【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-8-2解析几何压轴大题解题上——6大技法破解计算繁杂这一难题作业

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【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-8-2解析几何压轴大题解题上——6大技法破解计算繁杂这一难题作业

课时跟踪检测(五十五) 解题上——6大技法破解计算繁杂这一难题 ‎ ‎1.在平面直角坐标系xOy中,设直线y=-x+2与圆x2+y2=r2(r>0)交于A,B两点,O为坐标原点,若圆上一点C满足=+,则r=(  )‎ A.2         B. C.2 D. 解析:选B 已知=+,‎ 两边平方化简得·=-r2,‎ 所以cos∠AOB=-,所以cos=,‎ 又圆心O(0,0)到直线的距离为=,‎ 所以=,解得r=.‎ ‎2.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(  )‎ A.          B. C. D.1‎ 解析:选C 如图所示,设P(x0,y0)(y0>0),‎ 则y=2px0,即x0=.设M(x′,y′),由=2,‎ 得 化简可得∴直线OM的斜率k===≤=(当且仅当y0=p时取等号).故直线OM的斜率的最大值为.‎ ‎3.(2019·惠州调研)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且直线l与圆x2+y2=4相交所得的弦长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为(  )‎ A.5 B.4‎ C.3 D.2‎ 解析:选C 由直线与圆相交所得的弦长为2,得圆心到直线的距离d==,所以m2+n2=≥2|mn|,当且仅当m=n时等号成立.所以|mn|≤,又A,B,所以△AOB的面积S=≥3,故△AOB面积的最小值为3.‎ ‎4.(2019·兰州模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线右支上一点,若|PF1|2=8a|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为(  )‎ A.(1,3] B.[3,+∞)‎ C.(0,3) D.(0,3]‎ 解析:选A 根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上,得|PF1|-|PF2|=2a,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m-n=2a,m2=8an,∴m2-4mn+4n2=0,∴m=2n,则n=2a,m=4a,依题得|F1F2|≤|PF1|+|PF2|,∴2c≤4a+2a,∴e=≤3,又e>1,∴1<e≤3,即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3].‎ ‎5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,斜率为的直线交抛物线于A,B两点,若=λ (λ>1),则λ的值为(  )‎ A.5 B.4‎ C. D. 解析:选B 根据题意设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由=λ,得=λ,‎ 故-y1=λy2,即λ=-.‎ 设直线AB的方程为y=,‎ 联立直线与抛物线方程,消去x,得y2-py-p2=0.‎ 故y1+y2=p,y1y2=-p2,‎ 则=++2=-,‎ 即-λ-+2=-.‎ 又λ>1,解得λ=4.‎ ‎6.已知椭圆C:+y2=1,过椭圆上一点A(0,1)作直线l交椭圆于另一点B,P为线段AB的中点,若直线AB,OP的斜率存在且不为零,则kABkOP=________.‎ 解析:法一:(特殊值法)取B,则P,‎ 则kAB=,kOP=,‎ 故kAB·kOP=×=-.‎ 法二:由题意,设直线l的方程为y=kx+1,‎ 联立方程 消去y得,(1+4k2)x2+8kx=0,‎ 得xB=,即B.‎ 则P,‎ ‎∴kAB=k,kOP=-,‎ ‎∴kAB·kOP=-.‎ 法三:(点差法)设A(xA,yA),B(xB,yB),P(x0,y0),‎ 则两式相减得+y-y=0,‎ 化简得·=-,‎ 即·=-,‎ ‎∴kAB·kOP=-.‎ 答案:- ‎7.已知AB为圆x2+y2=1的一条直径,点P为直线x-y+2=0上任意一点,则·的最小值为________.‎ 解析:由题意,设A(cos θ,sin θ),P(x,x+2),‎ 则B(-cos θ,-sin θ),‎ ‎∴=(cos θ-x,sin θ-x-2),‎ =(-cos θ-x,-sin θ-x-2),‎ ‎∴·=(cos θ-x)(-cos θ-x)+(sin θ-x-2)·(-sin θ-x-2)=x2+(x+2)2-cos2θ-sin2θ=2x2+4x+3=2(x+1)2+1,‎ 当且仅当x=-1,即P(-1,1)时,·取最小值1.‎ 答案:1‎ ‎8.(2019·武汉调研)已知A,B分别为椭圆+=1(0<b<3)的左、右顶点,P,Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点,设直线AP,BQ的斜率分别为m,n,若点A到直线y= x的距离为1,则该椭圆的离心率为________.‎ 解析:根据椭圆的标准方程+=1(0<b<3)知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,A(-3,0),B(3,0),设P(x0,y0),Q(x0,-y0),则+=1,kAP=m=,kBQ=n=,∴mn==,∴=,∴直线y= x=x,即x-3y=0.又点A到直线y= x的距离为1,∴==1,解得b2=,∴c2=a2-b2=,∴e===.‎ 答案: ‎9.已知椭圆C:+y2=1的右顶点为A,上顶点为B.设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.‎ 解:由题意知,A(2,0),B(0,1),‎ 设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则x+4y=4,‎ 所以直线PA的方程为y=(x-2),‎ 令x=0,得yM=-,‎ 从而|BM|=1-yM=1+,‎ 直线PB的方程为y=x+1,‎ 令y=0,得xN=-,‎ 从而|AN|=2-xN=2+,‎ 所以四边形ABNM的面积 S=|AN||BM|= ‎= ‎= ‎=2,‎ 从而四边形ABNM的面积为定值.‎ ‎10.已知离心率为的椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点,|AB|=.‎ ‎(1)求此椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线y=kx+2与椭圆交于C,D两点,若以线段CD为直径的圆过点E(-1,0),求k的值.‎ 解:(1)设焦距为2c,∵e==,a2=b2+c2,‎ ‎∴=.由题意可知=,∴b=1,a=,‎ ‎∴椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)将y=kx+2代入椭圆方程,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,‎ 又直线与椭圆有两个交点,‎ 所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0,解得k2>1.‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=.‎ 若以CD为直径的圆过E点,‎ 则·=0,‎ 即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,‎ 而y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,‎ 所以(x1+1)(x2+1)+y1y2‎ ‎=(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5‎ ‎=-+5=0,‎ 解得k=,满足k2>1,所以k=.‎
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