【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十五章推理与证明作业

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十五章推理与证明作业

第十五章　推理与证明 ‎1.[2020安徽省示范高中名校联考]某校高一年级组织五个班的学生参加学农活动,每班从“农耕”“采摘”“酿酒”“野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践,且各班的选择互不相同.已知1班既不选“农耕”,也不选“采摘”;2班既不选“农耕”,也不选“酿酒”;3班既不选“野炊”,也不选“农耕”;5班选择“采摘”或“酿酒”;如果1班不选“酿酒”,那么4班不选“农耕”.则选择“饲养”的班级是(　　)‎ A.2班 B.3班 C.4班 D.5班 ‎2.[2019安徽安庆模拟]观察图15 - 1中各正方形图案,记第n个图案中圆点的总数为Sn.‎ 图15 - 1‎ 按此规律推出Sn与n的关系式为(　　)‎ A.Sn=2n B.Sn=4n C.Sn=2n D.Sn=4n - 4‎ ‎3.[2019厦门一中高三模拟]用反证法证明命题“若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈Z)有有理根,那么当a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是(　　)‎ A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数 ‎4.[2019重庆七校联考]某市为了缓解交通压力,实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行,B车昨天限行,从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是(　　)‎ A.今天是周四 B.今天是周六C.A车周三限行 D.C车周五限行 ‎5.[2019安徽示范高中高三测试]两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位分布示意图如图15 - 2所示,则下列座位号码符合要求的可以是(　　)‎ 窗口 ‎1‎ ‎2‎ 过道 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 窗 口 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 图15 - 2‎ ‎　A.25,26 B.33,34 C.64,65 D.72,73 ‎ ‎6.[2019辽宁模拟]在平面几何中,与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似地,在立体几何中,与正四面体的四个面所在平面的距离相等的点(　　)‎ A.有且只有一个 B.有且只有三个C.有且只有四个 D.有且只有五个 ‎7.[2020陕西高三摸底]甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:“丙或丁申请了.”乙说:“丙申请了.”丙说:“甲和丁都没有申请.”丁说:“乙申请了.”如果这四位同学中只有两人说的是对的,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是　　　　. ‎ ‎8.[2019惠州市一调]已知数列{an}是公差不为0的等差数列,对任意大于2的正整数n,记集合{x|x=ai+aj,i∈N,j∈N,1≤iM;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.‎ 第十五章推理与证明 ‎1.B　解法一　由题意可知五个班级和五项活动一一对应,作出如下表格(不选的活动项目打“✕”,选择的活动项目打“√”),当5班选“采摘”时,4班选“农耕”,根据“如果1班不选’酿酒’,那么4班不选’农耕’”,得1班选“酿酒”,再根据五个班级和五项活动一一对应,易得选“饲养”的是3班.‎ 农耕 采摘 酿酒 野炊 饲养 ‎1班 ‎✕‎ ‎✕‎ ‎√‎ ‎2班 ‎✕‎ ‎✕‎ ‎√‎ ‎3班 ‎✕‎ ‎✕‎ ‎√‎ ‎4班 ‎√‎ ‎5班 ‎√‎ 当5班选“酿酒”时,4班选“农耕”,根据“如果1班不选’酿酒’,那么4班不选’农耕’”,得1班选“酿酒”,则1班和5班都选“酿酒”,与题意矛盾,舍去这种情况.