2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3

www.ks5u.com 课时分层作业(二十三)　‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1(x≥4)‎ C．－＝1 D．－＝1(x≥3)‎ D　[由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，‎ ‎∴M点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]‎ ‎2．若ax2＋by2＝b(ab＜0)，则这个曲线是(　　)‎ A．双曲线，焦点在x轴上 B．双曲线，焦点在y轴上 C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上 B　[因为ab＜0，方程可化为＋y2＝1，∴＜0，方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线，故选B.]‎ ‎3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－y2＝1 D．x2－＝1‎ C　[由 ‎⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，‎ 即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.]‎ ‎4．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)‎ A．22或2 B．7‎ C．22 D．2‎ A　[根据双曲线的方程得2a＝2×5＝10，由定义知||PF|－12|＝10，可解得|PF|＝22或2，故选A.]‎ ‎5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)‎ A． B． C． D． D　[因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．‎ 因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．‎ 因为P是C上一点，‎ 所以4－＝1，解得yP＝±3，‎ 所以P(2，±3)，|PF|＝3.‎ 又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，‎ 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________．‎ ‎(－3,2)∪(3，＋∞)　[依题意有或解得－3＜m＜2或m＞3.所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．]‎ ‎7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5.若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．‎ ‎26　[根据双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8.∴|AF2|＋|BF2‎ ‎|＝16＋|AF1|＋|BF1|＝16＋|AB|＝16＋5＝21.所以△ABF2的周长是|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.]‎ ‎8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．‎ x2－＝1　[设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．‎ 由题意得B(2,0)，C(2,3)，‎ 所以解得 所以双曲线的标准方程为x2－＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．‎ ‎[解]　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；‎ ‎(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；‎ ‎(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；‎ ‎(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．‎ ‎10．已知双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．‎ ‎(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；‎ ‎(2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积又是多少？‎ ‎(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．‎ ‎[解]　设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(不妨设r1＞r2)，θ＝∠F1MF2，因为S＝r1r2sin θ，‎ θ已知，所以只要求r1r2即可，‎ 因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r1r2.‎ ‎(1)当θ＝90°时，S＝r1r2sin θ＝r1r2.由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，‎ 由双曲线定义，得|r1－r2|＝2a＝4，‎ 两边平方，得r＋r－2r1r2＝16，‎ 又r＋r＝|F1F2|2，‎ 即|F1F2|2－4S＝16，‎ 也即52－16＝4S，求得S＝9.‎ ‎(2)若∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，‎ ‎|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 120°＝(r1－r2)2＋3r1r2＝52，所以r1r2＝12，‎ 求得S＝r1r2sin 120°＝3.‎ 同理，可求得若∠F1MF2＝60°，S＝9.‎ ‎(3)由以上结果可见，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．‎ 证明如下：‎ 由双曲线定义及余弦定理，得 ‎②－①，得r1r2＝，‎ 所以S＝r1r2sin θ＝＝b2cot .‎ 因为0＜θ＜π，所以0＜＜，‎ 在内，cot 是减函数．‎ 因此当θ增大时，S＝b2cot 减小．‎ ‎11．(多选题)设θ是三角形的一个内角，对于方程＋＝1的说法正确的是(　　)‎ A．当0＜θ＜时，方程表示椭圆 B．当θ＝时，方程不表示任何图形 C．当＜θ＜时，方程表示焦点在x轴上的双曲线 D．当＜θ＜π时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 BC　[当0＜θ＜时，sin θ＞0，cos θ＞0，但当θ＝时，sin θ＝cos θ＞0表示圆，故A错误；当θ＝时，cos θ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；当＜θ＜π时，sin θ＞0，cos θ＜0，所以不论＜θ＜还是＜θ＜π时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确，D错误，故选BC.]‎ ‎12．(多选题)已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下判断，正确的是(　　)‎ A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4‎ BCD　[A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t ‎－1＞0，‎ ‎∴1＜t＜；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t＞4.]‎ ‎13．(一题两空)已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，则|AB|＝________.又三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C．则点C的轨迹方程为________．‎ ‎4　x2－＝1(x＞1)　[将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.‎ ‎∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，‎ 则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.‎ 又∵sin B－sin A＝sin C，∴由正弦定理得 ‎|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|＝4，‎ 即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．‎ ‎∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，‎ ‎∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x＞1)．]‎ ‎14．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．‎ ，　[因为双曲线方程为－＝1，所以c＝＝13，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则F1(－13,0)，F2(13,0)．设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y＞0)，则＝－1＝，‎ 所以y＝，即|AF1|＝.又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，‎ 所以|AF2|＝24＋＝.即所求距离分别为，.]‎ ‎15．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．‎ ‎(1)求C的圆心轨迹L的方程；‎ ‎(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP－|FP||的最大值．‎ ‎[解]　(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r.由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.‎ 则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，‎ ‎∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．‎ 又|MF|＝＝2，‎ ‎∴||MP|－|FP||的最大值为2.‎