高考卷 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

高考卷 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ） A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B= ∅2．（5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一 点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A． B． C． D． 3．（5 分）设有下面四个命题 p1：若复数 z 满足 ∈ R，则 z ∈ R； p2：若复数 z 满足 z2 ∈ R，则 z ∈ R； p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2 ∈ R，则 z1= ； p4：若复数 z ∈ R，则 ∈ R． 其中的真命题为（ ） A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 4．（5 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差 为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（5 分）函数 f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若 f（1）=﹣1， 则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1 的 x 的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 6．（5 分）（1+ ）（1+x）6 展开式中 x2 的系数为（ ） A．15 B．20 C．30 D．35 7．（5 分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各 个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 8．（5 分）如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n＞1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A．A＞1000 和 n=n+1 B．A＞1000 和 n=n+2 C．A≤1000 和 n=n+1 D．A≤1000 和 n=n+2 9．（5 分）已知曲线 C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是 （ ） A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移 个单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左 平移 个单位长度，得到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移 个单位长度，得到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左 平移 个单位长度，得到曲线 C2 10．（5 分）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2， 直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值 为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 11．（5 分）设 x、y、z 为正数，且 2x=3y=5z，则（ ） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5 分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大 家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的 激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1， 2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项 是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N：N＞100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．（5 分）已知向量 ， 的夹角为 60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ． 14．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x﹣2y 的最小值为 ． 15．（5 分）已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为 A，以 A 为圆 心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点．若∠MAN=60°， 则 C 的离心率为 ． 16．（5 分）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O．D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC， CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起 △DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化 时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答． 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积 为 ． （1）求 sinBsinC； （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长． 18．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值． 19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产 线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可 以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N（μ，σ2）． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（μ﹣3σ， μ+3σ）之外的零件数，求 P（X≥1）及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就 认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程 进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.9 5 10. 12 9.9 6 9.9 6 10. 01 9.9 2 9.9 8 10. 04 10. 26 9.9 1 10. 13 10. 02 9.2 2 10. 04 10. 05 9.9 5 经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212， 其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，…，16． 用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差 s 作为σ的估计值 ，利用估计 值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的 数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到 0.01）． 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（μ，σ2），则 P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974， 0.997416≈0.9592， ≈0.09． 20．（12 分）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0），四点 P1（1，1），P2（0，1）， P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上． （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜 率的和为﹣1，证明：l 过定点． 21．（12 分）已知函数 f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围． [选修 4-4，坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ为参数）， 直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数）． （1）若 a=﹣1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 a． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求 a 的取值范围． 2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知集合 A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ） A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B= ∅【考点】1E：交集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合． 【分析】先分别求出集合 A 和 B，再求出 A∩B 和 A∪B，由此能求出结果． 【解答】解：∵集合 A={x|x＜1}， B={x|3x＜1}={x|x＜0}， ∴A∩B={x|x＜0}，故 A 正确，D 错误； A∪B={x|x＜1}，故 B 和 C 都错误． 故选：A． 【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意 交集、并集定义的合理运用． 2．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极 图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正 方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4O：定义法；5I ：概率与统计． 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行 求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1， 则正方形的边长为 2， 则黑色部分的面积 S= ， 则对应概率 P= = ， 故选：B 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面 积是解决本题的关键． 3．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）设有下面四个命题 p1：若复数 z 满足 ∈ R，则 z ∈ R； p2：若复数 z 满足 z2 ∈ R，则 z ∈ R； p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2 ∈ R，则 z1= ； p4：若复数 z ∈ R，则 ∈ R． 其中的真命题为（ ） A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 【考点】2K：命题的真假判断与应用；A2：复数的基本概念；A5：复数代数形 式的乘除运算．菁优网版 权所有 【专题】2A ：探究型；5L ：简易逻辑；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答 案． 【解答】解：若复数 z 满足 ∈ R，则 z ∈ R，故命题 p1 为真命题； p2：复数 z=i 满足 z2=﹣1 ∈ R，则 z ∉ R，故命题 p2 为假命题； p3：若复数 z1=i，z2=2i 满足 z1z2 ∈ R，但 z1≠ ，故命题 p3 为假命题； p4：若复数 z ∈ R，则 =z ∈ R，故命题 p4 为真命题． 故选：B． 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类， 复数的运算性质，难度不大，属于基础题． 4．