‎ 综上可知,选B.‎ 解法二　由题意知,1班、2班、3班、5班均不选“农耕”,所以4班选“农耕”,根据“如果1班不选’酿酒’,那么4班不选’农耕’”,得1班选“酿酒”,则5班选“采摘”,又3班不选“野炊”,所以2班选“野炊”,3班选“饲养”.故选B.‎ ‎2.B　第一个图案中圆点的总数S1=4;第二个图案中圆点的总数S2=8;第三个图案中圆点的总数S3=12.‎ S1=4=4×1,S2=8=4×2,S3=12=4×3,由此得到第n个图案中圆点的总数Sn=4n.故选B.‎ ‎【方法总结】　从特殊情形出发,发现图案中圆点的总数的规律,猜想归纳出一般结论.一般地,由特殊情形归纳出一般结论的步骤是:从特殊出发→发现规律→归纳结论.‎ ‎3.B　命题“a,b,c中至少有一个是偶数”的否定是“a,b,c都不是偶数”,故选B.‎ ‎4.A　在限行政策下,要保证每天至少有四辆车可以上路行驶,周一到周五每天只能有一辆车限行.由周末不限行,B车昨天限行知,今天不是周一,也不是周日;由E车周四限行且明天可以上路可知,今天不是周三;由E车周四限行,B车昨天限行知,今天不是周五;从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,如果今天是周二,A,C两车连续行驶到周五,只能同时在周一限行,不符合题意;如果今天是周六,则B车周五限行,A,C两车连续行驶到周二,只能同时在周三限行,不符合题意.所以今天是周四.故选A.‎ ‎【解题关键】　求解这类逻辑推理题,一般用代入法解答,将选项逐一代入题干,判断是否符合题目要求.读懂题意并抓住关键即可轻松解题.‎ ‎5.C　设靠左、右窗的座位号码分别为an,bn,则由火车上的座位号码规律可得,an=5n - 4,bn=5n.因此33号、34号、72号与73号都不是靠窗的座位号,所以选项B和D均不符合要求;25号与65号都是靠右窗的座位号码,但25号、26号是不相邻的,64号与65号是相邻的,故选C.‎ ‎6.D　如图D 15 - 1所示,与△ABC的三条边所在直线的距离相等的点为O1,O2,O3,O4,其中O1是△ABC的内切圆的圆心,O2是与AC,AB的延长线和线段BC都相切的圆的圆心,O3是与CA,CB的延长线和线段AB都相切的圆的圆心,O4是与BC,BA的延长线和线段AC都相切的圆的圆心.类似地,如图D 15 - 2所示,正四面体P - ABC的内切球的球心到四个面所在平面的距离相等,将正四面体P - ABC延拓为正四面体P - DEF,在所得三棱台ABC - DEF内存在一个球,其球心到平面ABC,平面PDE,平面PEF,平面PDF的距离相等.同理,分别将四面体A - PBC,B - PAC,C - PAB进行延拓均可得到一个满足题意的点,因此满足题意的点有且只有五个,故选D.‎ 图D15 - 1 图D15 - 2‎ ‎【技巧点拨】　在进行类比推理时,不仅要从内容上进行类比,还要从解题方法上进行类比.‎ ‎7.乙　(1)如果申请的同学是甲,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,不满足题意.(2)如果申请的同学是乙,则甲、乙两人说的是错的,丙、丁两人说的是对的,满足题意.(3)如果申请的同学是丙,则甲、乙、丙三人说的是对的,不满足题意.(4)如果申请的同学是丁,则只有甲说的是对的,不满足题意.‎ 故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙.‎ ‎【方法总结】　求解推理问题的主要方法如下:(1)利用表格将条件中给出的相关结果呈现出来,观察表格得出结论;(2)利用假设法进行求解.‎ ‎8.293　设an=a1+(n - 1)d(d≠0),则ai+aj=2a1+(i+j - 2)d.由题意知1≤i乙 乙说 甲>丙 丙说 丙>丁 丁说 丙>乙 若甲说的是真实的,则甲阅读的本数最少,可得四人阅读的本数由少到多的排列是甲丙乙丁;若乙说的是真实的,则乙阅读的本数最少,与丁<乙,丙<乙矛盾,不符合题意;若丙说的是真实的,则丙阅读的本数最少,与丙>丁,甲<丙矛盾,不符合题意;若丁说的是真实的,则丁阅读的本数最少,与丙<丁矛盾,不符合题意.综上,甲说的是真实的,甲、乙、丙、丁按各人阅读的本数由少到多的排列是甲丙乙丁.