人教A版数学必修二1-2-1-1-2-2空间几何体的三视图

人教A版数学必修二1-2-1-1-2-2空间几何体的三视图

§1.2 空间几何体的三视图和直观图 §1.2.1 中心投影与平行投影§1.2.2 空间几何体的三视图 一、教材分析 在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进 一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图. 比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的 基础之一，教学中应当给以充分的重视. 画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想 象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投 影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所 得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视 图”. 教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长 方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其 三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教 学的一个重点. 三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主 要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题， 让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合 体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教 材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流. 值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成. 另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下 的图形还是中心投影下的图形. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）掌握画三视图的基本技能 （2）丰富学生的空间想象力 2．过程与方法 主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。 3．情感、态度与价值观 （1）提高学生空间想象力 （2）体会三视图的作用 三、重点难点 教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的 结构特征. 教学难点：识别三视图所表示的几何体. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？ 我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个 几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观 图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础 上，学习空间几何体的三视图. 教师指出课题：投影和三视图. 思路 2. “横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实 地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三 视图.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视 图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？ 教师点出课题：投影和三视图. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①如图 1 所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎 样得到的? 图 1 ②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的? ③请同学们观察图 2 的投影过程，它们的投影过程有什么不同？ 图 2 ④图 2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？ ⑤观察图 3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形 的形状、大小有什么区别？ 图 3 活动：①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片. ②从投影的形成过程来定义. ③从投影方向上来区别这三种投影. ④根据投影线与投影面是否垂直来区别. ⑤观察图 3 并归纳总结它们各自的特点. 讨论结果：①这种现象我们把它称为是投影. ②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做 投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕. ③图 2（1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影； 图 2（2）和（3）的投影线平行，我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影. ④图 2（2）中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；图 2（3）中，投影 线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影. ⑤在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图 形；在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形. 以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和直观图. 知识归纳：投影的分类如图 4 所示. 图 4 提出问题 ①在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视 图包含哪些部分？ ②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的？ ③一般地，怎样排列三视图？ ④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体 的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、 侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗？ 讨论结果：①三视图包含正视图、侧视图和俯视图. ②光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视 图）；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图（又称左视图）； 光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图. ③三视图的位置关系：一般地，侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下边.如图 5 所示. 图 5 ④投影规律： （1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度. （2）一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯 视图宽度一样，即正、俯视图——长对正；主、侧视图——高平齐；俯、侧视图——宽相等. 画组合体的三视图时要注意的问题： （1）要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可 能不同. （2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式， 特别是它们的交线位置. （3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和 可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出. （4）要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正、俯 视图长对正；正、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等，前后对应. 由三视图还原为实物图时要注意的问题： 我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由 三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左 视图的轮廓线（或补充后的轮廓线）还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中 初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线（特别要注意虚线）逐步作出实物图. （三）应用示例 思路 1 例 1 画出圆柱和圆锥的三视图. 活动：学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成. 解：图 6（1）是圆柱的三视图，图 6（2）是圆锥的三视图. (1) (2) 图 6 点评：本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目往往依赖 于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图，做到想图（几何体的 实物图）和画图（三视图）相结合. 变式训练 说出下列图 7 中两个三视图分别表示的几何体. (1) (2) 图 7 答案：图 7（1）是正六棱锥；图 7（2）是两个相同的圆台组成的组合体. 例 2 试画出图 8 所示的矿泉水瓶的三视图. 活动：引导学生认识这种容器的结构特征.矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器，这种容器 是简单的组合体，其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱. 图 8 图 9 解：三视图如图 9 所示. 点评：本题主要考查简单组合体的三视图.对于简单空间几何体的组合体，一定要认真 观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图. 变式训练 画出图 10 所示的几何体的三视图. 图 10 图 11 答案：三视图如图 11 所示. 思路 2 例 1 （2007 安徽淮南高三第一次模拟，文 16）如图 12 甲所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1、C1D1 的中点，G 是正方形 BCC1B1 的中心，则四边形 AGFE 在该正 方体的各个面上的投影可能是图 12 乙中的____________. 甲 乙 图 12 活动：要画出四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点 A、G、 F、E 在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投 影是相同的. 分析：在面 ABCD 和面 A1B1C1D1 上的投影是图 12 乙（1）；在面 ADD1A1 和面 BCC1B1 上的投影是图 12 乙（2）；在面 ABB1A1 和面 DCC1D1 上的投影是图 12 乙（3）. 答案：（1）（2）（3） 点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力.画出一个图形在一个平面上的投影的关 键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在 该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免 出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成. 变式训练 如图 13(1)所示，E、F 分别为正方体面 ADD′A′、面 BCC′B′的中心，则四边形 BFD′E 在该正方体的各个面上的投影可能是图 13(2)的___________. (1) (2) 图 13 分析：四边形 BFD′E 在正方体 ABCD—A′B′C′D′的面 ADD′A′、 面 BCC′B′上 的投影 是 C；在面 DCC′D′上的投影是 B；同理，在面 ABB′A′、面 ABCD、面 A′B′C′D′上的投影也 全是 B. 答案：B C 例 2 （2007 广东惠州第二次调研，文 2）如图 14 所示，甲、乙、丙是三个立体图形 的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ） 甲 乙 丙 图 14 ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④ 分析：由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是矩形，则 甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因正视图和侧视图均是三角 形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是 旋转体，又因正视图和侧视图均是三角形，则丙是圆锥. 答案：A 点评：本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征.根据三视图想象空间几何体，是 培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征， 想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体.通常是先根据俯视图判断是 多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何 体还是简单组合体. 变式训练 1.图 15 是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状. 图 15 图 16 分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组 合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组 合体. 答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图 16 所示. 2.（2007 山东高考，理 3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） 图 17 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 分析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除 A、B、C. 答案：D 点评：虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此 是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题. （四）知能训练 1.下列各项不属于三视图的是（ ） A.正视图 B.侧视图 C.后视图 D.俯视图 分析：根据三视图的规定，后视图不属于三视图. 答案：C 2.两条相交直线的平行投影是（ ） A.两条相交直线 B.一条直线 C.两条平行直线 D.两条相交直线或一条直线 图 18 分析：借助于长方体模型来判断，如图 18 所示，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，一束 平行光线从正上方向下照射.则相交直线 CD1 和 DC1 在面 ABCD 上的平行投影是同一条直线 CD，相交直线 CD1 和 BD1 在面 ABCD 上的平行投影是两条相交直线 CD 和 BD. 答案：D 3.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”， 如图 19 所示.甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“ 6”，丙说他看到的是“ 9”，丁说他看到 的是“9”，则下列说法正确的是（ ） 图 19 A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边 B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙 C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁 D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边 分析：由甲、乙、丙、丁四人的叙述，可以知道这四人的位置如图 20 所示，由此可得 甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边. 图 20 答案：D 4.（2007 广东汕头模拟，文 3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角 形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（ ） A.棱锥 B.棱柱 C.圆锥 D.圆柱 分析：由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体，又因正视图与侧视图均为 全等的等边三角形，则该几何体是圆锥. 答案：C 5.（2007 山东青岛高三期末统考，文 5）某几何体的三视图如图 21 所示，那么这个几何体 是（ ） 图 21 A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台 分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥. 答案：B 6.（2007 山东济宁期末统考，文 5）用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的 三视图如图 22 所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（ ） 图 22 A.8 B.7 C.6 D.5 分析：由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下 层有 5 个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有 6 个小正方体. 答案：C 7.画出图 23 所示正四棱锥的三视图. 图 23 分析：正四棱锥的正视图与侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形，对角线体现正四 棱锥的四条侧棱. 答案：正四棱锥的三视图如图 24. 图 24 （五）拓展提升 问题：用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图 25 所示，俯视图 中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数. (1)你能确定哪些字母表示的数？ (2)该几何体可能有多少种不同的形状？ 图 25 分析：解决本题的关键在于观察正视图、俯视图，利用三视图规则中的“在三视图中， 每个视图都反映物体两个方向的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体 的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸”.又“正视图与俯视图长对正,正视图 与侧视图高平齐,俯视图与侧视图宽相等”,所以，我们可以得到 a=3,b=1,c=1,d,e,f 中的最大值 为 2. 解：(1)面对数个小立方体组成的几何体，根据正视图与俯视图的观察我们可以得出下列结 论： ①a=3,b=1,c=1; ②d,e,f 中的最大值为 2. 所以上述字母中我们可以确定的是 a=3,b=1,c=1. (2)当 d,e,f 中有一个是 2 时，有 3 种不同的形状； 当 d,e,f 有两个是 2 时，有 3 种不同的形状； 当 d,e,f 都是 2 时，有一种形状. 所以该几何体可能有 7 种不同的形状. （六）课堂小结 本节课学习了： 1.中心投影和平行投影. 2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律. 3.由三视图判断原几何体的结构特征. （七）作业 习题 1.2 A 组 第 1、2 题.