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4+a5=24，S6=48， 则{an}的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】85：等差数列的前 n 项和；84：等差数列的通项公式．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数 列． 【分析】利用等差数列通项公式及前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差， 由此能求出{an}的公差． 【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a4+a5=24，S6=48， ∴ ， 解得 a1=﹣2，d=4， ∴{an}的公差为 4． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审 题，注意等差数列的性质的合理运用． 5．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）函数 f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函 数．若 f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1 的 x 的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1 化为 ﹣1≤x﹣2≤1，解得答案． 【解答】解：∵函数 f（x）为奇函数． 若 f（1）=﹣1，则 f（﹣1）=1， 又∵函数 f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1， ∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）， ∴﹣1≤x﹣2≤1， 解得：x ∈ [1，3]， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性， 难度中档． 6．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）（1+ ）（1+x）6 展开式中 x2 的系数为（ ） A．15 B．20 C．30 D．35 【考点】DC：二项式定理的应用．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法． 【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：（1+ ）（1+x）6 展开式中： 若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项 1，则（1+x）6 提供含有 x2 的项，可得展开式 中 x2 的系数： 若（1+ ）提供 x﹣2 项，则（1+x）6 提供含有 x4 的项，可得展开式中 x2 的系数： 由（1+x）6 通项公式可得 ． 可知 r=2 时，可得展开式中 x2 的系数为 ． 可知 r=4 时，可得展开式中 x2 的系数为 ． （1+ ）（1+x）6 展开式中 x2 的系数为：15+15=30． 故选 C． 【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题． 7．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图 都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角 形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何． 【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面， 根据梯形的面积公式计算即可 【解答】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S 梯形= ×2×（2+4）=6， ∴这些梯形的面积之和为 6×2=12， 故选：B 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n＞1000 的最小 偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A．A＞1000 和 n=n+1 B．A＞1000 和 n=n+2 C．A≤1000 和 n=n+1 D．A≤1000 和 n=n+2 【考点】EF：程序框图．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；49 ：综合法；5K ：算法和程序框图． 【分析】通过要求 A＞1000 时输出且框图中在“否”时输出确定“ ”内不能 输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定 n=n+2． 【解答】解：因为要求 A＞1000 时输出，且框图中在“否”时输出， 所以“ ”内不能输入“A＞1000”， 又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0， 所以“ ”中 n 依次加 2 可保证其为偶数， 所以 D 选项满足要求， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分． 9．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知曲线 C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下 面结论正确的是（ ） A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移 个单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左 平移 个单位长度，得到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移 个单位长度，得到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左 平移 个单位长度，得到曲线 C2 【考点】HJ：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可． 【解答】解：把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数 y=cos2（x+ ） =cos（2x+ ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线 C2， 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力． 10．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互 相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点， 则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【考点】K8：抛物线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、 性质与方程． 【分析】方法一：根据题意可判断当 A 与 D，B，E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的 斜率为 1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可． 方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|， 整理求得答案 【解答】解：如图，l1⊥l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点， 直线 l2 与 C 交于 D、E 两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则 A 与 D，B，E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1， 又直线 l2 过点（1，0）， 则直线 l2 的方程为 y=x﹣1， 联立方程组 ，则 y2﹣4y﹣4=0， ∴y1+y2=4，y1y2=﹣4， ∴|DE|= •|y1﹣y2|= × =8， ∴|AB|+|DE|的最小值为 2|DE|=16， 方法二：设直线 l1 的倾斜角为θ，则 l2 的倾斜角为 +θ， 根据焦点弦长公式可得|AB|= = |DE|= = = ∴|AB|+|DE|= + = = ， ∵0＜sin22θ≤1， ∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为 16， 故选：A 【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式， 对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）设 x、y、z 为正数，且 2x=3y=5z，则（ ） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【考点】72：不等式比较大小．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用． 【分析】x、y、z 为正数，令 2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得 x= ，y= ，z= ．可 得 3y= ，2x= ，5z= ．根据 = = ， ＞ = ．即可得出大小关系． 另解：x、y、z 为正数，令 2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得 x= ，y= ， z= ． = = ＞1，可得 2x＞3y，同理可得 5z＞2x． 【解答】解：x、y、z 为正数， 令 2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0． 则 x= ，y= ，z= ． ∴3y= ，2x= ，5z= ． ∵ = = ， ＞ = ． ∴ ＞lg ＞ ＞0． ∴3y＜2x＜5z． 另解：x、y、z 为正数， 令 2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0． 则 x= ，y= ，z= ． ∴ = = ＞1，可得 2x＞3y， = = ＞1．可得 5z＞2x． 综上可得：5z＞2x＞3y． 解法三：对 k 取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D． 【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题． 12．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应 用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码” 的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2， 4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20， 21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N： N＞100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A．440 B．330 C．220 D．110 【考点】8E：数列的求和．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前 n 项和，可知当 N 为 时（n ∈ N+），数列{an}的前 N 项和为数列{bn}的前 n 项和，即为 2n﹣ n﹣2，容易得到 N＞100 时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前 n 项和 Sn=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意 可知：2n+1 为 2 的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可，分别分别即可求得 N 的值． 