高中数学人教a版必修4阶段质量检测（二） word版含解析

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阶段质量检测(二) (A 卷 学业水平达标) (时间：90 分钟，满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1．在五边形 ABCDE 中(如图)， AB  ＋ BC  － DC  ＝( ) A． AC  B． AD  C． BD  D． BE  答案：B 2．(全国大纲卷)已知向量 m＝(λ＋1,1), n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案：B 3．若|a|＝ 2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则 a 与 b 的夹角是( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 答案：B 4．在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，已知 AB  ＝a， AC  ＝b，则下列向量中与 AD  同向的是( ) A. a＋b |a＋b| B. a |a| ＋ b |b| C. a－b |a－b| D. a |a| － a |b| 答案：A 5．已知边长为 1 的正三角形 ABC 中， BC  ·CA  ＋CA  · AB  ＋ AB  · BC  的值为( ) A.1 2 B．－1 2 C.3 2 D．－3 2 答案：D 6．已知平面内不共线的四点 O，A，B，C 满足 OB  ＝1 3OA  ＋2 3OC  ，则| AB  |∶| BC  |＝ ( ) A．1∶3 B．3∶1 C．1∶2 D．2∶1 答案：D 7．P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA  · PB  ＝ PB  · PC  ＝ PC  · PA  ，则 P 是△ABC 的 ( ) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 答案：C 8．已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c| 的最大值是( ) A．1 B．2 C. 2 D. 2 2 答案：C 9．在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M 为腰 BC 的中点，则 MA  · MD  ＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 10.如图，半圆的直径 AB＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A，B 的 任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则( PA  ＋ PB  )· PC  的最小值是( ) A.9 2 B．9 C．－9 2 D．－9 答案：C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11．在直角坐标系 xOy 中， AB  ＝(2,1)， AC  ＝(3，k)，若三角形 ABC 是直角三角形， 则 k 的值为________． 答案：－6 或－1 12．在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，E 为 CD 的中点，则 AE  · BD  ＝________. 答案：1 13．如图，OM∥AB，点 P 在由射线 OM，线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域(不含边 界)内运动，且 OP  ＝x OA  ＋y OB  ，则 x 的取值范围是______．当 x＝－1 2 时，y 的取值范围 是________． 答案：(－∞，0) 1 2 ，3 2 14．在平面直角坐标系中，若 O 为坐标原点，则 A，B，C 三点在同一直线上的等价条件 为存在唯一实数λ，使得OC  ＝λ OA  ＋(1－λ)OB  成立，此时称实数λ为“向量OC  关于 OA  和 OB  的终点共线分解系数”．若已知 P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量 3OP  与向量 a＝(1,1)垂直，则 “向量 3OP  关于 1OP  和 2OP  的终点共线分解系数”为________． 答案：－1 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 12 分)已知平面向量 a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若 a⊥b，求 x 的值； (2)若 a∥b，求|a－b|. 解：(1)若 a⊥b， 则 a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x) ＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0. 整理得 x2－2x－3＝0，解得 x＝－1 或 x＝3. (2)若 a∥b，则有 1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即 x(2x＋4)＝0， 解得 x＝0 或 x＝－2. 当 x＝0 时，a＝(1,0)，b＝(3,0)， ∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2； 当 x＝－2 时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， ∴a－b＝(2，－4)， ∴|a－b|＝ 4＋16＝2 5. 综上所述，|a－b|为 2 或 2 5. 16．(本小题满分 12 分)如图，平行四边形 ABCD 中， AB  ＝a， AD  ＝b，H，M 分别是 AD，DC 的中点，BF＝1 3BC. (1)以 a，b 为基底表示向量 AM  与 HF  ； (2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 120°，求 AM  · HF  . 解：(1)∵M 为 DC 的中点， ∴ DM  ＝1 2 DC  ，又 DC  ＝ AB  ， ∴ AM  ＝ AD  ＋ DM  ＝ AD  ＋1 2 AB  ＝1 2a＋b， ∵H 为 AD 的中点，BF＝1 3BC， BC  ＝ AD  ， ∴ AH  ＝1 2 AD  ， BF  ＝1 3 AD  ， ∴ HF  ＝ HA  ＋ AB  ＋ BF  ＝－1 2 AD  ＋ AB  ＋1 3 AD  ＝ AB  －1 6 AD  ＝a－1 6b. (2)由已知得 a·b＝3×4×cos 120°＝－6， AM  · HF  ＝ 1 2 a＋b · a－1 6b ＝1 2a2＋ 1－ 1 12 a·b－1 6b2 ＝1 2 ×32＋11 12 ×(－6)－1 6 ×42 ＝－11 3 . 