重庆市三峡名校联盟2020-2021学年高一上学期12月联考试题 数学 Word版含答案
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三峡名校联盟高 2023 级 2020－2021 年第一学期
数学试题
(总分 150 分，考试时间 120 分钟)
一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1.命题“∀x∈R，ex>x2 的否定是
A.∀x∈R，ex
x02 D.∃x0∈R， 0xe ≤x02
2.设集合 A＝{x|y＝lg(x＋1)}，B＝{x|2x>4}，则 A∩(∁RB)＝
A.(2，＋∞) B.(－1，2] C.(－1，2) D.(－1，＋∞)
3.在半径为 2 的圆中，长度为 2 的弦所对劣弧所在的扇形的面积是
A. 2
3
B.
3
C.
6
D. 4
3
4.已知函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则 m＝f(log23)，n＝f(log25)，r＝f(1)的大小关系正确
的是
A.m>n>r B.n>m>r C.m>r>n D.r>m>n
5.若 sinθ＋cosθ＝ 2
3
，则 tanθ＋ 1
tan
＝
A.－ 5
18 B. 5
18 C.－18
5 D.18
5
6.2020 年 7 月 31 日，中国宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通，成为继美国 GPS 等系统
后另一个能为全球提供高质量导航定位的系统北斗卫星由长征三号乙运载火箭成功送入太
空，长征三号乙运载火箭在发射时会产生巨大的噪音声音的等级 d(x)(单位：dB)与声音的强度
x(单位：w/m2)满足 d(x)＝9lg 131 10
x
，火箭发射时的声音等级约为 153dB，两人交谈时的声
音等级大约为 54dB，那么火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的倍
A.109 B.1010 C.1011 D.1012
7.已知函数 f(x)＝|log2x|，当 00 且 a≠1)的图象恒过定点 P(m，n)，则 m＋n＝ ；函
数 g(x)＝logn(3x2－bx－4)在区间 x∈[1，＋∞)上单调递增，则实数 b 的取值范围是 。
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题 10 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角α的终边与单位圆交于点 P，且点 P 的
横坐标为－ 3
5
。
(1)求 sinα，cosα的值；
(2)求
2sin 2 cos
sin cos 2 1 tan 2
的值。
18.(本小题 12 分)已知幂函数 f(x)＝ 22 m 4m 2m 1 x 在(0，＋∞)上单调递增，函数 g(x)＝2x
－k。
(1)求 m 的值；
(2)当 x∈[1，2]时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A，B，若 x∈A 是 x∈B 成立的 条
件，请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在上面问题(2)
中，若问题(2)中的实数 k 存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
19.(本小题 12 分)已知函数 f(x)＝log2(4x－a·2x＋1－2)，(a∈R)
(1)若 a＝1，求 f(x)的零点；
(2)若函数 f(x)≥1 在区间[0，1]上恒成立，求实数 a 的取值范围。
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20.(本小题 12 分)此前，美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令，禁止各国及各国企业向华
为出售含有美国技术或软件设计的产品，否则出售者本身也会受到制裁。这一禁令在 9 月 15
日正式生效，迫于这一禁令的压力，很多家企业被迫停止向华为供货，对华为电子设备的发
展产生不良影响。为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企
业研发部原有 100 名技术人员，年人均投入 20 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人
员和研发人员，其中技术人员 x 名(x∈N 且 45≤x≤75)，调整后研发人员的年人均投入增加了
原来的 4x%，技术人员的年人均投入调整为 20(m－ 2
25
x )万元。
(1)要使这 100－x 名研发人员的年总投入不低于调整前 100 名技术人员的年总投入，求调整后
的技术人员的人数最多多少人？
(2)是否存在这样的实数 m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①
技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
若存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由。
21.(本小题 12 分)设函数 f(x)＝x2－ax＋b。
(1)若不等式 f(x)<0 的解集是{x|20 的解集；
(2)当 b＝3－a 时，设函数 g(x)＝|x2－2x|，若函数 y＝f(g(x))有 6 个零点，求 a 的取值范围。
22.(本小题 12 分)定义区间(c，d)、[c，d)、(c，d]、[c，d]的长度均为 d－c，其中 d>c。
(1)若函数 y＝|2x－1|的定义域为[a，b]，值域为[0， 1