【解答】解：设该数列为{an}，设 bn= +…+ =2n﹣1，（n ∈ N+），则 = ai， 由题意可设数列{an}的前 N 项和为 SN，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 Tn=21﹣1+22 ﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2， 可知当 N 为 时（n ∈ N+），数列{an}的前 N 项和为数列{bn}的前 n 项和，即 为 2n﹣n﹣2， 容易得到 N＞100 时，n≥14， A 项，由 =435，440=435+5，可知 S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故 A 项符合题意． B 项，仿上可知 =325，可知 S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不 为 2 的整数幂，故 B 项不符合题意． C 项，仿上可知 =210，可知 S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23， 显然不为 2 的整数幂，故 C 项不符合题意． D 项，仿上可知 =105，可知 S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不 为 2 的整数幂，故 D 项不符合题意． 故选 A． 方 法 二 ： 由 题 意 可 知 ： ， ， ，… ， 根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n ﹣1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n， 总共的项数为 N=1+2+3+…+n= ， 所有项数的和为 Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n， 由题意可知：2n+1 为 2 的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有 +2=3，不满足 N＞100， ②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有 +3=18，不满足 N＞100， ③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有 +4=95，不满足 N＞ 100， ④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有 +5=440，满足 N ＞100， ∴该款软件的激活码 440． 故选 A． 【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前 n 项和，考查计算能力， 属于难题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知向量 ， 的夹角为 60°，| |=2，| |=1，则 | +2 |= 2 ． 【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；4O：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可． 【解答】解：【解法一】向量 ， 的夹角为 60°，且| |=2，| |=1， ∴ = +4 • +4 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12， ∴| +2 |=2 ． 【解法二】根据题意画出图形，如图所示； 结合图形 = + = +2 ； 在△OAC 中，由余弦定理得 | |= =2 ， 即| +2 |=2 ． 故答案为：2 ． 【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模 长，是基础题． 14．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x﹣2y 的 最小值为 ﹣5 ． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结 合得答案． 【解答】解：由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为 A， 联立 ，解得 A（﹣1，1）． ∴z=3x﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档 题． 15．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶 点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、 N 两点．若∠MAN=60°，则 C 的离心率为 ． 【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、 性质与方程． 【分析】利用已知条件，转化求解 A 到渐近线的距离，推出 a，c 的关系，然后 求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为 A（a，0）， 以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点． 若∠MAN=60°，可得 A 到渐近线 bx+ay=0 的距离为：bcos30°= ， 可得： = ，即 ，可得离心率为：e= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程 的应用，考查转化思想以及计算能力． 16．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5cm，该纸 片上的等边三角形 ABC 的中心为 O．D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA， △FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC， CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥．当 △ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4 cm3 ． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值 与范围问题． 【分析】由题，连接 OD，交 BC 于点 G，由题意得 OD⊥BC，OG= BC，设 OG=x， 则 BC=2 x ， DG=5 ﹣ x ， 三 棱 锥 的 高 h= ， 求 出 S △ ABC=3 ， V= = ，令 f（x）=25x4﹣10x5，x ∈ （0， ），f′（x） =100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值． 【解答】解：由题意，连接 OD，交 BC 于点 G，由题意得 OD⊥BC，OG= BC， 即 OG 的长度与 BC 的长度成正比， 设 OG=x，则 BC=2 x，DG=5﹣x， 三棱锥的高 h= = = ， =3 ， 则 V= = = ， 令 f（x）=25x4﹣10x5，x ∈ （0， ），f′（x）=100x3﹣50x4， 令 f′（x）≥0，即 x4﹣2x3≤0，解得 x≤2， 则 f（x）≤f（2）=80， ∴V≤ =4 cm3，∴体积最大值为 4 cm3． 故答案为：4 cm3． 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、 空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答． 17．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知△ABC 的面积为 ． （1）求 sinBsinC； （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值； 58 ：解三角形． 【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案， （2）根据两角余弦公式可得 cosA= ，即可求出 A= ，再根据正弦定理可得 bc=8， 根据余弦定理即可求出 b+c，问题得以解决． 【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得 S△ABC= acsinB= ， ∴3csinBsinA=2a， 由正弦定理可得 3sinCsinBsinA=2sinA， ∵sinA≠0， ∴sinBsinC= ； （2）∵6cosBcosC=1， ∴cosBcosC= ， ∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣ =﹣ ， ∴cos（B+C）=﹣ ， ∴cosA= ， ∵0＜A＜π， ∴A= ， ∵ = = =2R= =2 ， ∴sinBsinC= • = = = ， ∴bc=8， ∵a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴b2+c2﹣bc=9， ∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33， ∴b+c= ∴周长 a+b+c=3+ ． 【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定 理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题． 18．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP= ∠CDP=90°． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值． 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．菁优网版 权所有 【专题】15 ：综合题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5G ：空间角． 【分析】（1）由已知可得 PA⊥AB，PD⊥CD，再由 AB∥CD，得 AB⊥PD，利用线 面垂直的判定可得 AB⊥平面 PAD，进一步得到平面 PAB⊥平面 PAD； （2）由已知可得四边形 ABCD 为平行四边形，由（1）知 AB⊥平面 PAD，得到 AB⊥AD，则四边形 ABCD 为矩形，设 PA=AB=2a，则 AD= ．取 AD 中点 O， BC 中点 E，连接 PO、OE，以 O 为坐标原点，分别以 OA、OE、OP 所在直线为 x、 y、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 PBC 的一个法向量，再证明 PD⊥平面 PAB， 得 为平面 PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 A﹣PB ﹣C 的余弦值． 【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD， ∵AB∥CD，∴AB⊥PD， 又∵PA∩PD=P，且 PA ⊂ 平面 PAD，PD ⊂ 平面 PAD， ∴AB⊥平面 PAD，又 AB ⊂ 平面 PAB， ∴平面 PAB⊥平面 PAD； （2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形 ABCD 为平行四边形， 由（1）知 AB⊥平面 PAD，∴AB⊥AD，则四边形 ABCD 为矩形， 在△APD 中，由 PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD 为等腰直角三角形， 设 PA=AB=2a，则 AD= ． 取 AD 中点 O，BC 中点 E，连接 PO、OE， 以 O 为坐标原点，分别以 OA、OE、OP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标 系， 则：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ）． ， ， ． 设平面 PBC 的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取 y=1，得 ． ∵AB⊥平面 PAD，AD ⊂ 平面 PAD，∴AB⊥PD， 又 PD⊥PA，PA∩AB=A， ∴PD⊥平面 PAB，则 为平面 PAB 的一个法向量， ． ∴cos＜ ＞= = ． 由图可知，二面角 A﹣PB﹣C 为钝角， ∴二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值为 ． 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练 了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题． 19．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检 验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据 长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N（μ，σ2）． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（μ﹣3σ， μ+3σ）之外的零件数，求 P（X≥1）及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就 认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程 进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.9 5 10. 