【数学】2020届一轮复习人教版（理）第一章第十一节　函数模型及其应用作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第一章第十一节　函数模型及其应用作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级　基础夯实练 ‎1．(2018·湖北襄阳模拟)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是(　　)‎ A．y＝100x　　　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100‎ C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100‎ 解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.‎ ‎2．(2018·江西九江检测)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是(　　)‎ A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 解析：选D.设家具的进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.‎ ‎3．(2018·大连模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)‎ A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 解析：选C.设利润为f(x)万元，则 f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)‎ ‎＝0.1x2＋5x－3 000(0＜x＜240，x∈N*)．‎ 令f(x)≥0，得x≥150，‎ ‎∴生产者不亏本时的最低产量是150台．‎ ‎4．(2018·淄博二模)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)‎ A. B． C. D．－1‎ 解析：选D.设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝－1，故选D.‎ ‎5．(2018·兰州二模)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．‎ 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)‎ A．① B．①②‎ C．①③ D．①②③‎ 解析：选A.由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水 ‎，一个出水口出水，一定正确的是①.‎ ‎6．(2018·广东佛山一中月考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．‎ 解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，所以当t＝3.75时，可食用率p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．‎ 答案：3.75‎ ‎7．(2018·湖北枣阳模拟)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．‎ 解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.‎ 答案：4.24‎ ‎8．(2018·山东寿光模拟)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从‎12月21日至‎1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在‎12月26日 大约卖出了西红柿________千克．‎ 解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.‎ 答案： ‎9．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为‎1 m/s.‎ ‎(1)求出a，b的值；‎ ‎(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于‎2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？‎ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为‎0 m/s，此时耗氧量为30个单位，则a＋blog3＝0，即a＋b＝0；‎ 当耗氧量为90个单位时，速度为‎1 m/s，则a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.‎ 解方程组得 ‎(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.‎ 所以要使飞行速度不低于‎2 m/s，则v≥2，‎ 所以－1＋log3≥2，即log3≥3，解得≥27，‎ 即Q≥270.‎ 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于‎2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．‎ ‎10．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．‎ ‎(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；‎ ‎(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．‎ 解：(1)由题图，设y＝ 当t＝1时，由y＝4得k＝4，‎ 由＝4得a＝3.所以y＝ ‎(2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5.‎ 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．‎ B级　能力提升练 ‎11．(2018·深圳调研)某食品的保鲜时间y ‎(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在‎0 ℃‎的保鲜时间是192小时，在‎22 ℃‎的保鲜时间是48小时，则该食品在‎33 ℃‎的保鲜时间是(　　)‎ A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 解析：选C.由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.‎ 又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，‎ ‎∴e11k＝＝＝.设该食品在‎33 ℃‎的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24(小时)．‎ ‎12．(2018·烟台二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：‎ 月份 用气量 煤气费 一月份 ‎4 m3‎ ‎4元 二月份 ‎25 m3‎ ‎14元 三月份 ‎35 m3‎ ‎19元 若四月份该家庭使用了‎20 m3‎的煤气，则其煤气费为(　　)‎ A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元 解析：选A.根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5.‎ ‎13．(2018·长春模拟)某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(　　)‎ A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲、乙两食堂的营业额相同 D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 解析：选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋‎8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋‎4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋‎4a)2－m(m＋‎8a)＝‎16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．‎ ‎14．(2018·衡水模拟)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg (nA)来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：‎ ‎①PA≥1；‎ ‎②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A菌个数多了10个；‎ ‎③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜PA＜5.5.‎ 其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)‎ 解析：当nA＝1时PA＝0，故①错误；‎ 若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；‎ 设B菌的个数为nB＝5×104，‎ ‎∴nA＝＝2×105，‎ ‎∴PA＝lg(nA)＝lg 2＋5.‎ 又∵lg 2≈0.3，‎ ‎∴5＜PA＜5.5，故③正确．‎ 答案：③‎ ‎15．(2018·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，那么，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．‎ 解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，‎ 依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.‎ 化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.‎ 因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，‎ 所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．‎ 故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．‎ 答案：4‎ C级　素养加强练 ‎16．(2018·无锡模拟)‎ 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．‎ ‎(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?‎ ‎(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.‎ ‎①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示‎8月1日，x＝1表示‎9月1日，以此类推)；‎ ‎②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．‎ 解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.‎ ‎(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，‎ 由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，‎ 又q＞1，所以q＝3，‎ 所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．‎ ‎②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，‎ 所以f′(x)＝3x2－12x＋9，‎ 令f′(x)＜0，得1＜x＜3.‎ 所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．‎