安徽省江淮十校2020届高三第一次联考数学（文）试题

安徽省江淮十校2020届高三第一次联考数学（文）试题

江淮十校2020届高三第一次联考 数学（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知全集，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集和交集定义直接求得结果.‎ ‎【详解】由题意得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足,则 A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算可求得，根据模长运算可求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够通过复数除法运算求得复数.‎ ‎3.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 (　　)．‎ A. c>b>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，，；且；.‎ 考点：对数函数的单调性.‎ ‎4.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则 A. 1 B. 2017 C. -1 D. -2017‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当为偶数时，；当为奇数时，，所求式子最末项，从而可得结果.‎ ‎【详解】由题意得：，，，…‎ 当为偶数时，；当为奇数时，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律.‎ ‎5.已知双曲线，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知方程化为标准方程的形式，可得到；由可求得结果.‎ ‎【详解】由得：双曲线标准方程为，‎ ‎， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据双曲线标准方程求解离心率的问题，属于基础题.‎ ‎6.函数的图像大致是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过奇偶性的定义可知函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；当时，可确定函数有两个零点，排除，从而得到结果.‎ ‎【详解】 函数为偶函数 函数图象关于 轴对称，可排除 当时，‎ 令，解得：或，即函数在上有两个零点，可排除 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，常用方法是通过函数的奇偶性、零点、特殊位置符号、单调性等方式，采用排除法来得到结果.‎ ‎7.在一次田径比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示。‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1—35号，再用系统抽样方法从中抽取5人，则其中成绩在区间上的运动员人数为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据系统抽样方法将运动员平均分组，得到每组成绩及排序；分别讨论取序号为之间和之间的运动员时满足题意的运动员人数，从而得到结果.‎ ‎【详解】将名运动员平均分为组，可得每组成绩如下：‎ 第一组130，130，133，134，135，136，136；第二组138，138，138，139，141，141，141；‎ 第三组142，142，142，143，143，144，144；第四组145，145，145，146，146，147，148；第五组150，151，152，152，153，153，153‎ 若每组取排序第、、或位的运动员，则成绩在的为第三组、第四组和第五组的运动员，共有人 若每组取排序在第、或位的运动员，则成绩在的为第二组、第三组和第四组的运动员，共有人 综上所述：成绩在的恰好为人 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查系统抽样方法的应用，关键是能够通过平均分组，通过所取每组序号的不同进行分类讨论.‎ ‎8.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的终边所在直线可求得；将化为关于正余弦的齐次式的形式，分子分母同时除以即可构造出关于的方程，代入求得结果.‎ ‎【详解】终边在上 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查任意角三角函数的定义、正余弦齐次式的求解，涉及到二倍角的正弦公式、同角三角函数关系的应用等知识.‎ ‎9.已知非零向量满足，则与的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据平面向量减法的三角形法则和模长相等关系可知构成等边三角形，从而得到夹角.‎ ‎【详解】 构成等边三角形 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查平面向量减法运算的三角形法则，属于基础题.‎ ‎10.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是 A. 计算数列的前9项和 B. 计算数列的前10项和 C. 计算数列的前10项和 D. 计算数列的前9项和 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行程序，可得输出结果为，从而可确定其功能.‎ ‎【详解】第一次循环：，；第二次循环：，；…，‎ 第十次循环：，，输出 可知功能为计算数列的前项和 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查程序框图循环结构的功能判断，关键是能够准确求解输出的结果，从而可根据结果判断出功能.‎ ‎11.的内角的对边分别为，已知，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理将角化边可得；利用余弦定理构造方程，代入可求得，根据正弦定理可知，从而得到结果.‎ ‎【详解】由正弦定理得：，即 由余弦定理得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形等知识，属于常考题型.‎ ‎12.设椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与交于两点，与轴相交于点，若，则椭圆的离心率等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由过且垂直于轴，可得坐标；易知为中点，得到点坐标；根据垂直关系可知，利用两点连线斜率公式可构造出关于的齐次方程，构造出关于 的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 为与轴交点，且轴 为中点 ‎ ‎ ，即 整理可得：，即 ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题；关键是能够利用垂直关系得到斜率乘积为，进而构造出关于的齐次方程.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.曲线在点处的切线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎14.正项等比数列的前项和为，已知，则公比_________________。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时可求得不合题意，可知；将已知等式化为和的形式，结合可解方程求得结果.‎ ‎【详解】当时，，解得：，不合题意 ‎ ‎，解得：‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.‎ ‎15.函数最小值为___________________。‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式和二倍角公式化简函数为，令，，可将函数化为二次函数的形式，根据二次函数性质可求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 令，则 ‎ ‎，‎ 当时，，即的最小值为 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查换元法求解三角函数的最值问题，涉及到利用诱导公式、二倍角公式化简三角函数、二次函数最值的求解等知识；易错点是在进行换元时，忽略新的自变量的取值范围，造成求解错误.