12 9.9 6 9.9 6 10. 01 9.9 2 9.9 8 10. 04 10. 26 9.9 1 10. 13 10. 02 9.2 2 10. 04 10. 05 9.9 5 经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212， 其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，…，16． 用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差 s 作为σ的估计值 ，利用估计 值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的 数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到 0.01）． 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（μ，σ2），则 P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974， 0.997416≈0.9592， ≈0.09． 【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）通过 P（X=0）可求出 P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项 分布的期望公式计算可得结论； （2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生 产过程方法合理； （ⅱ）通过样本平均数 、样本标准差 s 估计 、 可知（ ﹣3 +3 ） =（9.334，10.606），进而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据 9.22，利用 公式计算即得结论． 【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为 0.9974， 则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为 1﹣0.9974=0.0026， 因为 P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592， 所以 P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408， 又因为 X～B（16，0.0026）， 所以 E（X）=16×0.0026=0.0416； （2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（ ﹣3 +3 ）之外的 概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在（ ﹣3 +3 ） 之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有 理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产 过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． （ⅱ）由 =9.97，s≈0.212，得μ的估计值为 =9.97，σ的估计值为 =0.212，由 样本数据可以看出一个 零件的尺寸在（ ﹣3 +3 ）之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据 9.22，剩下的数据的平均数为 （16×9.97﹣9.22）=10.02， 因此μ的估计值为 10.02． 2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134， 剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据 9.22，剩下的数据的样本方差为 （1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008， 因此σ的估计值为 ≈0.09． 【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计 算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 20．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0），四点 P1（1， 1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上． （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜 率的和为﹣1，证明：l 过定点． 【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程．菁优网版 权所有 【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值 与范围问题． 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到 P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ） 三点在椭圆 C 上．把 P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆 C，求出 a2=4，b2=1， 由此能求出椭圆 C 的方程． （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设 l：y=kx+b，（b≠1），联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、 直线方程，结合已知条件能证明直线 l 过定点（2，﹣1）． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1， ），P4（1， ）两点必在椭 圆 C 上， 又 P4 的横坐标为 1，∴椭圆必不过 P1（1，1）， ∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆 C 上． 把 P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆 C，得： ，解得 a2=4，b2=1， ∴椭圆 C 的方程为 =1． 证明：（2）①当斜率不存在时，设 l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA）， ∵直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为﹣1， ∴ = = =﹣1， 解得 m=2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设 l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0， ，x1x2= ， 则 = = = = =﹣1，又 b≠1， ∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在 k，使得△＞0 成立， ∴直线 l 的方程为 y=kx﹣2k﹣1， 当 x=2 时，y=﹣1， ∴l 过定点（2，﹣1）． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定 理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函 数与方程思想、化归与转化思想，是中档题． 21．（12 分）（2017•新课标Ⅰ）已知函数 f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．菁优网版 权所有 【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得 f（x） 单调性； （2）由（1）可知：当 a＞0 时才有两个零点，根据函数的单调性求得 f（x）最 小值，由 f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由 g（a）min=g（e﹣2） =e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣ ﹣1，g（1）=0，即可求得 a 的取值范围． （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得 f（x）单调性； （2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点， 即可求得 a 的取值范围． 【解答】解：（1）由 f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导 f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex ﹣1， 当 a=0 时，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0， ∴当 x ∈ R，f（x）单调递减， 当 a＞0 时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+ ）（ex﹣ ）， 令 f′（x）=0，解得：x=ln ， 当 f′（x）＞0，解得：x＞ln ， 当 f′（x）＜0，解得：x＜ln ， ∴x ∈ （﹣∞，ln ）时，f（x）单调递减，x ∈ （ln ，+∞）单调递增； 当 a＜0 时，f′（x）=2a（ex+ ）（ex﹣ ）＜0，恒成立， ∴当 x ∈ R，f（x）单调递减， 综上可知：当 a≤0 时，f（x）在 R 单调减函数， 当 a＞0 时，f（x）在（﹣∞，ln ）是减函数，在（ln ，+∞）是增函数； （2）①若 a≤0 时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， 当 a＞0 时，f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x， 当 x→﹣∞时，e2x→0，ex→0， ∴当 x→﹣∞时，f（x）→+∞， 当 x→∞，e2x→+∞，且远远大于 ex 和 x， ∴当 x→∞，f（x）→+∞， ∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于 0 即可， 由 f（x）在（﹣∞，ln ）是减函数，在（ln ，+∞）是增函数， ∴f（x）min=f（ln ）=a×（ ）+（a﹣2）× ﹣ln ＜0， ∴1﹣ ﹣ln ＜0，即 ln + ﹣1＞0， 设 t= ，则 g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0）， 求导 g′（t）= +1，由 g（1）=0， ∴t= ＞1，解得：0＜a＜1， ∴a 的取值范围（0，1）． 方法二：（1）由 f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导 f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1， 当 a=0 时，f′（x）=2ex﹣1＜0， ∴当 x ∈ R，f（x）单调递减， 当 a＞0 时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+ ）（ex﹣ ）， 令 f′（x）=0，解得：x=﹣lna， 当 f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna， 当 f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna， ∴x ∈ （﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x ∈ （﹣lna，+∞）单调递增； 当 a＜0 时，f′（x）=2a（ex+ ）（ex﹣ ）＜0，恒成立， ∴当 x ∈ R，f（x）单调递减， 综上可知：当 a≤0 时，f（x）在 R 单调减函数， 当 a＞0 时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数； （2）①若 a≤0 时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， ②当 a＞0 时，由（1）可知：当 x=﹣lna 时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣ lna）=1﹣ ﹣ln ， 当 a=1，时，f（﹣lna）=0，故 f（x）只有一个零点， 当 a ∈ （1，+∞）时，由 1﹣ ﹣ln ＞0，即 f（﹣lna）＞0， 故 f（x）没有零点， 当 a ∈ （0，1）时，1﹣ ﹣ln ＜0，f（﹣lna）＜0， 由 f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0， 故 f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点， 假设存在正整数 n0，满足 n0＞ln（ ﹣1），则 f（n0）= （a +a﹣2）﹣n0＞ ﹣n0＞ ﹣n0＞0， 由 ln（ ﹣1）＞﹣lna， 因此在（﹣lna，+∞）有一个零点． ∴a 的取值范围（0，1）． 