17．(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2， －1)． (1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数 t 满足( AB  －tOC  )·OC  ＝0，求 t 的值． 解：(1)由题设知 AB  ＝(3,5)， AC  ＝(－1,1)， 则 AB  ＋ AC  ＝(2,6)， AB  － AC  ＝(4,4)． 所以| AB  ＋ AC  |＝2 10，| AB  － AC  |＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10. (2)由题设知OC  ＝(－2，－1)， AB  －tOC  ＝(3＋2t,5＋t)． 由( AB  －tOC  )·OC  ＝0， 得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 即(3＋2t)×(－2)＋(5＋t)×(－1)＝0， 从而 5t＝－11，所以 t＝－11 5 . 18．(本小题满分 14 分)已知 e1，e2 是平面内两个不共线的非零向量，AB  ＝2e1＋e2，BE  ＝－e1＋λe2， EC  ＝－2e1＋e2，且 A，E，C 三点共线． (1)求实数λ的值； (2)若 e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求 BC  的坐标； (3)已知 D(3,5)，在(2)的条件下，若 A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求 点 A 的坐标． 解：(1) AE  ＝ AB  ＋ BE  ＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2. ∵A，E，C 三点共线， ∴存在实数 k，使得 AE  ＝k EC  ， 即 e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2. ∵e1，e2 是平面内两个不共线的非零向量， ∴ 1＋2k＝0， λ＝k－1， 解得 k＝－1 2 ，λ＝－3 2. (2) BC  ＝ BE  ＋ EC  ＝－3e1－1 2e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)． (3)∵A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴ AD  ＝ BC  . 设 A(x，y)，则 AD  ＝(3－x,5－y)， ∵ BC  ＝(－7，－2)， ∴ 3－x＝－7， 5－y＝－2， 解得 x＝10， y＝7， 即点 A 的坐标为(10,7)． (B 卷 能力素养提升) (时间：90 分钟，满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1．化简 AC  － BD  ＋CD  － AB  得( ) A． AB  B． DA  C． BC  D．0 解析：选 D AC  － BD  ＋CD  － AB  ＝ AC  ＋CD  －( AB  ＋ BD  )＝ AD  － AD  ＝0. 2．已知向量 a 与 b 的夹角为π 3 ，|a|＝ 2，则 a 在 b 方向上的投影为( ) A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 解析：选 C a 在 b 方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝ 2cos π 3 ＝ 2 2 .选 C. 3．向量 BA  ＝(4，－3)， BC  ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A．等腰非直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：选 C AC  ＝ BC  － BA  ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而 AC  · BC  ＝(－2， －1)·(2，－4)＝0，所以 AC  ⊥ BC  ，又| AC  |≠| BC  |，所以△ABC 是直角非等腰三角形．故 选 C. 4．若OF  1＝(2,2)，OF  2＝(－2,3)分别表示 F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A．(0,5) B．25 C．2 2 D．5 解析：选 D ∵F1＋F2＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝ 02＋52＝5. 5．若向量 a，b，c 满足 a∥b 且 a⊥c，则 c·(a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选 D 由 a∥b 及 a⊥c，得 b⊥c，则 c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 6．(广东高考)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( ) A.1 4 B.1 2 C．1 D．2 解析：选 C 可得 a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝1 2. 7．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A. 3 B．2 3 C．4 D．12 解析：选 B 因为|a|＝2，|b|＝1， ∴a·b＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a＋2b|＝ a2＋4×a·b＋4b2＝2 3. 8．如图，非零向量OA  ＝a，|a|＝2，OB  ＝b，a·b＝1，且 BC  ⊥OA  ，C 为垂足，若OC  ＝λa，则λ为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D．2 解析：选 C 设 a 与 b 的夹角为θ.∵|OC  |就是OB  在OA  上的投影|b|cos θ，∴|OC  |＝|b| cos θ＝a·b |a| ＝λ|a|，即λ＝a·b |a|2 ＝1 4 ，故选 C. 9．