‎ ‎16. - ‎3‎‎2‎　在2f (x+y‎2‎)f x - y‎2‎=f (x)+f (y)中,令x=y=1,得2f (1)f (0)=2f (1),即2f (1)[f (0) - 1]=0,将f (1)=‎1‎‎2‎代入解得f (0)=1;‎ 在2f (x+y‎2‎)f (x - y‎2‎)=f (x)+f (y)中,令x=2,y=0,得2f (1)f (1)=f (2)+f (0),代入解得f (2)= - ‎1‎‎2‎;‎ 在2f (x+y‎2‎)f (x - y‎2‎)=f (x)+f (y)中,令x=3,y=1,得2f (2)f (1)=f (3)+f (1),代入解得f (3)= - 1;‎ 在2f (x+y‎2‎)f (x - y‎2‎)=f (x)+f (y)中,令x=4,y=2,得2f (3)f (1)=f (4)+f (2),代入解得f (4)= - ‎1‎‎2‎;‎ 在2f (x+y‎2‎)f (x - y‎2‎)=f (x)+f (y)中,令x=5,y=1,得2f (3)f (2)=f (5)+f (1),代入解得f (5)=‎1‎‎2‎;‎ 在2f (x+y‎2‎)f (x - y‎2‎)=f (x)+f (y)中,令x=6,y=2,得2f (4)f (2)=f (6)+f (2),代入解得f (6)=1;‎ 在2f (x+y‎2‎)f (x - y‎2‎)=f (x)+f (y)中,令x=7,y=1,得2f (4)f (3)=f (7)+f (1),代入解得f (7)=‎1‎‎2‎;‎ 在2f (x+y‎2‎)f (x - y‎2‎)=f (x)+f (y)中,令x=8,y=2,得2f (5)f (3)=f (8)+f (2),代入解得f (8)= - ‎1‎‎2‎;‎ ‎……‎ 由此可知,函数f (x)是最小正周期为6的周期函数,‎ 所以f (2 018)=f (6×336+2)=f (2)= - ‎1‎‎2‎,‎ f (2 019)=f (6×336+3)=f (3)= - 1,‎ 所以f (2 018)+f (2 019)= - ‎3‎‎2‎.‎ ‎17.(1)由题意得,c1=b1 - a1=1 - 1=0,‎ c2=max{b1 - 2a1,b2 - 2a2}=max{1 - 2×1,3 - 2×2}= - 1,‎ c3=max{b1 - 3a1,b2 - 3a2,b3 - 3a3}=max{1 - 3×1,3 - 3×2,5 - 3×3}= - 2.‎ 当n≥3时,(bk+1 - nak+1) - (bk - nak)=(bk+1 - bk) - n(ak+1 - ak)=2 - n<0(k∈N*且k∈[1,n - 1]),所以cn=max{b1 - na1,b2 - na2,…,bn - nan}=b1 - na1=1 - n.‎ 所以对任意的n≥1,cn=1 - n,于是cn+1 - cn= - 1,‎ 所以{cn}是等差数列.‎ ‎(2)设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则 bt - nat=b1+(t - 1)d2 - [a1+(t - 1)d1]n ‎=b1 - na1+(d2 - nd1)(t - 1)(t∈N*且t∈[1,n]),‎ 所以cn=‎b‎1‎‎ - na‎1‎+(n - 1)(d‎2‎ - nd‎1‎),d‎2‎>nd‎1‎,‎b‎1‎‎ - na‎1‎,d‎2‎≤nd‎1‎.‎ ‎①当d1>0时,取正整数m>d‎2‎d‎1‎,则当n≥m时,nd1>d2,因此cn=b1 - na1.‎ 此时,cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.‎ ‎②当d1=0时,对任意的n≥1,‎ cn=b1 - na1+(n - 1)max{d2,0}=b1 - a1+(n - 1)(max{d2,0} - a1).‎ 此时,c1,c2,c3,…,cn是等差数列.‎ ‎③当d1<0时,当n>d‎2‎d‎1‎时,有nd1max{M+|b‎1‎ - d‎2‎|+a‎1‎ - d‎1‎ - ‎d‎2‎‎ - ‎d‎1‎,d‎2‎d‎1‎},则当n≥m时,cnn>M.‎ 综上,或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,cnn>m;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.‎