2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 第 2 课时 单调性与最值
第 2 课时 单调性与最值
学习目标 1.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最
值.2.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)
及 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
知识点 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性
在 2kπ－π
2
，2kπ＋π
2 (k∈Z)上单调
递增，
在 2kπ＋π
2
，2kπ＋3
2π (k∈Z)上单
调递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调
递增，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调
递减
最值
x＝π
2
＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－π
2
＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
思考 正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？
答案 不正确．正弦函数在每个闭区间 2kπ－π
2
，2kπ＋π
2 (k∈Z)上是增函数，并不是在整个定
义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是
在整个定义域上是减函数．
预习小测 自我检验
1．函数 y＝2cos x＋1 的值域为________．
答案 [－1,3]
2．函数 y＝sin x 取最大值时 x＝________.
答案 π
2
＋2kπ，k∈Z
3．函数 y＝sin x
π
6
≤x≤π 的值域为________．
答案 [0,1]
4．函数 y＝－cos x 的单调递减区间是________；单调递增区间是________．
答案 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
一、求正弦、余弦函数的单调区间
例 1 求函数 y＝2sin x－π
3 的单调区间．
解 令 z＝x－π
3
，则 y＝2sin z.
∵z＝x－π
3
是增函数，
∴y＝2sin z 单调递增(减)时，
函数 y＝2sin x－π
3 也单调递增(减)．
由 z∈ 2kπ－π
2
，2kπ＋π
2 (k∈Z)，
得 x－π
3
∈ 2kπ－π
2
，2kπ＋π
2 (k∈Z)，
即 x∈ 2kπ－π
6
，2kπ＋5π
6 (k∈Z)，
故函数 y＝2sin x－π
3 的单调递增区间为 2kπ－π
6
，2kπ＋5π
6 (k∈Z)．
同理可求函数 y＝2sin x－π
3 的单调递减区间为 2kπ＋5π
6
，2kπ＋11
6 π (k∈Z)．
延伸探究
求函数 y＝2sin
π
4
－x 的单调递减区间．
解 y＝2sin
π
4
－x ＝－2sin x－π
4 ，
令 z＝x－π
4
，而函数 y＝－2sin z 的单调递减区间是 －π
2
＋2kπ，π
2
＋2kπ (k∈Z)．
∴原函数递减时，得－π
2
＋2kπ≤x－π
4
≤π
2
＋2kπ(k∈Z)，
得－π
4
＋2kπ≤x≤3π
4
＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的单调递减区间是 －π
4
＋2kπ，3π
4
＋2kπ (k∈Z)．
反思感悟 求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，
将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求 y＝Asin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求
形如 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
跟踪训练 1 求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝cos 2x；(2)y＝sin
π
6
－x ，x∈
π
2
，2π .
解 (1)由 2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，
所以 kπ－π
2
≤x≤kπ(k∈Z)，
所以函数 y＝cos 2x 的单调递增区间为 kπ－π
2
，kπ (k∈Z)．
(2)因为 y＝sin
π
6
－x ＝－sin x－π
6 ，
所以函数 y＝sin
π
6
－x 的单调递增区间就是函数 y＝sin x－π
6 的单调递减区间，
由 2kπ＋π
2
≤x－π
6
≤2kπ＋3π
2
，k∈Z，得
2kπ＋2π
3
≤x≤2kπ＋5π
3
，k∈Z.
因为 x∈
π
2
，2π ，
所以所求函数的单调递增区间为
2π
3
，5π
3 .
二、三角函数值的大小比较
例 2 比较下列各组中函数值的大小：
(1)cos
－23
5 π 与 cos
－17
4 π ；
(2)sin 194°与 cos 160°.
解 (1)cos
－23
5 π ＝cos
－6π＋7
5π ＝cos 7
5π，
cos
－17
4 π ＝cos
－6π＋7
4π ＝cos 7
4π，
∵π<7
5π<7
4π<2π，∴cos 7
5π
cos 160°.
反思感悟 比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数；
(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练 2 比较大小：(1)cos
－7π
8 与 cos 7π
6
；
(2)sin 7
4
与 cos 5
3.
