考试（入学诊断）数学（理科）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）‎ 一、选择题 ‎1.若全集，，则（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，再计算补集得到答案.‎ ‎【详解】，，∴或.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了补集的计算，属于简单题.‎ ‎2.设复数，且为纯虚数，则 （ ）‎ A. -1 B. 1 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 为纯虚数，，解得，故选D.‎ ‎3.蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）有着很大的关系.某观测人员根据下列表格中的观测数据计算出关于的线性回归方程，那么下表中的值为（ ）‎ ‎（℃）‎ ‎38‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎39‎ ‎（次数/分钟）‎ ‎29‎ ‎44‎ ‎36‎ A. B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，，代入回归方程计算得到答案.‎ ‎【详解】计算，，‎ 代入与的线性回归方程中，得，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了根据回归方程求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎4.若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图依次计算，找出规律：的值成周期为的间隔存在，得到答案.‎ - 23 -‎ ‎【详解】由程序框图可得第一次：，，‎ 第二次，，，不满足退出循环的条件；‎ 第三次，，，不满足退出循环的条件；‎ 第四次，，，不满足退出循环的条件；‎ 第五次，，，不满足退出循环的条件；‎ 第六次，，，不满足退出循环的条件；‎ ‎…‎ 观察可知的值成周期为的间隔存在，‎ 第次，，，满足退出循环的条件；‎ 第次，，，满足退出循环的条件；‎ 故输出值为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，找出周期规律是解题的关键.‎ ‎5.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程，利用题设垂直，求得，即可得到双曲线的实轴长．‎ 详解：由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，‎ 所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．‎ ‎6.已知，，则（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再根据计算得到答案.‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 所以 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，变换是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.若函数的图象关于点对称，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据对称中心得到，，解得答案.‎ ‎【详解】函数，其图象关于点对称，‎ 则，；解得，，‎ 又，所以时，取得最小值是.‎ 故选：A.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了根据三角函数的中心对称求参数，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.‎ ‎8.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ - 23 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，当时，，故排除ABC，得到答案.‎ ‎【详解】当时，，当时，，故排除ABC.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的识别，取特殊值排除选项可以快速得到答案，是解题的关键.‎ - 23 -‎ ‎9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为（ ）‎ A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用体积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】由题意可得：这个四棱锥的体积立方尺，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了四棱锥的体积计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.‎ ‎10.已知实数满足不等式组若当且仅当，时，取得最大值，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域和目标函数，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】由题意作出其平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，‎ 则由图可知，当且仅当，时，取得最大值，‎ 即目标函数取得最大值时的唯一最优解是，则，‎ 故选：.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了根据线性规划最值点求参数范围，画出图像是解题的关键.‎ ‎11.已知均为正实数，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数，，，的图像，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】，，，‎ 利用函数，，，，‎ 如图所示：由图象可得：，‎ - 23 -‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了比较方程的解的大小关系，画出函数图像是解题的关键.‎ ‎12.已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三边，转化为 ‎，即可求解其最小值．‎ 详解：设椭圆的右焦点为，‎ 由，则，‎ 根据椭圆的定义可得，‎ 所以 ‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ 二、填空题 ‎13.已知向量，，若，则______.‎ - 23 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，得到，计算模长得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，向量，，，则，解得，‎ 则，则；‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到两个班级，若甲必须在班，且每班至少有这五名中的人，则不同的分配方案有______种.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将人分为人数为、两组，有种分法，将甲所在的组安排到班，剩下的组安排到班，有种情况，得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，分步进行分析：‎ ‎①将人分为人数为、的两组，有种分法，‎ ‎②将甲所在的组安排到班，剩下的组安排到班，有种情况，‎ 则有种不同的安排方法.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题了分步乘法原理，意在考查学生的应用能力.‎ ‎15.已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正三棱锥内切球的表面积为__________．‎ - 23 -‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出对应的图像,设圆心,再利用内切圆的性质,根据直角三角形中的长度关系即可内切圆的半径.进而求得表面积.‎ ‎【详解】如图,是底面的重心,则内切球球心在上,与到的距离都是内切球的半径.‎ 其中,,所以.设内切圆的半径为.由,得.即,解得.所以内切球的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了内切圆的性质与计算,需要根据立体几何中的相似与比例关系列式求解.属于中等题型.‎ ‎16.