【数学】2020届一轮复习（文）通用版5-4平面向量的综合应用作业

【数学】2020届一轮复习（文）通用版5-4平面向量的综合应用作业

课时跟踪检测（三十五） 平面向量的综合应用 A级——保大分专练 ‎1．已知向量a＝，b＝，则|a－b|＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 　B. C. D. 解析：选C　因为a－b＝＝(，0)，所以|a－b|＝，故选C.‎ ‎2．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)‎ A. B．2 C. D. 解析：选C　由于F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝＝.‎ ‎3．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且＋＝2，AB＝1，则·＝(　　)‎ A. B．3‎ C. D．2 解析：选B　因为＋＝2，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又AB＝1，圆的半径为1，所以∠ACB＝30°，且AC＝，则·＝||·||cos∠ACB＝3.‎ ‎4．已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　因为m∥n，所以sin A(sin A＋cos A)－＝0，‎ 所以2sin2A＋2sin Acos A＝3.可化为1－cos 2A＋sin 2A＝3，‎ 所以sin＝1，因为A∈(0，π)，所以2A－∈.‎ 因此2A－＝，解得A＝.‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A．－2 B．－ C．－ D．－1‎ 解析：选B　如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.‎ ‎6．已知向量a＝(4,0)，b＝(2,2)，非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，|c|的最大值与最小值分别为m，n，则m－n的值为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．2 D．4‎ 解析：选D　设c＝(x，y)，因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(4－x，－y)·(2－x,2－y)＝x2＋y2－6x－2y＋8＝0，所以(x－3)2＋(y－)2＝4，所以满足条件的向量c的终点落在以(3，)为圆心，2为半径的圆上，所以|c|的最大值与最小值分别为m＝2＋2，n＝2－2，所以m－n＝4.‎ ‎7．已知△ABC中，D为边BC上的点，且BD＝2DC，＝x＋y，则x－y＝________.‎ 解析：由向量的加法法则知＝＋＝＋＝＋(－)＝ ＋，所以x＝，y＝，所以x－y＝－.‎ 答案：－ ‎8．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k>0)，若以向量e1，e2‎ 为邻边的三角形的面积为，则k＝________.‎ 解析：设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得×1×1×sin θ＝，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0，从而对e3＝e1＋ke2两边同时平方得1＝＋k2，解得k＝或－(舍去)，所以k＝.‎ 答案： ‎9.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.‎ 解析：·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.‎ 答案： ‎10．在平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(1,3)，O为坐标原点，且＝α＋β (α＋β＝1)，N(1,0)，则||的最小值为________．‎ 解析：∵＝α＋β (α＋β＝1)，∴A，B，M三点共线，∵A(－2,0)，B(1,3)，∴直线AB的方程为x－y＋2＝0，∵N(1,0)，设点N到直线AB的距离为d，∴d＝＝，∴||的最小值为N到直线AB的距离.‎ 答案： ‎11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ 解：(1)∵m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，‎ ‎∴m·n＝sin x－cos x＝0，即sin x＝cos x，‎ ‎∴tan x＝＝1.‎ ‎(2)由题意知，|m|＝＝1，‎ ‎|n|＝＝1，‎ m·n＝sin x－cos x＝sin.‎ 而m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝cos＝，‎ ‎∴sin＝.‎ 又∵x∈，x－∈，‎ ‎∴x－＝，∴x＝.‎ ‎12．(2019·河南中原名校质检)在△ABC中，⊥，M是BC的中点．‎ ‎(1)若||＝||，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；‎ ‎(2)若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，求·＋·的最小值．‎ 解：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，‎ 则cos θ＝，‎ 令||＝||＝a，则cos θ＝＝.‎ ‎(2)∵||＝||＝，∴||＝1，‎ 设||＝x(0≤x≤1)，则||＝1－x.‎ 而＋＝2，‎ ‎∴·＋·＝·(＋)＝2·＝2||·||cos π＝2x2－2x＝22－.‎ ‎∴当x＝时，·＋·取得最小值，最小值是－.‎ B级——创高分自选 ‎1．(2019·武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)‎ A．1＋　　　　　　　　 　B．1－ C.－1 D．1‎ 解析：选A　如图，作出，使得＋＝，则(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.‎ ‎2．在△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且·＝5，则△ABC的形状是(　　)‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 解析：选B　如图，在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点D，连接AD，OD，OG，则OD⊥BC，GD＝AD，结合＝＋，＝(＋)，·＝5，得(＋)·＝·＝－(＋)·＝5，即－(＋)·(－)＝5，∴2－2＝－30.又BC＝5，则 ||2＝||2＋||2>||2＋||2，结合余弦定理有cos C<0，∴

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