人教A数学必修一方程的根与函数的零点讲解与例题

人教A数学必修一方程的根与函数的零点讲解与例题

3.1.1 方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．函数 y＝f(x) 的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标． 比如，由于方程 f(x)＝lg x＝0 的解是 x＝1，所以函数 f(x)＝lg x 的零点是 1． 辨误区 函数的零点不是点 我们把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零 点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与 x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当 函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数 f(x)＝x＋1，当 f(x)＝x＋1＝0 时仅有一个实根 x＝－1，因此函数 f(x)＝x＋1 有一个零点－1，由此可见函数 f(x)＝x＋1 的零点是一个实数－1，而不是一个点． 【例 1】函数 f(x)＝x2 －1 的零点是( ) A．(±1,0) B．(1,0) C．0 D．±1 解析：解方程 f(x)＝x2 －1＝0，得 x＝±1，因此函数 f(x)＝x2 －1 的零点是±1． 答案：D 2．基本初等函数的零点 函数 零点(或零点个数) 正比例函数 y＝kx(k≠0) 一个零点 0 反比例函数 ky x  (k≠0) 无零点 一次函数 y＝kx＋b(k≠0) 一个零点 b k  二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0 Δ＞0 两个零点 －b± Δ 2a Δ＝0 一个零点－ b 2a Δ＜0 无零点 指数函数 y＝ax (a＞0，且 a≠1) 无零点 对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1) 一个零点 1 幂函数 y＝xα α＞0 一个零点 0 α≤0 无零点 【例 2】若 abc≠0，且 b2 ＝ac，则函数 f(x)＝ax2 ＋bx＋c的零点的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．1或 2 解析：∵b2＝ac， ∴方程 ax2 ＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2 －4ac＝b2 －4b2 ＝－3b2 ．又∵abc≠0，∴b≠0．因 此Δ＜0． 故函数 f(x)＝ax2 ＋bx＋c的零点个数为 0． 答案：A 3．函数的零点与对应方程的关系 (1)方程 f(x)＝0 有实根函数 f(x)的图象与 x 轴有交点函数 f(x)有零点． 【例 3－1】若函数 f(x)＝x2 ＋ax＋b 的零点是 2和－4，求 a，b 的值． 解析：因为函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的零点就是方程 x2＋ax＋b＝0 的根，故方程 x2＋ax ＋b＝0的根是 2和－4，可由根与系数的关系求 a，b的值． 解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得 2 ( 4) , 2 ( 4) , a b         即 2, 8. a b     (2)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象联 系密切，下面以 a＞0 为例列表说明． Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 f(x)＝ax2 ＋ bx＋c(a＞0) 的图象 图象与 x 轴交点 (x1,0)，(x2,0) (x0,0) 无交点 方程 f(x) ＝0 的根 x＝x1，x＝x2 x＝x0 无实数根 函数 y＝ f(x)的零点 x1，x2 x0 无零点 因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别 式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系． 【例 3－2】函数 y＝f(x)的图象如图所示，则方程 f(x)＝0 的实数根有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 解析：观察函数 y＝f(x)的图象，知函数的图象与 x 轴有 3个交点，则方程 f(x)＝0 的 实数根有 3个． 答案：D 点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程 f(x)＝0 的实数根 函数 y＝ f(x)的图象与 x轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断 它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与 x 轴是否有交点即可． 4．判断(或求)函数的零点 (1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数 f(x)的零点，就是方程 f(x)＝0 的根，因 此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)＝0 是否有实数根，有几个 实数根． 例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝ x＋3 x ； (2)f(x)＝1－log3x． 解：(1)令 x＋3 x ＝0，解得 x＝－3． 故函数 f(x)＝ x＋3 x 的零点是－3； (2)令 1－log3x＝0，即 log3x＝1，解得 x＝3． 故函数 f(x)＝1－log3x 的零点是 3． (2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我 们知道，函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 F(x)＝0 即方程 f(x)＝g(x)的实数根，也 就是函数 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数 F(x)的零 点问题转化为函数 f(x)与 g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点 个数． 【例 4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2 x－1 －3；(4)f(x)＝ 2 4 12 2 x x x    ． 解析：分别解方程 f(x)＝0 得函数的零点． 解：(1)解方程 f(x)＝x2 ＋7x＋6＝0，得 x＝－1 或－6． 故函数的零点是－1，－6． (2)解方程 f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得 x＝－1． 故函数的零点是－1． (3)解方程 f(x)＝2 x－1 －3＝0，得 x＝log26． 故函数的零点是 log26． (4)解方程 f(x)＝ 2 4 12 2 x x x    ＝0，得 x＝－6． 故函数的零点为－6． 辨误区 忽略验根出现错误 本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其 原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有 意义． 【例 4－2】函数 f(x)＝ln x－ 1 1x  的零点的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：在同一坐标系中画出函数 y＝ln x 与 1 1 y x   的图象如图所示，因为函数 y＝ln x 与 1 1 y x   的图象有两个交点，所以函数 f(x)＝ln x－ 1 1x  的零点个数为 2． 答案：C, 5．判断零点所在的区间 零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有 f(a)·f(b)＜0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使 得 f(c)＝0，这个 c也就是方程 f(x)＝0 的根． 确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对 应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点： (1)当函数 y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b) ＜0．