【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：8-1　第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：8-1　第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

第八章立体几何初步 ‎8.1　基本立体图形 第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 解析根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.‎ 答案ACD ‎2.下面多面体中,是棱柱的有(　　)‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析根据棱柱的定义进行判定,知这4个图都满足.‎ 答案D ‎3.‎ 如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是(　　)‎ A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 解析剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.‎ 答案B ‎4.下列说法错误的有(　　)‎ ‎①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;‎ ‎②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;‎ ‎③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.‎ 答案C ‎5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(　　)‎ 解析动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可.‎ 答案C ‎6.‎ 如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　　)‎ A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定 解析如图.‎ ‎∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,‎ ‎∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.‎ 答案A ‎7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为　　　　cm. ‎ 解析n棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.‎ 答案12‎ ‎8.一个几何体的表面展开平面图如图.‎ ‎(1)该几何体是哪种几何体;‎ ‎(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?‎ 解(1)该几何体是四棱台.‎ ‎(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.‎ ‎9.‎ 按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).‎ ‎(1)一个三棱柱和一个多面体;‎ ‎(2)三个三棱锥.‎ 解(1)在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)‎ ‎(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)‎ 能力提升练 ‎1.(2020北京检测)一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥必不是(　　)‎ A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 解析正六棱锥的底面是个正六边形,正六边形共由6个等边三角形构成,设每个等边三角形的边长为r,正六棱锥的高为h,正六棱锥的侧棱长为l,由正六棱锥的高h、底面正六边形的边长r、侧棱长l构成直角三角形得,h2+r2=l2,故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D.‎ 答案D ‎2.(2020山东青岛检测)设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是(　　)‎ A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P 解析根据定义知,正方体是特殊的正四棱柱,‎ 正四棱柱是特殊的长方体,‎ 长方体是特殊的直四棱柱,‎ 所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.‎ 答案B ‎3.(2020全国高一课时练习)下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(　　)‎ 解析将其折叠起来,变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.‎ 答案B ‎4.(2020湖北黄冈检测)下列说法正确的有　　　　　个. ‎ ‎①棱台的侧棱都相等;‎ ‎②正棱锥的侧面是等边三角形;‎ ‎③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.‎ 解析①错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;‎ ‎②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;‎ ‎③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.‎ 如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,‎ 满足底面△BCD为等边三角形,‎ 三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.‎ 答案0‎ ‎5.‎ 如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:‎ ‎(1)折起后形成的几何体是什么几何体?‎ ‎(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?‎ ‎(3)每个面的三角形面积为多少?‎ 解(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.‎ ‎(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.‎ ‎(3)S△PEF=a2,‎ S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2,‎ S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.‎ 素养培优练 ‎　‎ 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.‎ 解把长方体的部分面展开,如图,有三种情况.‎ 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到EBE=,再在长方形BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到FD1F=,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为.‎