【数学】2018届一轮复习人教A版（理）1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

‎§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎　　考纲展示►‎ ‎　 考点1　含有逻辑联结词的命题及其真假判断 简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的________、________、________叫做逻辑联结词．‎ ‎(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定：‎ p q p∧q p∨q 綈p 真 真 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 真 假 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 假 真 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 假 假 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 答案：(1)且　或　非 ‎(2)真　真　假　假　真　假　假　真　真　假　假　真 ‎(1)[教材习题改编]命题“28是7的倍数也是2的倍数”含有逻辑联结词________，是________命题．(填“真”或“假”)‎ 答案：且　真 解析：这是一个p∧q型命题， 若p，q都是真命题，则p∧q 是真命题，所以“28是7的倍数也是2的倍数”是真命题．‎ ‎(2)[教材习题改编]若p：y＝2x是偶函数，q：y＝2x是递增函数，则命题p∨q是________命题，命题p∧q是________命题(填“真”或“假”)．‎ 答案：真　假 含逻辑联结词的命题真假的判断方法：真值表法．‎ 已知命题p：∃x0∈R，x＋≤2，命题q是命题p的否定，则命题p，q，p∧q，p∨q中是真命题的是________．‎ 答案：p，p∨q 解析：当x0＝1时，x＋＝2，所以p是真命题，则q是假命题，p∧q是假命题，p∨q是真命题．‎ ‎[典题1]　(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)‎ A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)‎ C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q ‎[答案]　A ‎[解析]　解法一：命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”，故可表示为(綈p)∨(綈q)．‎ 解法二：命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否定，即“p∧q”的否定．故选A.‎ ‎(2)已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos的图象关于点对称，则下列命题中是真命题的为(　　)‎ A．p∧q B．p∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　函数y＝e|x－1|的图象如图所示．‎ 所以其图象关于直线x＝1对称，所以命题p正确；‎ y＝cos＝0，所以函数y＝cos的图象关于点对称，‎ 所以命题q正确，所以“p∧q”正确．‎ ‎[点石成金]　1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 ‎2．“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反．‎ 考点2　全(特)称命题的否定及其真假判定 ‎1.全称量词和存在量词 ‎(1)全称量词有“所有的，任意一个，任给一个”，用符号“________”表示；存在量词有“存在一个，至少有一个，有些”，用符号“________”表示．‎ ‎(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：____________.‎ ‎(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：____________.‎ 答案：(1)∀　∃　(2)∀x∈M，p(x)　(3)∃x0∈M，p(x0)‎ ‎2．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎________________‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎________________‎ 答案：∃x0∈M，綈p(x0)　∀x∈M，綈p(x)‎ ‎(1)[教材习题改编]命题“∃x0∈R，x＋2x0＋3＝‎0”‎中含有________量词，其否定是____________________________．‎ 答案：存在　∀x∈R，x2＋2x＋3≠0‎ 解析：这是一个特称命题，特称命题的否定是全称命题，将存在量词改为全称量词，再将结论否定，所以，命题的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3≠‎0”‎．‎ ‎(2)[教材习题改编]命题“∀x∈R，x2＋x＋1>‎0”‎的否定为________．‎ 答案：∃x0∈R，x＋x0＋1≤0‎ 特称命题为真的判断方法：只要找到一个对象使结论成立即可．‎ 命题p：∃x0∈R,2x0＜x，则命题p为________命题．(填“真”或“假”)‎ 答案：真 解析：当x0＝3时，23＜32，故命题p为真命题．‎ ‎[考情聚焦]　全称命题与特称命题是高考的常考内容，题型多为选择题，难度较小，属容易题．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 全称命题、特称命题的否定 ‎[典题2]　(1)已知命题p：∃x0∈R，sin x0＜x0，则綈p为(　　)‎ A．∃x0∈R，sin x0＝x0 ‎ B．∀x∈R，sin x＜x C．∃x0∈R，sin x0≥x0 ‎ D．∀x∈R，sin x≥x ‎[答案]　D ‎[解析]　原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x∈R，sin x≥x.‎ ‎(2)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln ‎2”‎的否定为(　　)‎ A．对任意x∈R，都有x20‎ B．∀x∈N*，(x－1)2>0‎ C．∃x0∈R，ln x0<1‎ D．∃x0∈R，tan x0＝2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在0< x00，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是(　　)‎ A．p是假命题 ‎ B．q是真命题 C．p∧(綈q)是真命题 ‎ D．(綈p)∧q是真命题 ‎[答案]　C ‎[解析]　当x>0时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是假命题．‎ ‎[点石成金]　1.全称命题真假的判断方法 ‎(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．‎ ‎(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．‎ ‎2．特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．‎ 考点3　与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题 ‎[典题4]　已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q ‎：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；‎ 由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，‎ 知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，‎ 则解得a＞.‎ 因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，‎ 所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，‎ 故或 解得a≥1或0n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ 答案：D 解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．‎ ‎3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为(　　)‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 答案：C 解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.‎ ‎4．[2015·山东卷]若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ 答案：1‎ 解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m.又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围 以逻辑联结词为工具，与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，根据命题的真假求参数的取值范围在模拟题中也常出现，题型为选择题或填空题．‎ ‎[典例1]　给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋‎ a＝0有实数根．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，那么实数a的取值范围为________．‎ ‎[答案]　(－∞，0)∪ ‎[解析]　当p为真命题时，‎ ‎“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或所以0≤a<4.‎ 当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－‎4a≥0，所以a≤.‎ 因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，‎ 所以p，q一真一假．‎ 若p真q假，则

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