【数学】2020届一轮复习（理）通用版11-2离散型随机变量及其分布列、均值与方差作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版11-2离散型随机变量及其分布列、均值与方差作业

‎11.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.离散型随机变量的分布列 ‎①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.‎ ‎②理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.‎ ‎③理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题 ‎2017课标Ⅲ,18,12分 求离散型随机变量的 分布列、期望 利用频率估计概率 ‎★★★‎ ‎2017山东,18,12分 离散型随机变量 的分布列、期望 计数原理,古典概型概率公式 ‎2.离散型随机变量的均值与方差 ‎2016课标Ⅰ,19,12分 求离散型随机变量 的分布列,利用 期望进行决策 利用相互独立事件的概率公式求概率 分析解读　　本节内容常以实际问题为背景,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,解题时要熟悉相关公式的应用.考查考生的数据分析能力和数学运算能力.以解答题的形式呈现,分值约为12分.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　离散型随机变量的分布列 ‎1.若离散型随机变量X的分布列如下表,则常数c的值为(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ P ‎9c2-c ‎3-8c ‎　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎2‎‎3‎或‎1‎‎3‎　　　　B.‎2‎‎3‎　　　　C.‎1‎‎3‎　　　　D.1‎ 答案　C　‎ ‎2.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为　　　　(用式子表示). ‎ 答案　‎C‎3‎‎1‎C‎97‎‎3‎‎+‎C‎97‎‎4‎C‎100‎‎4‎ 考点二　离散型随机变量的均值与方差 ‎1.(2018浙江重点中学模拟,8)已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=‎1‎‎3‎,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=‎2‎‎3‎-x,若0D(ξ2)‎ C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)‎ 答案　A　‎ ‎3.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ m+n ‎(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;‎ ‎(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?‎ 解析　(1)依题意,p1=P(40120)=‎5‎‎50‎=0.1.‎ 由二项分布知,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=C‎4‎‎0‎(1-p3)4+C‎4‎‎1‎(1-p3)3p3=‎9‎‎10‎‎4‎+4×‎9‎‎10‎‎3‎×‎1‎‎10‎=0.947 7.‎ ‎(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).‎ ‎(i)安装1台发电机的情形.‎ 由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000.‎ ‎(ii)安装2台发电机的情形.‎ 依题意知,当40120时,三台发电机运行,此时Y=5 000×3=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:‎ Y ‎3 400‎ ‎9 200‎ ‎15 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.‎ 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.‎ 评析　本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力.‎ ‎8.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,‎ 规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.‎ ‎(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:‎ ‎(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;‎ ‎(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;‎ ‎(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.‎ 解析　(1)设顾客所获的奖励额为X元.‎ ‎(i)依题意,得P(X=60)=C‎1‎‎1‎C‎3‎‎1‎C‎4‎‎2‎=‎1‎‎2‎,‎ 即顾客所获的奖励额为60元的概率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.‎ P(X=60)=‎1‎‎2‎,P(X=20)=C‎3‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎1‎‎2‎,‎ 即X的分布列为 X ‎20‎ ‎60‎ P ‎0.5‎ ‎0.5‎ 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).‎ ‎(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.‎ 所以,先寻找期望为60元的可能方案.‎ 对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.‎ 对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.‎ 以下是对两个方案的分析:‎ 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为 X1‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎100‎ P ‎1‎‎6‎ ‎2‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ X1的期望E(X1)=20×‎1‎‎6‎+60×‎2‎‎3‎+100×‎1‎‎6‎=60,‎ X1的方差D(X1)=(20-60)2×‎1‎‎6‎+(60-60)2×‎2‎‎3‎+(100-60)2×‎1‎‎6‎=‎1 600‎‎3‎.‎ 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2元,则X2的分布列为 X2‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ P ‎1‎‎6‎ ‎2‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ X2的期望E(X2)=40×‎1‎‎6‎+60×‎2‎‎3‎+80×‎1‎‎6‎=60,‎ X2的方差D(X2)=(40-60)2×‎1‎‎6‎+(60-60)2×‎2‎‎3‎+(80-60)2×‎1‎‎6‎=‎400‎‎3‎.‎ 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共15分)‎ ‎1.(2019届广东深圳外国语学校考试,7)某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎2‎‎5‎　　　　B.‎12‎‎25‎　　　　C.‎16‎‎25‎　　　　D.