天津市南开区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

天津市南开区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

‎2019-2020学年度天津市南开区高一年级第一学期期末 数学试卷 一．选择题（共10小题）‎ ‎1.设全集，集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集和并集定义可计算出集合.‎ ‎【详解】由题意可得，因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，‎ 考点：全称命题与特称命题 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.下列函数中为偶函数，且在上单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析各选项中函数单调性以及在区间上的单调性，可得出合适的选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数定义域为，该函数为非奇非偶函数，且在区间上为增函数；‎ 对于B选项，函数为偶函数，且在区间上为减函数；‎ 对于C选项，函数为非奇非偶函数，且在区间上为增函数；‎ 对于D选项，函数偶函数，且在区间上为增函数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎4.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值法和不等式的基本性质来判断出“”是“”的必要不充分条件.‎ ‎【详解】取，，成立，但不成立，则“”“”.‎ 当，则，由不等式的性质得，，‎ 即“”“”.‎ 因此，“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎5.等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式可计算出的值.‎ ‎【详解】由诱导公式得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.设，，，则、、的大小顺序是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，可得出这三个数的大小关系.‎ ‎【详解】对数函数在上为减函数，则；‎ 指数函数为减函数，则，即；‎ 指数函数为增函数，则.‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为，利用平移规律可得出正确选项.‎ ‎【详解】，为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在解题时要确保两个三角函数的名称保持一致，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎8.如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图象（收支差额车票收入支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图变为图与图，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有种说法：‎ ‎（1）图的建议是：减少支出，提高票价；‎ ‎（2）图的建议是：减少支出，票价不变；‎ ‎（3）图的建议是：减少支出，提高票价；‎ ‎（4）图的建议是：支出不变，提高票价；‎ 上面说法中正确的是（ ）‎ A. （1）（3） B. （1）（4） C. （2）（4） D. （2）（3）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知图象反映了收支差额与乘客量的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明.‎ ‎【详解】根据题意和图知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时，收入是但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；‎ 由图看出，当乘客量为时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎9.已知三个函数，，的零点依次为、、，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值.‎ ‎【详解】令，得出，令，得出，‎ 则函数与函数、交点的横坐标分别为、.‎ 函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，‎ 如下图所示：‎ 联立，得，则点，‎ 由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则，‎ 由题意得，解得，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎10.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有 (　　)‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=-1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=-3，即定义域内-1和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选C．‎ 考点：1．函数的定义域及其求法；2．函数的值域；3．函数解析式的求解及常用方法．‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎11.已知幂函数的图象过点，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数的解析式为，将点的坐标代入求出参数即可．‎ ‎【详解】解：设幂函数的解析式为 因为函数过点 所以 解得 故答案为 ‎【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．‎ ‎12.设，使不等式成立的的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】解不等式，即，即，解得.‎ 因此，使不等式成立的的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎13.若函数值域是，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数在区间上的值域为，从而可得出函数在区间上单调递减，且有，得出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】当时，，即函数在区间上的值域为.‎ 由于函数的值域为，则函数在区间上单调递减，‎ 且有，即，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时要分析出函数的单调性，还应对函数在分界点处的函数值进行限制，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎14.△ABC中，，，则=_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此 考点：正余弦定理 ‎15.已知，，且，则的最大值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，从而可得出的最小值，由此可得出的最大值.‎ ‎【详解】，，且，，‎ 当且仅当，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，‎ 所以，的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎16.求值：（1）；‎ ‎（2）已知，，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值；‎ ‎（2）利用立方和公式得出，结合可求出所求代数式的值.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，涉及换底公式以及立方和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎17.已知是定义在上的奇函数，且时，.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）、或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇函数的定义得出的值，求出的值，利用奇偶性的定义求出，再结合奇偶性的定义与函数的解析式可计算出的值；‎ ‎（2）求出函数在区间上的值域为，在区间上的值域为，可得出当时，，然后分和两种情况解方程，即可求出实数的值.‎ ‎【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，‎ ‎，，，‎ ‎，因此，；‎ ‎（2）当时，则，则有，‎ 此时.‎ 当时，，当且仅当时取到最小值，即.‎ 所以，当时，‎ ‎①当时，由，解得或； ‎ ‎②当时，由，解得.‎ 综上，、或.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求函数值，同时也考查了利用分段函数值求自变量的值，涉及了奇函数性质的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为、．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数的定义得出的值，利用同角三角函数的平方关系求出，由此可得出的值，然后利用二倍角的正切公式可计算出的值；‎ ‎（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和的正切公式求出 的值，求出的取值范围，可得出的值.‎ ‎【详解】（1）由三角函数的定义可得，为锐角，则，‎ ‎，由二倍角正切公式得；‎ ‎（2）由三角函数的定义可得，为锐角，，‎ ‎，，‎ ‎，，，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了二倍角正切公式、两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期和对称中心；‎ ‎（2）求的单调递减区间；‎ ‎（3）当时，求函数的最小值及取得最小值时的值．‎ ‎【答案】（1）最小正周期为；对称中心为；（2） ；（3）当时，函数取最小值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出 ‎，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；‎ ‎（2）解不等式，可得出函数的单调递减区间；‎ ‎（3）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以，函数的最小正周期为.‎ 由，可得，‎ 函数的对称中心为；‎ ‎（2）解不等式，解得.‎ 因此，函数的单调递减区间为；‎ ‎（3）当时，，‎ 当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.已知二次函数，，的最小值为．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设.‎ ‎（i）若在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（ii）若在内恰有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可设，可知该函数图象的对称轴方程为，由题意得出，可求出的值，即可得出函数的解析式；‎ ‎（2）可得出.‎ ‎（i）分、、三种情况讨论，在时，将参数代入函数的解析式进行验证，在、两种情况下，结合单调性得出二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，由此可得出关于的不等式，解出即可；‎ ‎（ii）对实数的值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理，可得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），且函数的最小值为．‎ 设，则该函数图象的对称轴方程为，，，；‎ ‎（2）.‎ ‎（i）①当时，在上是减函数，满足要求；‎ ‎②当时，对称轴方程为：．‎ i）当时，，所以，解得；‎ ii）当时，，所以，解得．‎ 综上，，因此，实数的取值范围是；‎ ‎（ii）①当时，函数在上是减函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故时，，，此时，函数在区间内无零点；‎ 当时，，，在区间内有且只有一个零点；‎ ‎②当时，对称轴方程为：，‎ 若函数在内恰有一个零点，则有，‎ 即，解得或，又，所以.‎ 综上有：或.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性和零点个数求参数的取值范围，涉及零点存在定理的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