‎ ‎16.三棱锥中，底面，，底面中，边，则三棱锥外接球的体积等于___________________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设为外接圆圆心，为球心，由球的性质知平面；利用正弦定理可求得 外接圆半径；根据四边形为矩形，得到，利用勾股定理构造方程组即可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.‎ ‎【详解】设为外接圆圆心，为三棱锥外接球球心，则平面 作，垂足为 由正弦定理可知外接圆直径： ‎ 平面，平面 ‎ 又， ‎ 四边形为矩形 ‎ 设，‎ 在和中，勾股定理可得：，解得：‎ 三棱锥外接球体积：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够根据球的性质，得到球心与底面外接圆圆心连线必垂直于底面，从而根据底面外接圆圆心的位置和外接圆半径确定球心的位置，并利用勾股定理构造出方程求得外接球半径.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知是公差为3的等差数列，数列满足，。‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入即可求得；由等差数列通项公式可求得结果；（2）将代入，可证得数列为等比数列；由等比数列前项和公式求得结果.‎ ‎【详解】（1）由已知，，得：‎ 数列是以为首项，为公差的等差数列 ‎（2）由（1）知：，即：‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列 记的前项和为，则 ‎【点睛】本题考查等差数列通项、等比数列前项和的求解问题，关键是能够准确求解出等差和等比数列的基本量，属于基础题.‎ ‎18.下表是我省某地区2012年至2018年农村居民家庭年纯收入（单位：万元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 年纯收入 ‎2‎ ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭年纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭年纯收入（结果精确到0.1）。‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，。‎ ‎【答案】（1）（2）该地区2012年至2018年农村居民家庭年纯收入逐年递增,预计2019年该地区农村居民家庭纯收入为万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用最小二乘法可直接求得回归直线；（2）根据回归直线斜率为正可判断出收入逐年增长，并得到增长率；代入即可求得预估值.‎ ‎【详解】由数据表得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 所求回归方程为：‎ ‎（2）由可知：该地区年至年农村居民家庭年纯收入逐年递增，且增长率约为 令，解得：‎ 预计年该地区农村居民家庭纯收入为万元 ‎【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线、回归直线意义的辨析、利用回归直线求解预估值的问题，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于基础题.‎ ‎19.设。‎ ‎（1）求的单调增区间；‎ ‎（2）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值。‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间是（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为；（1）令，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用为锐角和可求得；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，解得：‎ 的单调递增区间为：‎ ‎（2）‎ ‎ ，即 由余弦定理得：（当且仅当时取等号）‎ ‎（当且仅当时取等号）‎ 即面积的最大值为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，垂足为，点在面上的投影为。‎ ‎（1）证明：点为线段中点；‎ ‎（2）求点到平面的距离。‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直性质和正方形中的垂直关系可证得平面，根据面面垂直判定定理可证得平面平面，由面面垂直性质可知在上，从而利用等腰三角形三线合一证得结论；（2）根据线面垂直判定定理可证得平面，可知即为所求距离；连接后，利用勾股定理推导即可求得.‎ ‎【详解】（1）平面，平面 ‎ 四边形为正方形 ‎ 又平面， 平面 平面 平面平面 又平面平面，点在平面上的投影为点 ‎ ‎，又 为线段中点 ‎（2）平面，平面 ‎ 又，平面， 平面 即为点到平面的距离 连接 平面，平面 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 即点到平面的距离为 ‎【点睛】本题考查立体几何中线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质定理的应用、点到面的距离的求解等知识；求解点到面的距离的常用方法为作出距离或体积桥的方式，本题因垂直关系易找到，故选择直接求解的方式较为简单.‎ ‎21.已知抛物线，是坐标原点，点是抛物线上一点（与坐标原点不重合），圆是以线段为直径的圆。‎ ‎（1）若点坐标为，求抛物线方程以及圆方程；‎ ‎（2）若，以线段为直径的圆与抛物线交于点（与点不重合），求圆面积的最小值。‎ ‎【答案】（1）抛物线方程为，圆方程为：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入抛物线方程即可得到抛物线方程；根据 点坐标可求得圆心和半径，从而得到圆的方程；（2）根据得抛物线方程，设，，根据在圆上可得，整理可得，利用基本不等式可求得；代入圆的面积公式即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）在抛物线上 ，解得：‎ 抛物线的方程为：‎ 又 圆心为，半径为 圆方程为：‎ ‎（2） ‎ 设，‎ 在以为直径的圆上 ，即 又，‎ 又，且， ‎ ‎（当且仅当，即时取等号）‎ 圆的面积 圆面积的最小值为 ‎【点睛】本题考查圆锥曲线知识的综合应用，涉及到抛物线与圆的方程的求解、圆锥曲线中的面积最值的求解问题；解决此类最值问题的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，通过已知的等量关系和基本不等式等知识求得变量所处的范围，从而根据函数最值的求解方法得到所求的最值.‎ ‎22.设函数（为常数，是自然对数的底数）。‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在内存在唯一极值点，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据解析式可求得函数定义域为，求导后，根据可知；从而根据的符号可确定导函数的符号，从而得到函数的单调区间；（2）由（1）知时不满足题意；当时，将问题转化为与在范围内有唯一交点；设，利用导数可得到的单调性，从而得到在内的图象，进而得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意得：函数的定义域为 则 当时，‎ 当时，，函数单调递减 当时，，函数单调递增 的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎（2）由（1）知，当时，在内单调递减 在内不存在极值点 当时，要使得内存在唯一极值点，则在存在唯一变号零点 即方程在内存在唯一解，即与在范围内有唯一交点 设函数，则 在单调递减 又；当时，‎ 时，与在范围内有唯一交点 综上所述：的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、根据极值点个数求解参数范围的问题；解题关键是能够将极值点个数问题转化为方程零点个数问题，即平行于轴直线与曲线的交点个数问题，进而通过数形结合的方式求得结果.‎ ‎ ‎