‎‎4‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018广东省际名校联考(二),11)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球,现从中逐个不放回地摸出小球,直到取出所有红球为止,则摸取次数X的数学期望是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎18‎‎5‎　　　　B.‎9‎‎2‎　　　　C.‎36‎‎7‎　　　　D.‎‎16‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018安徽合肥第一中学冲刺,8)某班级有男生32人,女生20人,现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员.男生当选的人数记为ξ,则ξ的数学期望为(　　)‎ A.‎16‎‎13‎　　　　B.‎20‎‎13‎　　　　C.‎32‎‎13‎　　　　D.‎‎40‎‎13‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎4.(2017安徽蚌埠二模,16)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是:参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外,其余均相同),将小球上的数字作为其赌金(单位:元),然后放回该小球,再随机摸取两个小球,将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金,则Eξ-Eη=　　　　元. ‎ 答案　3‎ ‎5.(2018浙江宁波5月模拟,13)已知随机变量X的分布列如下表:‎ X a ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎‎3‎ b ‎1‎‎6‎ ‎1‎‎4‎ 若EX=2,则a=　　　　;DX=　　　　. ‎ 答案　0;‎‎5‎‎2‎ 三、解答题(共35分)‎ ‎6.(2019届广东佛山顺德第二次教学质量检测,18)某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的糕点只能销毁.经过长期的调研,统计了一下该新品的日需求量.现将近期一个月(30天)的需求量展示如下:‎ 日需求量X(个)‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎(1)从这30天中任取两天,求两天的日需求量均为40个的概率;‎ ‎(2)以上表中的频率作为概率,列出日需求量X的分布列,并求该月的日需求量X的期望;‎ ‎(3)根据(2)中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望值为‎320‎‎3‎;现有员工建议扩大生产,一天生产45个,求对应利润的期望值,判断此建议该不该被采纳.‎ 解析　(1)从这30天中任取两天,两天的日需求量均为40个的概率为C‎10‎‎2‎C‎30‎‎2‎=‎3‎‎29‎.‎ ‎(2)日需求量的分布列为 X ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ P ‎1‎‎6‎ ‎1‎‎3‎ ‎1‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ 日需求量X的期望E(X)=20×‎1‎‎6‎+30×‎1‎‎3‎+40×‎1‎‎3‎+50×‎1‎‎6‎=35.‎ ‎(3)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y元,对应的分布列如下:‎ 利润Y(元)‎ ‎-20‎ ‎60‎ ‎140‎ ‎180‎ 概率 ‎1‎‎6‎ ‎1‎‎3‎ ‎1‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ 利润Y的期望E(Y)=-20×‎1‎‎6‎+60×‎1‎‎3‎+140×‎1‎‎3‎+180×‎1‎‎6‎=‎280‎‎3‎.因为‎280‎‎3‎<‎320‎‎3‎,所以此建议不该被采纳.‎ 方法总结　(1)直接根据对应关系求概率即可;‎ ‎(2)列出日需求量的分布列,根据分布列,用数学期望的公式求解即可;‎ ‎(3)列出利润的分布列,根据分布列,用数学期望的公式求解,然后比较两个期望值,从而判断此建议该不该被采纳.‎ ‎7.(2018河南豫南九校4月联考,18)为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.‎ ‎(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;‎ ‎(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及数学期望.‎ 解析　(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人,‎ 送考2次的有100人,送考3次的有80人,‎ ‎∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为‎20×1+100×2+80×3‎‎200‎=2.3.‎ ‎(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人送考1次,另一人送考2次”为事件A,‎ ‎“这两人中一人送考2次,另一人送考3次”为事件B,‎ ‎“这两人中一人送考1次,另一人送考3次”为事件C,‎ ‎“这两人送考次数相同”为事件D,‎ 由题意知X的所有可能取值为0,1,2,‎ P(X=1)=P(A)+P(B)=C‎20‎‎1‎C‎100‎‎1‎C‎200‎‎2‎+C‎100‎‎1‎C‎80‎‎1‎C‎200‎‎2‎=‎100‎‎199‎,‎ P(X=2)=P(C)=C‎20‎‎1‎C‎80‎‎1‎C‎200‎‎2‎=‎16‎‎199‎,‎ P(X=0)=P(D)=C‎20‎‎2‎‎+C‎100‎‎2‎+‎C‎80‎‎2‎C‎200‎‎2‎=‎83‎‎199‎,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎83‎‎199‎ ‎100‎‎199‎ ‎16‎‎199‎ E(X)=0×‎83‎‎199‎+1×‎100‎‎199‎+2×‎16‎‎199‎=‎132‎‎199‎.‎ ‎8.(2018云南玉溪高三适应性训练,18)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:‎ 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 ‎20万元 ‎15万元 ‎10万元 ‎7.5万元 若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时,收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.‎ 已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否有雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.‎ ‎(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;‎ ‎(2)该基地是否应该外聘工人?请说明理由.‎ 解析　(1)设下周一无雨的概率为p(p>0),由题意得,p2=0.36,p=0.6,‎ 基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16.‎ ‎∴基地收益X的分布列为 X ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎7.5‎ P ‎0.36‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.16‎ E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4(万元),‎ ‎∴基地的预期收益为14.4万元.‎ ‎(2)设该基地额外聘请工人时的收益为Y万元,‎ 则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(万元),‎ E(Y)-E(X)=1.6-a,‎ 所以,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.‎