已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值 ‎【详解】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，，‎ 即 则，‎ 当且仅当时取到等号；‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题 三、解答题 ‎17.已知数列的前项和,数列满足.‎ ‎(1)求数列和通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)，.(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为.则.‎ ‎（2）结合(1)中的结论错位相减可得数列的前项和.‎ 详解：(1)在中,令,得，‎ 当时, ,所以 .‎ - 23 -‎ 由于满足,所以.‎ 因为,所以.‎ ‎（2）由（1）知，所以 ，①‎ 则 .②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ，‎ 所以.‎ 点睛：数列求和的方法技巧 ‎(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．‎ ‎(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．‎ ‎(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．‎ ‎18.2019年初，某高级中学教务处为了解该高级中学学生的作文水平，从该高级中学学生某次考试成绩中按文科、理科用分层抽样方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩频率分布直方图如图所示，，参考的文科生与理科生人数之比为，成绩（单位：分）分布在的范围内且将成绩（单位：分）分为，，，，，六个部分，规定成绩分数在分以及分以上的作文被评为“优秀作文”，成绩分数在50分以下的作文被评为“非优秀作文”.‎ - 23 -‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）（i）完成下面列联表；‎ 文科生/人 理科生/人 合计 优秀作文 ‎6‎ ‎______‎ ‎______‎ 非优秀作文 ‎______‎ ‎______‎ ‎______‎ 合计 ‎______‎ ‎______‎ ‎400‎ ‎（ii）以样本数据研究学生的作文水平，能否在犯错误的概率不超过的情况下认为获得“优秀作文”与学生的“文理科“有关？‎ 注：，其中.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），，（2）（i）填表见解析（ii）在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关 - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率直方图得到，，解得答案.‎ ‎（2）（i）计算人中文科生的数量为，理科生的数量为，完善列联表得到答案.‎ ‎（2）（ii）计算，对比临界值表得到答案.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图可知，，‎ 因为，所以，‎ 解得，所以，.‎ 即，，.‎ ‎（2）（i）获奖的人数为人，‎ 因为参考的文科生与理科生人数之比为，‎ 所以人中文科生的数量为，理科生的数量为.‎ 由表可知，获奖的文科生有人，所以获奖的理科生有人，‎ 不获奖的文科生有人，不获奖的理科生有.‎ 于是可以得到列联表如下：‎ 文科生 理科生 合计 获奖 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 不获奖 ‎74‎ ‎306‎ ‎380‎ 合计 ‎80‎ ‎320‎ ‎400‎ ‎（ii）计算；‎ 所以在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了频率直方图，列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19.如图，在正方体中，点为的中点，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，平面的法向量，，得到证明.‎ ‎（2）计算平面的法向量，平面的法向量，计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，‎ ‎，平面的法向量，‎ ‎∵，平面，∴平面.‎ ‎（2），，，，，‎ ‎，，，，‎ 设平面的法向量，‎ - 23 -‎ 则，取，得，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取得，得，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则二面角的余弦值为.‎ ‎、‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.设是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点，当它与轴正方向的夹角为60°时,.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知,设是该抛物线上的任意一点,是轴上的两个动点,且，当取得最大值时,求的面积.‎ ‎【答案】(1) .(2)4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，由抛物线的定义得，当与轴正方向的夹角60°时，，由，从而可得结果；(2)设 - 23 -‎ ‎，则，所以，则，利用基本不等式、结合三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）设，则由抛物线的定义得.‎ 当与轴正方向的夹角60°时，，即.‎ 又.‎ 所以，抛物线的方程为 ‎（2）因为所以点在线段的中垂线上，‎ 设，则 所以 所以 当且仅当时等号成立，此时 所以.‎ - 23 -‎ 点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在，上单调递增；（2）的取值范围为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意 ，根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若对恒成立，显然需要转化为最值问题，设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而.若，令 ，当时，；‎ 当时，.∴综合得出结论即可 解析：（1） ，‎ 当时，，∴在上单调递增.‎ 当时，，故当或时，在上单调递增.‎ - 23 -‎ 当时，令，得或；‎ 令，得.‎ ‎∴在上单调递减，在，上单调递增.‎ ‎（2）设，则，‎ 当时，，或，，则，‎ ‎∴在上递增，从而.‎ 此时，在上恒成立.‎ 若，令 ，当时，；‎ 当时，.‎ ‎∴，则不合题意.‎ 故的取值范围为.‎ 点睛：单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论，注意讨论的完整性，另外对于恒成立问题，通常是转化为最值问题求解，分析函数单调性求出最值解不等式即可 ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若，直线与曲线交于两点，求的值.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线直角坐标方程为，根据极坐标公式得到答案.‎ ‎（2）直线的参数方程为，代入椭圆方程得到，，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为.‎ 曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为.‎ ‎（2）把直线的参数方程转换为标准式为（为参数），‎ 代入，得到：，所以，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程的转化，直线的参数方程求弦长，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入，分别解不等式及，求交集可得不等式的解集；（2），可对 分三种情况进行讨论，求解的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，因为 所以的解集为，‎ 由，得，则，即，‎ 解得，故不等式的解集为；‎ ‎（2）当时，，‎ 则，又，所以．‎ 当时，，故不合题意，‎ 当时，‎ 当且仅当时等号成立，则，又，所以 综上：的取值范围为．‎ ‎【点睛】不等式证明选讲近年来多以考查绝对值不等式为主，要能够对参数熟练进行分类讨论，或者运用绝对值不等式几何意义进行求解，当不等式两侧都含有绝对值时，对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论，减少计算量.‎ - 23 -‎ - 23 -‎