解 (1)cos
－7π
8 ＝cos 7π
8
＝cos π－π
8 ＝－cos π
8
，
而 cos 7π
6
＝－cos π
6
，
∵0<π
8<π
6<π
2
，∴cos π
8>cos π
6.
∴－cos π
8<－cos π
6
，∴cos
－7π
8 sin
π
2
＋5
3 ＝cos 5
3
，即 sin 7
4>cos 5
3.
三、正弦、余弦函数的最值(值域)
例 3 求下列函数的值域：
(1)y＝cos x＋π
6 ，x∈ 0，π
2 ；
(2)y＝cos2x－4cos x＋5.
解 (1)由 y＝cos x＋π
6 ，x∈ 0，π
2 可得 x＋π
6
∈
π
6
，2π
3 ，
因为函数 y＝cos x 在区间
π
6
，2π
3 上单调递减，所以函数的值域为 －1
2
， 3
2 .
(2)y＝cos2x－4cos x＋5，令 t＝cos x，则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当 t＝－1，函数取得最大值 10；
t＝1 时，函数取得最小值 2，所以函数的值域为[2,10]．
反思感悟 求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如 y＝asin x＋b(或 y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的
有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量 x 的集合时，要
注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如 y＝asin2x＋bsin x＋c(或 y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D 的函数的值域或最值时，通
过换元，令 t＝sin x(或 cos x)，将原函数转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求值域或最值
即可．求解过程中要注意 t＝sin x(或 cos x)的有界性．
跟踪训练 3 (1)函数 y＝2cos 2x＋π
6 ，x∈ －π
6
，π
4 的值域为________．
(2)函数 f(x)＝2sin2x＋2sin x－1
2
，x∈
π
6
，5π
6 的值域为________．
答案 (1)[－1,2] (2) 1，7
2
解析 (1)∵x∈ －π
6
，π
4 ，
∴2x＋π
6
∈ －π
6
，2π
3 ，
∴cos 2x＋π
6 ∈ －1
2
，1 ，
∴函数的值域为[－1,2]．
(2)令 t＝sin x，
∵x∈
π
6
，5π
6 ，∴1
2
≤sin x≤1，
即1
2
≤t≤1.
∴f(t)＝2t2＋2t－1
2
＝2 t＋1
2 2－1，t∈
1
2
，1 ，且该函数在
1
2
，1 上单调递增．
∴f(t)的最小值为 f
1
2 ＝1，最大值为 f(1)＝7
2.
即函数 f(x)的值域为 1，7
2 .
正弦、余弦函数的对称性
典例 函数 y＝sin 2x＋π
3 的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．
答案 x＝k
2π＋ π
12(k∈Z)
k
2π－π
6
，0 (k∈Z)
解析 根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与 x 轴垂直的直线均是对
称轴，而图象与 x 轴的交点均为对称中心．
要使 sin 2x＋π
3 ＝±1，必有 2x＋π
3
＝kπ＋π
2(k∈Z)，所以 x＝k
2π＋ π
12(k∈Z)，
即对称轴方程为 x＝k
2π＋ π
12(k∈Z)，
而函数 y＝sin 2x＋π
3 的图象与 x 轴的交点即为对称中心，
所以令 y＝0，即 sin 2x＋π
3 ＝0，
所以 2x＋π
3
＝kπ(k∈Z)，即 x＝k
2π－π
6(k∈Z)，
故函数 y＝sin 2x＋π
3 的图象的对称中心的坐标为
k
2π－π
6
，0 (k∈Z)．
[素养提升] 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低
点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正
弦曲线、余弦曲线与 x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为 0.
1．函数 y＝－cos x 在区间 －π
2
，π
2 上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先减后增函数 D．先增后减函数
答案 C
解析 因为 y＝cos x 在区间 －π
2
，π
2 上先增后减，
所以 y＝－cos x 在区间 －π
2
，π
2 上先减后增．
2．正弦函数 y＝sin x，x∈R 的图象的一条对称轴是( )
A．y 轴 B．x 轴
C．直线 x＝π
2 D．直线 x＝π
答案 C
解析 当 x＝π
2
时，y 取最大值，∴x＝π
2
是一条对称轴．
3．y＝cos x－π
4 在[0，π]上的单调递减区间为( )
A.