若 e1，e2 是平面内夹角为 60°的两个单位向量，则向量 a＝2e1＋e2 与 b＝－3e1＋2e2 的 夹角为( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：选 D e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝1 2 ，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－7 2 ，|a|＝ 2e1＋e22 ＝ 4＋4e1·e2＋1＝ 7，|b|＝ －3e1＋2e22＝ 9－12e1·e2＋4＝ 7，所以 a，b 的夹角的余弦值 为 cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| ＝ －7 2 7× 7 ＝－1 2 ，所以〈a，b〉＝120°.故选 D. 10．在△ABC 中，已知向量 AB  与 AC  满足 AB  | AB  | ＋ AC  | AC  | · BC  ＝0 且 AB  | AB  | · AC  | AC  | ＝1 2 ， 则△ABC 为( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 解析：选 D 非零向量 AB  与 AC  满足 AB  | AB  | ＋AC  | AC  | · BC  ＝0，即∠A 的平分线垂直 于 BC，∴AB＝AC. 又 cos A＝ AB  | AB  | · AC  | AC  | ＝1 2 ，∴∠A＝π 3 ， 所以△ABC 为等边三角形，选 D. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11．若向量 AB  ＝(3，－1)，n＝(2,1)，且 n· AC  ＝7，那么 n· BC  ＝________. 解析：n· BC  ＝n·( AC  － AB  )＝n· AC  －n· AB  ＝7－5＝2. 答案：2 12．已知 a，b 的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝1，则 a·b 的取值范围为________． 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ， 又∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，即 a·b∈[－2,2]． 答案：[－2,2] 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足为 P，且 AP＝3，则 AP  · AC  ＝________. 解析：设 AC∩BD＝O，则 AC  ＝2( AB  ＋ BO  )， AP  · AC  ＝ AP  ·2( AB  ＋ BO  )＝ 2 AP  · AB  ＋2 AP  · BO  ＝2 AP  · AB  ＝2 AP  ·( AP  ＋ PB  )＝2| AP  |2＝18. 答案：18 14．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c； ②若 a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则 k＝－3； ③非零向量 a 和 b 满足|a|＝|b|＝|a－b|，则 a 与 a＋b 的夹角为 60°，其中真命题的序号为 ________．(写出所有真命题的序号) 解析：①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，表明 a 与 b－c 向量垂直，不一定有 b＝c，所以①不正 确；对于②，当 a∥b 时，1×6＋2k＝0，则 k＝－3，所以②正确；结合平行四边形法则知， 若|a|＝|b|＝|a－b|，则|a|，|b|，|a－b|可构成一正三角形，那么 a＋b 与 a 的夹角为 30°，而非 60°，所以③错误． 答案：② 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 12 分)已知 OA  ＝a， OB  ＝b，对于任意点 M 关于 A 点的对称点为 S， S 点关于 B 点的对称点为 N. (1)用 a，b 表示向量 MN  ； (2)设|a|＝1，|b|＝2，| MN  |∈[2 3，2 7]，求 a 与 b 的夹角θ的取值范围． 解：(1)依题意，知 A 为 MS 的中点，B 为 NS 的中点． ∴ SN  ＝2 SB  ， SM  ＝2 SA  . ∴ MN  ＝ SN  － SM  ＝2( SB  － SA  )＝2 AB  ＝2(OB  － OA  )＝2(b－a)． (2)∵| MN  |∈[2 3，2 7]， ∴ MN  2∈[12,28]，∴12≤4(b－a)2≤28. ∴3≤4＋1－2a·b≤7，∴－1≤a·b≤1. ∵cos θ＝ a·b |a||b| ＝a·b 2 ，∴－1 2 ≤cos θ≤1 2. ∵0≤θ≤π，∴π 3 ≤θ≤2π 3 ，即θ的取值范围为 π 3 ，2π 3 . 16．(本小题满分 12 分)已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝ DA＝1 2AB. 求证：AC⊥BC. 证明：以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，如 图， 设 AD＝1，则 A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)． ∴ BC  ＝(－1,1)， AC  ＝(1,1)， BC  · AC  ＝－1×1＋1×1＝0，∴ BC  ⊥ AC  ， ∴BC⊥AC. 17．(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋sin 2x，1)， x∈R，且 y＝f(x)的图象经过点 π 4 ，2 .求实数 m 的值． 解：f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos 2x， 由已知得 f π 4 ＝m 1＋sinπ 2 ＋cosπ 2 ＝2， 解得 m＝1. 18．(本小题满分 14 分)(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求 a 与 b 的夹角； (2)设 OA  ＝(2,5)， OB  ＝(3,1)，OC  ＝(6,3)，在 OC  上是否存在点 M，使 MA  ⊥ MB  ？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝61. ∵|a|＝4，|b|＝3， ∴a·b＝－6， ∴cos θ＝ a·b |a||b| ＝ －6 4×3 ＝－1 2 ， ∴θ＝120°. (2)假设存在点 M，且OM  ＝λOC  ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴ MA  ＝(2－6λ，5－3λ)， MB  ＝(3－6λ，1－3λ)， ∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， ∴45λ2－48λ＋11＝0，得λ＝1 3 或λ＝11 15. ∴OM  ＝(2,1)或OM  ＝ 22 5 ，11 5 . ∴存在 M(2,1)或 M 22 5 ，11 5 满足题意.