【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函 数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题． [选修 4-4，坐标系与参数方程] 22．（10 分）（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ为参数），直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数）． （1）若 a=﹣1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 a． 【考点】QH：参数方程化成普通方程；IT：点到直线的距离公式．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；4Q：参数法；5S ：坐标系和参数方程． 【分析】（1）将曲线 C 的参数方程化为标准方程，直线 l 的参数方程化为一般方 程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2）曲线 C 上的点可以表示成 P（3cosθ，sinθ），θ ∈ [0，2π），运用点到直线距 离公式可以表示出 P 到直线 l 的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以 求出 a 的值． 【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1； a=﹣1 时，直线 l 的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程 ， 解得 或 ， 所以椭圆 C 和直线 l 的交点为（3，0）和（﹣ ， ）． （2）l 的参数方程 （t 为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆 C 上的任一点 P 可以表示成 P（3cosθ，sinθ），θ ∈ [0，2π）， 所以点 P 到直线 l 的距离 d 为： d= = ，φ满足 tanφ= ，且的 d 的最大 值为 ． ①当﹣a﹣4≤0 时，即 a≥﹣4 时， |5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17 解得 a=8≥﹣4，符合题意． ②当﹣a﹣4＞0 时，即 a＜﹣4 时 |5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17 解得 a=﹣16＜﹣4，符合题意． 【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点 在于如何根据曲线 C 上的点到直线 l 距离的最大值求出 a． [选修 4-5：不等式选讲] 23．（2017•新课标Ⅰ）已知函数 f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求 a 的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版 权所有 【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式． 【分析】（1）当 a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 分 x＞1、x ∈ [﹣1，1]、x ∈ （﹣∞，﹣1）三类讨论，结合 g（x）与 f（x）的单调 性质即可求得 f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立 ⇔ x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1]恒 成立，只需 ，解之即可得 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为 x= 的二 次函数， g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ， 当 x ∈ （1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得 x= ，g（x）在（1，+∞）上单 调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时 f（x）≥g（x）的解集为（1， ]； 当 x ∈ [﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当 x ∈ （﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且 g（﹣1）=f（﹣1） =2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立，即 x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1] 恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1， 故 a 的取值范围是[﹣1，1]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论 思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题． 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；maths；豫汝王世崇；左杰；whgcn； cst；qiss；沂蒙松；sxs123；742048；铭灏 2016；██；wfy814（排名不分先后） 菁优网 2017 年 8 月 1 日 考点卡片 1．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x ∈ A，且 x ∈ B}． A∩B 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩ ∅ = ∅ ．③A∩A=A．④A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B．⑤A∩B=A ⇔ A ⊆ B．⑥ A∩B= ∅ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ ∁ UA）= ∅ ．⑧ ∁ U（A∩B）=（ ∁ UA）∪ （ ∁ UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 2．命题的真假判断与应用 【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确 p、q 及非 p 的真 假，然后由真值表判断复合命题的真假． 注意：“非 p”的正确写法，本题不应将“非 p”写成“方程 x2﹣2x+1=0 的两根都不是 实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分． 【解题方法点拨】 1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中 简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假． 2．判断一个“若 p 则 q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方 法：若“p q”，则“若 p 则 q”为真；而要确定“若 p 则 q”为假，只需举出一个反 例说明即可． 3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真 同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断． 【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知 识点多而且全，多以小题形式出现． 3．抽象函数及其应用 【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征 的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内 容的难点之一． 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如 f（x+y）=f（x）+f（y）， 它的原型就是 y=kx； ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例：f（xy）=f（x）+f（y），求证 f（1）=f（﹣1）=0 令 x=y=1，则 f（1）=2f（1） ⇒ f（1）=0 令 x=y=﹣1，同理可推出 f（﹣1）=0 ③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性； 【命题方向】抽象函数及其应用． 抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到 的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视． 4．函数零点的判定定理 【知识点的知识】 1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f（a）•f（b）＜0，那么函数 y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c ∈ （a，b），使得 f（c）=O，这个 c 也就是 f（x）=0 的根． 特别提醒： （1）根据该定理，能确定 f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一． （2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件， 并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数 f（x）=x2﹣3x+2 有 f（0） •f（3）＞0，但函数 f（x）在区间（0，3）上有两个零点． （3）若 f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b） ＜0，则 f（x）在（a，b）上有唯一的零点． 2、函数零点个数的判断方法： （1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y=f（x）的图象联 系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒： ①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程 x2﹣ 2x+1=0 在[0，2]上有两个等根，而函数 f（x）=x2﹣2x+1 在[0，2]上只有一个零 点； ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． （2）代数法：求方程 f（x）=0 的实数根． 5．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′ （x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′ （x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定 f（x）的定义域； （2）计算导数 f′（x）； （3）求出 f′（x）=0 的根； （4）用 f′（x）=0 的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区 间内 f′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应 区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减 函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）=2，对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， 则 f（x）＞2x+4 的解集为（ ） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：设 g（x）=f（x）﹣2x﹣4， 则 g′（x）=f′（x）﹣2， ∵对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， ∴对任意 x ∈ R，g′（x）＞0， 即函数 g（x）单调递增， ∵f（﹣1）=2， ∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0， 则由 g（x）＞g（﹣1）=0 得 x＞﹣1， 即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数很函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a ∈ R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于 任意的 t ∈ [1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调 函数，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ． 