π
4
，3π
4 B. 0，π
4
C.
3π
4
，π D.
π
4
，π
答案 D
4．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°sin
－ π
10
B．sin 3>sin 2
C．sin 7
5π>sin
－2
5π
D．sin 2>cos 1
答案 D
解析 ∵sin 2＝cos
π
2
－2 ＝cos 2－π
2 ，
且 0<2－π
2<1<π，∴cos 2－π
2 >cos 1，
即 sin 2>cos 1.故选 D.
3．当－π
2
≤x≤π
2
时，函数 f(x)＝2sin x＋π
3 有( )
A．最大值 1，最小值－1
B．最大值 1，最小值－1
2
C．最大值 2，最小值－2
D．最大值 2，最小值－1
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 正弦函数的最大值与最小值
答案 D
解析 因为－π
2
≤x≤π
2
，所以－π
6
≤x＋π
3
≤5π
6
，
所以－1
2
≤sin x＋π
3 ≤1，所以－1≤f(x)≤2.
4．函数 y＝2sin ωx＋π
4 (ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A. kπ－3π
4
，kπ＋π
4 (k∈Z)
B. 2kπ－3π
4
，2kπ＋π
4 (k∈Z)
C. kπ－3π
8
，kπ＋π
8 (k∈Z)
D. 2kπ－3π
8
，2kπ＋π
8 (k∈Z)
答案 C
解析 周期 T＝π，∴2π
ω
＝π，∴ω＝2.
∴y＝2sin 2x＋π
4 .
由－π
2
＋2kπ≤2x＋π
4
≤2kπ＋π
2
，k∈Z，
得 kπ－3
8π≤x≤kπ＋π
8
，k∈Z.
5．已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线 x＝π
8
对称，则φ可能是( )
A.π
2 B．－π
4 C.3π
4 D.π
4
答案 D
解析 由题意，当 x＝π
8
时，
f(x)＝sin 2×π
8
＋φ ＝±1，
故π
4
＋φ＝kπ＋π
2(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋π
4(k∈Z)．
当 k＝0 时，φ＝π
4
，故φ可能是π
4.
6．sin 470°________cos 760°(填“>”“<”或“＝”)．
答案 >
解析 sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0 且 cos 20°>cos 40°，
所以 sin 470°>cos 760°.
7．函数 y＝sin(x＋π)在 －π
2
，π 上的单调递增区间为________．
答案
π
2
，π
解析 因为 sin(x＋π)＝－sin x，所以要求 y＝sin(x＋π)在 －π
2
，π 上的单调递增区间，
即求 y＝sin x 在 －π
2
，π 上的单调递减区间，易知为
π
2
，π .
8．函数 y＝1
3sin
π
3
－x (x∈[0，π])的单调递增区间为________．
答案
5π
6
，π
解析 y＝－1
3sin x－π
3 ，
∵x∈[0，π]，
∴－π
3
≤x－π
3
≤2π
3 .
要求函数的单调递增区间，
则π
2
≤x－π
3
≤2π
3
，
即5π
6
≤x≤π.
∴y＝1
3sin
π
3
－x (x∈[0，π])的单调递增区间为
5π
6
，π .
9．已知函数 f(x)＝2cos
π
3
－2x .
(1)若 f(x)＝1，x∈ －π
6
，π
4 ，求 x 的值；
(2)求 f(x)的单调递增区间．
解 (1)根据题意 cos
π
3
－2x ＝1
2
，
因为π
3
－2x＝2kπ±π
3(k∈Z)，
而 x∈ －π
6
，π
4 ，故 x＝0.
(2)f(x)＝2cos 2x－π
3 ，
令－π＋2kπ≤2x－π
3
≤2kπ，k∈Z，
解得－π
3
＋kπ≤x≤kπ＋π
6
，k∈Z，
从而 f(x)的单调递增区间为 kπ－π
3
，kπ＋π
6 (k∈Z)．
10．已知函数 f(x)＝2cos 3x＋π
4 .
