【数学】2020届一轮复习(理)通用版考点测试68坐标系与参数方程作业

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2020届一轮复习(理)通用版考点测试68坐标系与参数方程作业

选考内容 考点测试68 坐标系与参数方程 ‎                   ‎ 高考概览 考纲研读 ‎1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 ‎2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化 ‎3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 ‎4.了解参数方程,了解参数的意义 ‎5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程 一、基础小题 ‎1.参数方程为(0≤t≤5)的曲线为(  )‎ A.线段 B.双曲线的一支 C.圆弧 D.射线 答案 A 解析 化为普通方程为x=3(y+1)+2,即x-3y-5=0,由于x=3t2+2∈[2,77],故曲线为线段.故选A.‎ ‎2.直线(t为参数)的倾斜角为(  )‎ A.30° B.60° C.90° D.135°‎ 答案 D 解析 将直线参数方程化为普通方程为x+y-1=0,其斜率k=-1,故倾斜角为135°.故选D.‎ ‎3.在极坐标系中,过点作圆ρ=4sinθ的切线,则切线的极坐标方程是(  )‎ A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2‎ C.ρsin=2 D.ρcos=2‎ 答案 B 解析 ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,而点化为直角坐标是(2,2),过(2,2)作圆的切线,其方程为x=2,即ρcosθ=2.故选B.‎ ‎4.在极坐标系中,过圆ρ=6cosθ的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________.‎ 答案 ρcosθ=3‎ 解析 把ρ=6cosθ两边同乘ρ,得ρ2=6ρcosθ,所以圆的普通方程为x2+y2-6x=0,即(x-3)2+y2=9,圆心为(3,0),故所求直线的极坐标方程为ρcosθ=3.‎ ‎5.在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4所截得的弦长为________.‎ 答案 4 解析 分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x+y-2=0,x2+y2=16,则圆心O到直线x+y-2=0的距离d==2,半弦长为=2,所以弦长为4.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为________.‎ 答案 (2,-4)‎ 解析 曲线C1的直角坐标方程为x+y=-2,曲线C2的普通方程为y2=8x,由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).‎ 二、高考小题 ‎7.(2018·北京高考)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=________.‎ 答案 1+ 解析 由可将直线ρcosθ+ρsinθ=a化为x+y-a=0,将ρ=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ化为x2+y2=2x,整理成标准方程为(x-1)2+y2=1.又∵直线与圆相切,∴圆心(1,0)到直线x+y-a=0的距离d==1,解得a=1±,∵a>0,∴a=1+.‎ ‎8.(2018·天津高考)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为________.‎ 答案  解析 由题意可得圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,直线的直角坐标方程为x+y-2=0,则圆心到直线的距离d==,由弦长公式可得|AB|=2×=,则S△ABC=××=.‎ ‎9.(2017·北京高考)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为________.‎ 答案 1‎ 解析 由ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得 x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,‎ 圆心坐标为C(1,2),半径长为1.‎ ‎∵点P的坐标为(1,0),∴点P在圆C外.‎ 又∵点A在圆C上,∴|AP|min=|PC|-1=2-1=1.‎ ‎10.(2017·天津高考)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sinθ 的公共点的个数为________.‎ 答案 2‎ 解析 由4ρcos+1=0得2ρcosθ+2ρsinθ+1=0,故直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.‎ 由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,‎ 故圆的直角坐标方程为x2+y2=2y,‎ 即x2+(y-1)2=1.圆心为(0,1),半径为1.‎ ‎∵圆心到直线2x+2y+1=0的距离 d==<1,‎ ‎∴直线与圆相交,有两个公共点.‎ 三、模拟小题 ‎11.(2018·北京通州月考)下面直线中,平行于极轴且与圆ρ=2cosθ相切的是(  )‎ A.ρcosθ=1 B.ρsinθ=‎1 C.ρcosθ=2 D.ρsinθ=2‎ 答案 B 解析 由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,即x2+y2=2x,所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,所以圆心坐标为(1,0),半径为1.与x轴平行且与圆相切的直线方程为y=1或y=-1,则极坐标方程为ρsinθ=1或ρsinθ=-1,所以选B.‎ ‎12.(2018·合肥调研)已知圆C的参数方程为 (α为参数),当圆心C到直线kx+y+4=0的距离最大时,k的值为(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 D 解析 ⊙C的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=1,∴圆心C(-1,1),又直线kx+y+4=0过定点A(0,-4),故当CA与直线kx+y+4=0垂直时,圆心C到直线的距离最大,∵kCA=-5,∴-k=,∴k=-.选D.‎ 一、高考大题 ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程; ‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 解 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线,曲线C1的方程为y=记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点. ‎ 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ 解 (1)曲线C的直角坐标方程为+=1.‎ 当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.‎ 又由①得t1+t2=-,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.‎ ‎3.(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围;‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ 解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1.