上海市格致中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

上海市格致中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019-2020学年格致中学高一上期末数学试卷 一、填空题（1-5每题3分，6-10每题4分）‎ ‎1.已知集合，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】， ∴． ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查集合交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2.不等式的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值定义化简求解，即得结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎，‎ ‎∴不等式的解集为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.函数 的定义域为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，，即可求出结果.‎ - 17 -‎ ‎【详解】由题意可知，，解得，所以的定义域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域，充分理解函数和的定义域是解决问题的关键．‎ ‎4.若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， ∴． ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复合函数的单调性，结合函数的对称性，即可求出结果．‎ ‎【详解】因为函数的对称轴为，‎ 所以函数在上是增函数； ‎ 又函数在上是增函数，所以．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性的判断与应用，属于基础题．‎ ‎6.正实数 满足：，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】9‎ - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】，当且仅当 时取等号．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．‎ ‎7.方程的解为_____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原方程化简为，即可求出结果．‎ ‎【详解】原方程可化为，即，即有或，解得或. ‎ 故答案为:或．‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算法则的应用，属于基础题．‎ ‎8.函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将原函数化为，可设，可判断 - 17 -‎ 为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．‎ ‎【详解】因为 ‎ 设，‎ 所以 ； ‎ 则是奇函数， ‎ 所以在区间上的最大值为，即，‎ 在区间上的最小值为，即， ‎ ‎∵是奇函数，‎ ‎∴， 则 .‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．‎ ‎9.函数的定义域为，值域为，点集构成的图象面积等于，则实数_____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行分类，其中当时不符合题意；当和时，利用二次函数的性质，分别求出定义域为，值域为，然后再根据点集构成的图象面积等于，列出方程，求解即可．‎ ‎【详解】当时不符合题意，舍去．‎ 当时，由，解得，可得定义域为：．‎ ‎，可得值域． ‎ - 17 -‎ ‎∵点集构成的图象面积等于，‎ ‎ ，解得．‎ ‎ 当时，由，解得，可得定义域为：．‎ ‎ ，可得值域． ‎ ‎∵点集构成的图象面积等于，‎ ‎，解得． ‎ 综上：或． ‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，同时考查了分类思想，推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10.设函数的定义域是，满足，且当时，，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，可得，根据定义域分段求解析式，结合函数的值域可得．‎ ‎【详解】因为，‎ 当时，，‎ 当时，即 所以 由二次函数的性质可知，当时，；‎ - 17 -‎ 当时，即 ‎ 所以，‎ 由二次函数的性质可知，当时，；‎ 当 时，.‎ 由二次函数的性质可知，当时，；‎ 又因为，当时，由解得或（舍去），‎ 若对任意，都有，则.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．‎ 二、选择题（每题4分）‎ ‎11.下列函数中是偶函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的定义，逐项判断即可.‎ ‎【详解】对于选项A，函数的定义域为，此函数既不是奇函数也不是偶函数，故A不满足题意；‎ 对于选项B，函数的定义域为，且，所以B满足题意；‎ 对于选项C，由指数函数的性质，可知不具有奇偶性，故C不满足题意；‎ 对于选项D，函数的定义域为，此函数既不是奇函数也不是偶函数，故D不满足题意；‎ 故选：B.‎ - 17 -‎ ‎【点睛】本题考查了偶函数的定义，属于基础题.‎ ‎12.“函数在区间上单调”是“函数在上有反函数”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“函数在区间上单调”“函数在上有反函数”，反之不成立．即可判断出结论 ‎【详解】“函数在区间上单调”“函数在上有反函数”，下面给出证明：‎ 若“函数在区间上单调”，设函数在区间上的值域为，任取，如果在中存在两个或多于两个的值与之对应，设其中的某两个为，且，即，但．‎ 因为，所以 (或)．‎ 由函数在区间上单调知： ，(或)，这与矛盾．因此在中有唯一的值与之对应．由反函数的定义知：‎ 函数在区间上存在反函数．‎ 反之“函数在上有反函数”则不一定有“函数在区间上单调”，例如：函数，就存在反函数：‎ 原函数和反函数图象分别如下图（1）（2）所示：‎ - 17 -‎ 由图象可知：函数在区间上并不单调．‎ 综上，“函数在区间上单调”是“函数在上有反函数”的充分不必要条件.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了反函数的定义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力，属于中等题．‎ ‎13.已知函数的图象不经过第四象限，则实数满足( )‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数的图象不经过第四象限，所以当时，，所以．