(1)求 f(x)的单调递增区间．
(2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 值．
解 (1)令 2kπ－π≤3x＋π
4
≤2kπ(k∈Z)，
解得2kπ
3
－5π
12
≤x≤2kπ
3
－ π
12(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为
2kπ
3
－5π
12
，2kπ
3
－ π
12 (k∈Z)．
(2)当 3x＋π
4
＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
即 x＝2kπ
3
－5π
12(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
11．函数 y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈
π
3
，2π
3 的最小值是( )
A．－1
3 B.15
4 C．0 D．－1
4
答案 D
解析 令 t＝cos x，x∈
π
3
，2π
3 ，
∴t∈ －1
2
，1
2 ，
y＝3t2－4t＋1＝3 t－2
3 2－1
3.
∵y＝3 t－2
3 2－1
3
在 t∈ －1
2
，1
2 上单调递减，
∴当 t＝1
2
，即 x＝π
3
时，ymin＝3×
1
2 2－4×1
2
＋1＝－1
4.
12．已知ω>0，函数 f(x)＝sin ωx＋π
4 在
π
2
，π 上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.
1
2
，5
4 B.
1
2
，3
4 C. 0，1
2 D．(0,2]
答案 A
解析 取ω＝5
4
，f(x)＝sin
5
4x＋π
4 ，
其减区间为
8
5kπ＋π
5
，8
5kπ＋π ，k∈Z，
显然
π
2
，π ⊆
8
5kπ＋π
5
，8
5kπ＋π ，k∈Z，排除 B，C.
取ω＝2，f(x)＝sin 2x＋π
4 ，
其减区间为 kπ＋π
8
，kπ＋5
8π ，k∈Z，
显然
π
2
，π
⊈
kπ＋π
8
，kπ＋5
8π ，k∈Z，排除 D.
13．函数 y＝sin x 的定义域为[a，b]，值域为 －1，1
2 ，则 b－a 的最大值与最小值之和为____．
答案 2π
解析 由图可知，
b－a 的最大值为13π
6
－5π
6
＝4π
3
，
b－a 的最小值为3π
2
－5π
6
＝2π
3 .
所以最大值与最小值之和为4π
3
＋2π
3
＝2π.
14．函数 y＝sin2x＋sin x－1 的最大值为________ ，最小值为________．
答案 1 －5
4
解析 令 t＝sin x∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝ t＋1
2 2－5
4(－1≤t≤1)，
显然－5
4
≤y≤1.
15．若函数 f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|<π
2 与函数 g(x)＝cos ωx－π
6 (ω>0)的图象具有相同的对称中心，
则φ＝________.
答案 π
3
解析 ∵两函数图象具有相同的对称中心，
∴它们的周期相同，
∴ω＝2.令 2x＋φ＝kπ(k∈Z)，
则 x＝kπ
2
－φ
2(k∈Z)，
即 f(x)的图象的对称中心为
kπ
2
－φ
2
，0 (k∈Z)．
令 2x－π
6
＝k′π＋π
2(k′∈Z)，
则 x＝k′π
2
＋π
3(k′∈Z)，
即 g(x)的图象的对称中心为
k′π
2
＋π
3
，0 (k′∈Z)．
又 g(x)，f(x)的图象的对称中心相同，
则kπ
2
－φ
2
＝k′π
2
＋π
3(k，k′∈Z)，
即φ＝(k－k′)π－2π
3 (k，k′∈Z)，
又∵|φ|<π
2
，
∴φ＝π
3.
16．已知ω是正数，函数 f(x)＝2sin ωx 在区间 －π
3
，π
4 上是增函数，求ω的取值范围．
解 由－π
2
＋2kπ≤ωx≤π
2
＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得－ π
2ω
＋2kπ
ω
≤x≤ π
2ω
＋2kπ
ω
，
∴f(x)的单调递增区间是 － π
2ω
＋2kπ
ω
， π
2ω
＋2kπ
ω ，k∈Z.
根据题意，得 －π
3
，π
4 ⊆ － π
2ω
＋2kπ
ω
， π
2ω
＋2kπ
ω (k∈Z)，
从而有
－ π
2ω
≤－π
3
，
π
2ω
≥π
4
，
ω>0
解得 0<ω≤3
2.
故ω的取值范围是 0，3
2 .