解：（Ⅰ） （2 分） 当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当 a=0 时，f（x）不是单调函数（4 分） （Ⅱ） 得 a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴ ， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的 t ∈ [1，2]，g′（t）＜0 恒成立， 所以有： ，∴ （10 分） （Ⅲ）令 a=﹣1 此时 f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知 f（x）=﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增， ∴当 x ∈ （1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1 对一切 x ∈ （1，+∞）成立，（12 分） ∵n≥2，n ∈ N*，则有 0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′（x）=0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x） 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区 间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 6．不等式比较大小 【知识点的知识】 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 【典型例题分析】 方法一：作差法 典例 1：若 a＜0，b＜0，则 p= 与 q=a+b 的大小关系为（ ） A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q 解 ： p ﹣ q= ﹣ a ﹣ b= = （ b2 ﹣ a2 ） = ， ∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0， 若 a=b，则 p﹣q=0，此时 p=q， 若 a≠b，则 p﹣q＜0，此时 p＜q， 综上 p≤q， 故选：B 方法二：利用函数的单调性 典例 2：三个数 ， ， 的大小顺序是（ ） A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜ 解：由指数函数的单调性可知， ＞ ， 由幂函数的单调性可知， ＞ ， 则 ＞ ＞ ， 故 ＜ ＜ ， 故选：B． 7．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 8．等差数列的通项公式 【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，已知等差数列的首项 a1，公差 d，那么第 n 项为 an=a1+（n﹣1） d，或者已知第 m 项为 am，则第 n 项为 an=am+（n﹣m）d． 【例题解析】 eg1：已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an} 是不是等差数列 解：当 n=1 时，a1=S1=12+1=2， 当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+1﹣（n﹣1）2﹣1=2n﹣1， ∴an= ， 把 n=1 代入 2n﹣1 可得 1≠2， ∴{an}不是等差数列 考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进 去的话就不是等差数列，题中 an 的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟 记一下． eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7 则这个数列的通项公 式为 解：∵等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7， ∴2（2a+1）=a﹣1+a+7， 解得 a=2． ∴a1=2﹣1=1，a2=2×2+1=5，a3=2+7=9， ∴数列 an 是以 1 为首项，4 为周期的等差数列， ∴an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3． 故答案：4n﹣3． 这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通 过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可． 【考点点评】 求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等 差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点． 9．等差数列的前 n 项和 【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一 项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的 公差，公差常用字母 d 表示．其求和公式为 Sn=na1+ n（n﹣1）d 或者 Sn= 【例题解析】 eg1：设等差数列的前 n 项和为 Sn，若公差 d=1，S5=15，则 S10= 解：∵d=1，S5=15， ∴5a1+ d=5a1+10=15，即 a1=1， 则 S10=10a1+ d=10+45=55． 故答案为：55 点评：此题考查了等差数列的前 n 项和公式，解题的关键是根据题意求出首项 a1 的值，然后套用公式即可． eg2：等差数列{an}的前 n 项和 Sn=4n2﹣25n．求数列{|an|}的前 n 项的和 Tn． 解：∵等差数列{an}的前 n 项和 Sn=4n2﹣25n． ∴an=Sn﹣Sn﹣1=（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]=8n﹣29， 该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前 3 项为负，其和为 S3=﹣39． ∴n≤3 时，Tn=﹣Sn=25n﹣4n2， n≥4，Tn=Sn﹣2S3=4n2﹣25n+78， ∴ ． 点评：本题考查等差数列的前 n 项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认 真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和 公差，要么求出首项和第 n 项的值． 【考点点评】 等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以 小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相 减法的运用． 10．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、 等差等比数列等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn=na1+ n（n﹣1）d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式： ③几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{ }的前 n 项和，其中{an}为各项不为 0 的等差数列，即 = （ ）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列 （反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例 1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）求 an 及 Sn； （Ⅱ）令 bn= （n ∈ N*），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 分 析 ： 形 如 的 求 和 ， 可 使 用 裂 项 相 消 法 如 ： ． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴ ，解得 a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn= =n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an=2n+1， ∴bn= = = = ， ∴Tn= = = ， 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= ． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的 方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求 和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便 是放缩也要往这里面考． 11．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【知识点的知识】 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量 ， 如果以 O 为起点，作 = ， = ，那么射线 OA， OB 的夹角θ叫做向量 与向量 的夹角，其中 0≤θ≤π． 2、向量的数量积概念及其运算： （1）定义：如果两个非零向量 ， 的夹角为θ，那么我们把| || |cosθ叫做 与 的数量积，记做 即： =| || |cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为 0，即： • =0． 注意： ① 表示数量而不表示向量，符号由 cosθ决定； ②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替； ③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π． （2）投影： 在 上的投影是一个数量| |cosθ，它可以为正，可以为负，也可 以为 0 （3）坐标计算公式：若 =（x1，y1）， =（x2，y2），则 =x1x2+y1y2， 3、向量的夹角公式： 4、向量的模长： 5、平面向量数量积的几何意义： 与 的数量积 等于 的长度| |与 在 的 方向上的投影| |cosθ的积． 12．复数的基本概念 【知识点的知识】 1．复数的概念：形如 a+bi（a，b ∈ R）的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部 和虚部．若 b=0，则 a+bi 为实数；若 b≠0，则 a+bi 为虚数；若 a=0，b≠0，则 a+bi 为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c，b=d（a，b，c，d ∈ R）． 3、共轭复数：a+bi 与 c+di 共轭 ⇔ a=c，b+d=0（a，b，c，d ∈ R）． 4 、 复 数 的 模 ： 的 长 度 叫 做 复 数 z=a+bi 的 模 ， 记 作 |z| 或 |a+bi| ， 即 |z|=|a+bi|= ． 13．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 14．几何概型 【考点归纳】 1．定义：若一个试验具有下列特征： （1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表 示； （2）每次试验的各种结果是等可能的． 那么这样的试验称为几何概型． 2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件 A 所 对应的区域用 A 表示（A ⊆ Ω），则 P（A）= 称为事件 A 的几何概率． 15．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【知识点的知识】 1．正态曲线及性质 （1）正态曲线的定义 函数φμ，σ（x）= ，x ∈ （﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0） 为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线． （2）正态曲线的解析式 ①指数的自变量是 x 定义域是 R，即 x ∈ （﹣∞，+∞）． ②解析式中含有两个常数：π和 e，这是两个无理数． ③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0 这是正态分布的两 个特征数． ④解析式前面有一个系数为 ，后面是一个以 e 为底数的指数函数的形式， 幂指数为﹣ ． 