则可判定函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个． (2)当函数 y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是连续的曲线，但是不满足 f(a)·f(b)＜0 时，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点． 例如函数 f(x)＝x2 在区间[－1,1]上有 f(－1)·f(1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在 零点 0． (3)函数在区间[a，b]上的图象是连续曲线，且在区间(a，b)上单调，若满足 f(a)·f(b) ＜0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有且只有一个零点．, 【例 5－1】求函数 f(x)＝x2 －5x＋6在区间[1,4]上的零点个数． 解： 错解 错解一：由题意，得 f(1)＝2＞0，f(4)＝2＞0，因此函数 f(x)＝x2 －5x＋ 6 在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为 0． 错解二：∵f(1)＝2＞0，f(2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有 一个零点； 又∵f(4)＝2＞0，f(2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零 点． ∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因 分析 对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当 f(a)·f(b)＞0 时， 区间(a，b)内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当 f(a)·f(b) ＜0 时，区间(a，b)内存在零点，但个数是不确定的． 正解 由 x2 －5x＋6＝0，得 x＝2 或 x＝3，所以函数 f(x)＝x2 －5x＋6 在区间[1,4] 上的零点个数是 2． 【例 5－2】函数 f(x)＝lg x－ 9 x 的零点所在的大致区间是( ) A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9) D．(9,10) 解析：∵f(6)＝lg 6－ 9 6 ＝lg 6－ 3 2 ＜0，f(7)＝lg 7－ 9 7 ＜0， f(8)＝lg 8－ 9 8 ＜0，f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－ 9 10 ＞0， ∴f(9)·f(10)＜0． ∴函数 f(x)＝lg x－ 9 x 的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D 6．一元二次方程的根的分布 (1)一元二次方程的根的零分布 所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系． 设一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为 x1，x2且 x1≤x2 ①x1＞0，x2＞0 2 1 2 1 2 4 0, 0, 0. b ac bx x a cx x a                 ②x1＜0，x2＜0 2 1 2 1 2 4 0, 0, 0. b ac bx x a cx x a                ③x1＜0＜x2 c a ＜0． ④x1＝0，x2＞0 c＝0，且 b a ＜0；x1＜0，x2＝0 c＝0，且 b a ＞0． (2)一元二次方程的根的 k 分布 研究一元二次方程的根的 k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式． ②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴 2 bx a   与区间端点的位置关系． 设一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根为 x1，x2，且 x1≤x2，则一元二次方程的 根的 k分布(即 x1，x2相对于 k的位置)有以下结论． 根的分布 图象 等价条件 x1≤x2＜k 0, ( ) 0, . 2 f k b k a          k＜x1 ≤x2 0, ( ) 0, . 2 f k b k a          x1＜k ＜x2 f(k)＜0 x1，x2  (k1，k2)     1 2 1 2 0 0 0 . 2 f k f k bk k a            ， ， ， x1，x2中有 且仅有一个在 区间 (k1，k2)内 f(k1)·f(k2)＜0 或 f(k1)＝0， k1＜ 1 2< 2 2 k kb a   或 f(k2)＝ 0， 1 2 < 2 2 k k b a   ＜k2． __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 【例 6－1】已知函数 f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1 的零点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的取值范围． 解：(1)当 m＝0 时，f(x)＝－3x＋1，直线与 x 轴的交点为 1 ,0 3       ，即函数的零点为 1 3 ， 在原点右侧，符合题意． (2)当 m≠0时，∵f(0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若 m＜0，函数 f(x)图象的开口向下，如图①所示． 二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧． 若 m＞0，函数 f(x)图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且 仅当 2( 3) 4 0, 3 0, 2 0 m m m m m            2 10 9 0, 0 3, 0 m m m m           1 9, 0 3 m m m      或  0＜m≤1． 综上所述，所求 m 的取值范围是(－∞，1]． 点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如 本题中有f(0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征 解决问题． 【例 6－2】关于 x 的方程 ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求 a为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于 1； (2)方程一根大于 1，一根小于 1； (3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内． 解：(1)当 a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即 1 2 x   符合题意； 当 a≠0 时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a＋4＝0，解得 1 3 a   ． 综上可知，当 a＝0 或 1 3 a   时，关于 x 的方程 ax2 －2(a＋1)x＋a－1＝0 有一根． (2)方程两根都大于 1，图象大致如下图，所以必须满足： 0, 0, 1 1, (1) 0, a a a f        或 0, 0, 1 1, (1) 0, a a a f        解得 a．因此不存在实数 a，使方程两根都大于 1． (3)因为方程有一根大于 1，一根小于 1，图象大致如下图， 所以必须满足 0, (1) 0, a f    或 0, (1) 0, a f    解得 a＞0． (4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图， 所以必须满足 ( 1) 0, (0) 0, (1) 0, (2) 0, f f f f         或 ( 1) 0, (0) 0, (1) 0, (2) 0, f f f f         解得 a． 因此不存在实数 a，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．