‎ 当α=时,l与⊙O交于两点.‎ 当α≠时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-.l与⊙O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,‎ 即α∈,或α∈,.综上,α的取值范围是,.‎ ‎(2)l的参数方程为t为参数,<α<.‎ 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsinα+1=0.‎ 于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.‎ 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 α为参数,<α<.‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.‎ 解 (1)曲线C的普通方程为+y2=1.‎ 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0),-,.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=.‎ 当a≥-4时,d的最大值为 .‎ 由题设得=,所以a=8;‎ 当a<-4时,d的最大值为.‎ 由题设得=,‎ 所以a=-16.‎ 综上,a=8或a=-16.‎ ‎5.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 解 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα· ‎=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ 二、模拟大题 ‎6.(2018·河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=5.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)在圆上找一点A,使它到直线l的距离最小,并求点A的极坐标.‎ 解 (1)x2+(y-1)2=1即x2+y2-2y=0.‎ 因为ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ2=2ρsinθ,即ρ=2sinθ.‎ ρ(cosθ+sinθ)=5即ρcosθ+ρsinθ=5,‎ 因为ρcosθ=x,ρsinθ=y,‎ 所以直线l的直角坐标方程为y=-x+5.‎ ‎(2)曲线C:x2+(y-1)2=1是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆.‎ 设圆上点A(x0,y0)到直线l:y=-x+5的距离最短,所以圆C在点A处的切线与直线l:y=-x+5平行.‎ 即直线CA与l的斜率的乘积等于-1,即×(-)=-1.①‎ 因为点A在圆上,所以x+(y0-1)2=1,②‎ 联立①②可解得x0=-,y0=或x0=,y0=.‎ 所以点A的坐标为-,或,.‎ 又由于圆上点A到直线l:y=-x+5的距离最小,‎ 所以点A的坐标为,,‎ 点A的极径为 =,极角θ满足tanθ=且θ为第一象限角,则可取θ=.‎ 所以点A的极坐标为,.‎ ‎7.(2019·福建福州四校模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.‎ 解 (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2 =1,‎ 则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,‎ 由于直线C2过原点,且倾斜角为,故其极坐标方程为θ=(ρ∈R).‎ ‎(2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,‎ ‎∴+===.‎ ‎8.(2018·河南郑州二模)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点A的极坐标为,,直线l的极坐标方程为ρcosθ-=a,且l过点A,曲线C1的参数方程为(α为参数).‎ ‎(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值;‎ ‎(2)过点B(-1,1)与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M,N两点,求|BM|·|BN|的值.‎ 解 (1)由直线l过点A可得cos-=a,‎ 故a=,‎ ‎∴易得直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.‎ 根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点(2cosθ,sinθ)到直线l的距离d==,其中sinφ=,cosφ=,‎ ‎∴dmax==.‎ ‎(2)由(1)知直线l的倾斜角为,‎ ‎∴直线l1的参数方程为y=(t为参数).‎ 又易知曲线C1的普通方程为+=1,‎ 把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得t2+7t-5=0,‎ 设M,N两点对应的参数为t1,t2,‎ ‎∴t1t2=-,依据参数t的几何意义可知|BM|·|BN|=|t1t2|=.‎ ‎9.(2018·山西太原二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,a∈R),以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.‎ 解 (1)C1的参数方程为消参得普通方程为x-y-a+1=0,C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,两边同乘ρ得ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,得y2=4x.‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.‎ ‎(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数,a∈R),代入曲线C2:y2=4x,得t2-t+1-‎4a=0,由Δ=(-)2-4××(1-‎4a)>0,得a>0,‎ 设A,B对应的参数分别为t1,t2,‎ 由|PA|=2|PB|得|t1|=2|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2,‎ 当t1=2t2时,解得a=;‎ 当t1=-2t2时,解得a=,‎ 综上,a=或.‎ ‎10.(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是ρ=,在以极点为原点O,极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中,曲线C2的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程;‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3,若M,N分别是曲线C1和曲线C3上的动点,求|MN|的最小值.‎ 解 (1)∵C1的极坐标方程是ρ=,‎ ‎∴4ρcosθ+3ρsinθ=24,‎ ‎∴4x+3y-24=0,‎ 故C1的直角坐标方程为4x+3y-24=0.‎ ‎∵曲线C2的参数方程为∴x2+y2=1,‎ 故C2的普通方程为x2+y2=1.‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3,则曲线C3的参数方程为(α为参数).设N(2cosα,2sinα),则点N到曲线C1的距离 d= ‎= ‎=其中φ满足tanφ=.‎ 当sin(α+φ)=1时,d有最小值,‎ 所以|MN|的最小值为.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档