‎ ‎【详解】因为函数的图象不经过第四象限， 所以当时，，.‎ ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题．‎ ‎14.已知函数f（x），给出下列判断：（1）函数的值域为 - 17 -‎ ‎；（2）在定义域内有三个零点；（3）图象是中心对称图象.其中正确的判断个数为( )‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的性质，可判断（1）的是否正确；利用函数的零点判定理，可判断（2）是否正确；利用函数的对称中心的定义，可判断（3）是否正确．‎ ‎【详解】由题意可知，函数 ‎ ‎，其定义域为;‎ 对于（1），当时,；时,,所以函数的值域是；所以（1）正确； ‎ 对于（2），因为 ‎ ‎ 所以函数在单调递增函数,‎ 又 ,,所以函数在上，有且只有一个零点；‎ 当时,,, ‎ 所以函数在有一个零点；‎ 当时, ,‎ - 17 -‎ ‎ ，所以函数在有一个零点；‎ 当时,；‎ 所以在定义域内有三个零点,所以（2）正确； ‎ 对于（3）， 因为,‎ 所以 ‎ 所以．‎ 所以函数的图象关于点中心对称，所以（3）正确； ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用,涉及函数的对称性,函数的零点个数,函数的值域,命题的真假的判断,是难题．‎ 三、解答题（满分49分）‎ ‎15.设集合 ‎（1）求集合A、B ‎（2）若，求实数a的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接解不等式得到集合.‎ ‎（2）根据得到不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），‎ - 17 -‎ ‎（2），则满足 解得 ‎【点睛】本题考查了求集合，根据集合关系求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎16.已知某种气垫船的最大航速是海里小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.若船速为海里小时,则船每小时的燃料费用为元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时元．甲乙两地相距海里，船从甲地匀速航行到乙地.‎ ‎(1)试把船从甲地到乙地所需的总费用，表示为船速(海里小时)的函数，并指出函数的定义域;‎ ‎(2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元?‎ ‎【答案】(1) ；‎ ‎(2)当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意先设船速为,则每小时燃料费,求得参数,再写出自变量取值范围即可.‎ ‎(2)由(1)中的表达式可知利用基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】(1) 设船速为,则每小时燃料费,根据题意有,故,,‎ 则从甲地到乙地所需时间为小时.‎ 故总费用.‎ 又最大航速是海里小时故 ‎ ‎(2)由(1) ；‎ 故,‎ 当且仅当即时取得最小值.‎ 故当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元 - 17 -‎ ‎【点睛】本题主要考查函数实际运用,注意分析自变量与因变量的关系,同时注意取值范围.本题也考查了基本不等式的用法,属于中等题型.‎ ‎17.已知函数（）.‎ ‎（1）若函数图象上动点到定点的距离最小值是，求实数的值：‎ ‎（2）若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两点的距离公式表示，然后利用基本不等式求出最值，建立方程，可求出实数的值； ‎ ‎（2）任取，且，利用函数单调性的定义可知 在区间上恒成立，从而求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】(1)设 ，则，‎ ‎，‎ 当时，解得；‎ 当时，解得，‎ ‎∴或.‎ ‎(2)由题意，任取，且，‎ 则，‎ ‎∵，，所以，即，‎ 由，得，所以.‎ ‎∴的取值范围是 .‎ - 17 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用，以及两点的距离公式等知识，同时考查了运算求解的能力和转化的思想，属于基础题．‎ ‎18.已知函数 .‎ ‎（1）求函数定义域；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（3）求的反函数的解析式.‎ ‎【答案】（1）时，，时，；（2）为奇函数，理由见解析；（3）（）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，化为：，对分类讨论即可解出；‎ ‎（2）定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义即可判断出结论；‎ ‎（3）由，化为：，解得用表示，把与互换可得的反函数．‎ ‎【详解】(1)由0，化为：.‎ 当时，解得或；时，解得或.‎ ‎∴函数的定义域为：时，，时，.‎ ‎(2)∵定义域关于原点对称，‎ ‎，‎ ‎∴函数为奇函数.‎ ‎(3)由，化为：，解得.‎ - 17 -‎ 把与互换可得：.‎ ‎∴的反函数.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域、反函数、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎19.已知函数的定义域为区间，若对于内任意，都有成立，则称函数是区间的“函数”.‎ ‎（1）判断函数（）是否是“函数”？说明理由；‎ ‎（2）已知，求证：函数（）是“函数”；‎ ‎（3）设函数是,（）上的“函数”，，且存在使得，试探讨函数在区间上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）.‎ ‎【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析；（3）0、1或2个，图象见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意直接判断即可； (2)由题意直接判断即可； (3)举例即可得出结论．‎ ‎【详解】(1)是，理由如下：‎ 任取，且，‎ 则成立，‎ 故函数是“函数”.‎ ‎(2)证明：事实上，任取，且，‎ 则 - 17 -‎ 成立，即得证；‎ ‎(3)函数在上的零点个数可以为0、1或2个.‎ 例如，是函数，如图，‎ 其零点个数为0；‎ 是函数，如图，‎ 其零点个数为1；‎ 是函数，如图，‎ 其零点个数为2；‎ - 17 -‎ 函数不可能有个零点，假设均是零点，且，‎ 则由可知，势必上恒大于，从而导致矛盾.‎ ‎【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查学生对函数性质的运用以及逻辑推理能力，属于中档题．‎ - 17 -‎ ‎ ‎ - 17 -‎