2．正态分布 （1）正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a，b（a＜b），随机变量 X 满足 P（a＜X≤b）= φμ，σ（x） dx，则称 X 的分布为正态分布，记作 N（μ，σ2）． （2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826； ②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544； ③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ（x）= ，x ∈ R 有以下性质： （1）曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线 x=μ对称； （3）曲线在 x=μ处达到峰值 ； （4）曲线与 x 轴围成的图形的面积为 1； （5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移； （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布 越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 4．三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的 概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 【典型例题分析】 题型一：概率密度曲线基础考察 典例 1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f（x）的图象，且 f（x） = ，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ） A．10 与 8 B．10 与 2 C．8 与 10 D．2 与 10 解析：由 = ，可知σ=2，μ=10． 答案：B． 典例 2：已知随机变量ξ服从正态分布 N（2，σ2），且 P（ξ＜4）=0.8，则 P（0＜ξ ＜2）等于（ ） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：由 P（ξ＜4）=0.8 知 P（ξ＞4）=P（ξ＜0）=0.2， 故 P（0＜ξ＜2）=0.3．故选 C． 典例 3：已知随机变量 X 服从正态分布 N（3，1），且 P（2≤X≤4）=0.682 6，则 P（X＞4）等于（ ） A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5 解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线 x=3 对称，∴P（X＞4）=0.5﹣ P（2 ≤X≤4）=0.5﹣ ×0.682 6=0.1587．故选 B． 题型二：正态曲线的性质 典例 1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 ． （1）求该正态分布的概率密度函数的解析式； （2）求正态总体在（﹣4，4]的概率． 分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个 参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有 关． 解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于 y 轴 对称，即μ=0．由 = ，得σ=4，故该正态分布的概率密度函数的解 析式是 φμ，σ（x）= ，x ∈ （﹣∞，+∞）． （2）P（﹣4＜X≤4）=P（0﹣4＜X≤0+4） =P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826． 点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数 解析式中参数的取值变化对曲线的影响． 典例 2：设两个正态分布 N（μ1， ）（σ1＞0）和 N（μ2， ）（σ2＞0）的 密度函数图象如图所示，则有（ ） A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 解析：根据正态分布 N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线 x=μ 对称，在 x=μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平 缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选 A． 答案：A． 题型三：服从正态分布的概率计算 典例 1：设 X～N（1，22），试求 （1）P（﹣1＜X≤3）； （2）P（3＜X≤5）； （3）P（X≥5）． 分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的 概率，并利用正态密度曲线的对称性求解． 解析：∵X～N（1，22），∴μ=1，σ=2． （1）P（﹣1＜X≤3）=P（1﹣2＜X≤1+2） =P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.682 6． （2）∵P（3＜X≤5）=P（﹣3＜X≤﹣1）， ∴P（3＜X≤5）= [P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）] = [P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）] = [P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）] = ×（0.954 4﹣0.682 6） =0.1359． （3）∵P（X≥5）=P（X≤﹣3）， ∴P（X≥5）= [1﹣P（﹣3＜X≤5）] = [1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）] = [1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）] = ×（1﹣0.954 4）=0.0228． 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质， 把所求问题转化为已知概率的三个区间上． 典例 2：随机变量ξ服从正态分布 N（1，σ2），已知 P（ξ＜0）=0.3，则 P（ξ＜2） = ． 解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线 x=1 对称，所以 P（ξ＞2）=P（ξ ＜0）=0.3，P（ξ＜2）=1﹣0.3=0.7． 答案：0.7． 题型 4：正态分布的应用 典例 1：2011 年中国汽车销售量达到 1 700 万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着 非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公 司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 1 200 名车主，据统计该种型号 的汽车的平均耗油为百公里 8.0 升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布 N（8，σ2）， 已知耗油量ξ ∈ [7，9]的概率为 0.7，那么耗油量大于 9 升的汽车大约有 辆． 解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ=8 为对称轴，又因为 P（7 ≤ξ≤9）=0.7，故 P（7≤ξ≤9）=2P（8≤ξ≤9）=0.7，所以 P（8≤ξ≤9）=0.35， 而 P（ξ≥8）=0.5，所以 P（ξ＞9）=0.15，故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 200 ×0.15=180 辆． 点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度 曲线和 x 轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当 P（ξ＞x1） =P（ξ＜x2）时必然有 =μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论． 典例 2：工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N（4， ），问在一次正常 的试验中，取 1 000 个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有 多少个？ 解∵X～N（4， ），∴μ=4，σ= ． ∴不属于区间（3，5]的概率为 P（X≤3）+P（X＞5）=1﹣P（3＜X≤5） =1﹣P（4﹣1＜X≤4+1） =1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ） =1﹣0.9974=0.0026≈0.003， ∴1 000×0.003=3（个）， 即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有 3 个． 【解题方法点拨】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的 重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考 生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布 N （μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个 数值应该为σ2 而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质． 16．二项式定理的应用 【知识点的知识】 二项式定理的应用： （1）求特征项：先求通项公式，再求满足条件的 r； （2）求二项式系数及项的系数的问题： ①二次项系数：每项中的组合数 ②项的系数：除去变量以外的部分 （3）证明组合恒等式问题：熟记组合数的各个性质； （4）整除、余数的问题：通常把底数适当地拆成两项之和或之差，再按二项式 定理展开推得所求结论； （5）近似计算的问题：一般地，当 a 较小时，（1+a）n≈1+na *记清二项展开式的特点，熟记二项展开式的通项公式是正确应用二项式定理的 关键． 17．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 框 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 18．函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换 【知识点的知识】 函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸 缩变换）再相位变换，平移的量是 （ω＞0）个单位．原因是相位变换和周 期变换都是针对 x 而言的． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为 ，利用这一结论可以较快地 写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅 A 与函数 y=Asin （ωx+φ）+b 的最大值，最小值的区别：最大值 M=A+b， 最小值 m=﹣A+b，故 A= ． （2）由 y=sin x 变换到 y=Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移 的区别：由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先 相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸 缩变换）再相位变换，平移的量是 （ω＞0）个单位．原因在于相位变换和 周期变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式 化为同名函数； （3）由 y=Asin ωx 的图象得到 y=Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为 ，而不是|φ|． 19．正弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 =2R a2=b2+c2﹣2bccos A， b2=a2+c2﹣2accos B， （ R 是△ABC 外接圆半径） c2=a2+b2﹣2abcos C 变 形 形 式 ①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； ②sin A= ，sin B= ，sin C= ； ③a：b：c=sinA：sinB：sinC； ④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A cos A= ， cos B= ， cos C= 解 决 三 角 形 的 问 题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他 两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一 边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三 边和其他两角 在△ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A＜ a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当 A 为锐角时，a＜bsin A，无解．当 A 为钝角或直角时，a≤b， 无解． 2、三角形常用面积公式 1．S= a•ha（ha 表示边 a 上的高）； 2．S= absin C= acsin B= bcsin A． 3．S= r（a+b+c）（r 为内切圆半径）． 20．余弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 =2R （ R 是△ABC 外接圆半径） a2=b2+c2﹣2bccos A， b2=a2+c2﹣2accos_B， c2=a2+b2﹣2abcos_C 变 形 形 式 ①a=2Rsin A，b=2Rsin_B，c=2Rsin_C； ②sin A= ，sin B= ，sin C= ； ③a：b：c=sinA：sinB：sinC； ④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A cos A= ， cos B= ， cos C= 解 决 三 角 形 的 问 题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他 两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另 一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三 边和其他两角 21．点到直线的距离公式 【知识点的知识】 从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段 的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为 Ax+By+C=0，直线外某点的 坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d= ． 【例题解析】 例：过点 P（1，1）引直线使 A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条 直线方程． 解：当直线平行于直线 AB 时，或过 AB 的中点时满足题意， 当直线平行于直线 AB 时，所求直线的斜率为 k= =1， 故直线方程为 y﹣1=（x﹣1），即 x﹣y=0； 当直线过 AB 的中点（3，4）时，斜率为 k= = ， 故直线方程为 y﹣1= （x﹣1），即 3x﹣2y﹣1=0； 故答案为：x﹣y=0 或 3x﹣2y﹣1=0． 这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他 告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的 中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例 题还考察了直线表达式的求法，是一个好题． 【考点分析】 正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离 公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离． 22．椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆标准方程的两种形式： （1） （a＞b＞0），焦点在 x 轴上，焦点坐标为 F（±c，0），焦距|F1F2|=2c； （2） （a＞b＞0），焦点在 y 轴上，焦点坐标为 F（0，±c），焦距|F1F2|=2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有 a＞b＞0；a2=b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在 x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x 轴、y 轴，长轴长 2a， 短轴长 2b 焦点在长轴长上 x 轴、y 轴，长轴长 2a，短轴长 2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c（c＞0） c2=a2﹣b2 |F1F2|=2c（c＞0） c2=a2﹣b2 离心率 e= （0＜e＜1） e= （0＜e＜1） 准线 x=± y=± 23．抛物线的简单性质 【知识点的知识】 抛物线的简单性质： 24．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 质 渐近线 ± =0 ± =0 25．圆锥曲线的定值问题 v． 26．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形， 包括： （1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度； （2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则： （1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐； （2）长对正：主视图和俯视图的长相对应； （3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 （1）表面积公式： （2）体积公式： 【解题思路点拨】 1．解题步骤： （1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球） （2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高） （4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法： （1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进 行分析求解； （2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法； （3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活 求解三棱锥的体积； （4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解 答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、 俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正 俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟 记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣ 分析：几何体是正方体切去两个 圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的 圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱， 正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2， ∴几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12×2=8﹣π． 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数 据所对应的几何量是解题的关键． 27．棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式： V 柱=sh，V 锥= Sh． 28．平面与平面垂直的判定 【知识点的认识】 平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 29．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为 AB、面分别为α、β的二面角记作 二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别 取点 P、Q，将这个二面角记作 P﹣AB﹣Q．如果棱记作 l，那么这个二面角记作 二面角α﹣l﹣β或 P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分 别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的 平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角 ∠AOB 的大小与点 O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱 l 上的 点 O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面 角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱 垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂 直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或 补角）相等． 30．参数方程化成普通方程 【知识点的认识】 参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除） 消元法、三角代换法等．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x=f （t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y=g（t），那么就是曲 线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持 一致． 31．绝对值不等式的解法 【知识点的认识】 绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集 不等式 a＞0 a=0 a＜0 |x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅ ∅|x|＞a {x|x＞a，或 x＜﹣a} {x|x≠0} R 2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法： （1）|ax+b|≤c ⇔ ﹣c≤ax+b≤c； （2）|ax+b|≥c ⇔ ax+b≥c 或 ax+b≤﹣c； （3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【解题方法点拨】 1、解绝对值不等式的基本方法： （1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； （2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值 符号的普通不等式； （3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元 二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段 法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利 用实数绝对值的几何意义求解较简便． 3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到 A（a），B（b）两点的距离之和 不小于 c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就 可以得出不等式的解． 4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab≥0，左侧“=” 成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=” 成立的条件是 ab≤0，左侧“=”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|．