2 ]，写出区间[a，b]的长度的最大值；
(2)若关于 x 的不等式组
2 2
7 >0x 1
log x log tx 3t 2
的解集构成的各区间长度和为 6，求实数 t
的取值范围。
三峡联盟高 2023 级第一次联考数学试题答案
一、 选择题
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1--------8 D B A B C C D B
二、多选题
9.BC 10. ABD 11. AC 12. ACD
三、填空题
13. 3
2 14. 15. [ 3,0) 16. 2
四、解答题
17.（1）（1）在单位圆上，且点 P 的横坐标为 3
5- ，则 3cos 5
， 4sin 5
…………6 分
（2）原式
2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos
sinsin cos sin cos cos sin sin cos1 cos
sin cos sin cos sin cossin cos
=………………………………………………
……..12 分
说明：第二问直接代入计算也可以
18. （1）（1）依题意得： 2( 1) 1m ， 0m 或 2m ，
当 2m 时， 2( )f x x 在 (0, ) 上单调递减，
与题设矛盾，舍去，
0m ………………………………………………………………………….5 分
（2）由（1）得： 2( )f x x ，
当 [1,2]x 时， ( ) 1,4f x ，即 1,4A ，……………………………………7 分
当 [1,2]x 时， ( ) 2 ,2g x k k ，即 2 ,4B k k ，………………………9 分
选择①若命题 A 是 B 成立的充分不必要条件，则
则则 k 无解………………………………………………………………………………………12 分
选择②若命题 A 是 B 成立的必要不充分条件，则 B A
则 2 1
4 4
k
k
，即 1
0
k
k
，解得： 0 1k ………………………………………..12 分
19.（1）当时，
令，则，则
………………………………..6 分
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(2)由题意得：
令，则， 则
令…………………… 12 分
20. （1）由题意得：解得 75x ，所以调整后的技术人员的人数最多 75
人………………………………………….4 分
（2）由技术人员年人均投入不减少得（ⅰ），得 2 125
xm ，………5 分
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得
（ⅱ），………………………………………6 分
两边除以 20x 得 100 21 1 25 25
x xmx
，整理得 100 325
xm x
，故有
2 1001 325 25
x xm x
，………………………8 分
又，当且仅当 50x 时取等号， 7m ，………………10 分
又因为 45 75x ，当 75x 时，令 2 125
xy 取得最大值 7， 7m ， 7 7m ，……11
分
即存在这样的 m 满足条件，其范围为 {7}m ……………………12 分
21. （1）因为不等式 2 0x ax b 的解集是 | 2 3x x ，
所以 2 3x x ， 是方程 2 0x ax b 的解
由韦达定理得： 5 6a b ， ，
故不等式 2 1 0bx ax 为 26 5 1 0x x .
解不等式 26 5 1 0x x 得其解集为 1 1| 3 2x x x
或 . ………………5 分
（2）做出图像..,………………………………………………………………………………….7 分
因为有 6 个零点，即方程
令…………………………………………………………………………………8 分
①存在两根. 当时，此时不合题意，舍去…………………….10 分
②存在两根
令
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所以 …………………………………………………………..12 分
22.（1）令 2 1 0xy ，解得 0x ，此时 0y 为函数的最小值.令 12 1 2
xy ，解
得 1 1x ， 2 2
3log 2x .故定义域区间长度最大时 2
31, log 2a b ，故区间 ,a b 的长度为
2 2
3log 1 log 32b a .
…………………………………………………………………………………………4 分
（2）由 7 11x
得 6 01
x
x
，解得 1 6x ，记 1,6A ……………….5 分
设不等式 2 2log log 3 2x tx t 的解集为 B ，不等式组
2 2
7 11
log log 3 2
x
x tx t
＞
＜
的解集
为……………………………………………..6 分
设不等式 2 2log log 3 2x tx t 等价于
2
0
3 0
3 4 0
x
t x
t tx
，所以 0,B ，………8 分
0,6A B ，由于不等式组的解集的个区间长度和为 6，所以不等式组
2
3 0
3 4 0
t x
t tx
，
当 0,6x 是恒成立.
当 0,6x 时，不等式 3 0t x 恒成立，得 0t ………………………………10 分
当 0,6x 时，不等式 2 3 4 0t tx 恒成立，分离常数得 2
4
3t x x
恒成立. 当 0,6x
时， 2 3y x x 为单调递增函数，所以 2 3 0,54y x x ，所以 2
4 4
3 27x x
，所以实
数 2
27t ……………………………………………………………………..12 分
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