- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习(理)通用版9-1直线方程与圆的方程作业
专题九 平面解析几何 【真题典例】 9.1 直线方程与圆的方程 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 1.直线 方程 ①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线的几何要素;②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式; ③掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系 2015课标Ⅰ,20,12分 直线方程 抛物线的 几何性质 ★★☆ 2.圆的 方程 ①掌握圆的几何要素; ②掌握圆的标准方程与一般方程 2018课标Ⅱ,19,12分 直线方程与圆的方程 抛物线的几何性质 ★☆☆ 2017课标Ⅲ,20,12分 直线方程与圆的方程 两直线垂直与 其斜率的关系 2016课标Ⅱ,4,5分 圆的方程 点到直线距离公式 2015课标Ⅰ,14,5分 圆的方程 椭圆的几何性质 分析解读 从近5年高考情况来看,对本节主要考查直线方程和圆的方程的求法,常以选择题、填空题的形式出现,难度中等,解答时应充分利用分类讨论、数形结合的思想.在解决有关圆的问题时应充分利用圆的几何性质简化运算. 破考点 【考点集训】 考点一 直线方程 1.(2017吉林梅河口校级二模,4)已知角α是第二象限角,直线2x+ytan α+1=0的斜率为83,则cos α等于( ) A.35 B.-35 C.45 D.-45 答案 D 2.(2018江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为( ) A.y=2x或x-y+1=0 B.y=2x或x+y-3=0 C.x+y-3=0或x-y+1=0 D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0 答案 D 考点二 圆的方程 1.(2018广东珠海四校4月联考,8)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 答案 B 2.(2017河南豫北名校4月联考,4)与圆(x-2)2+y2=4关于直线y=33x对称的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y-1)2=4 B.(x-2)2+(y-2)2=4 C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-3)2=4 答案 D 3.(2018甘肃兰州模拟,7)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC的外接圆的方程是( ) A.x2+(y-3)2=5 B.x2+(y+3)2=5 C.(x-3)2+y2=5 D.(x+3)2+y2=5 答案 D 炼技法 【方法集训】 方法1 直线的倾斜角与斜率的求解方法 1.(2018陕西延安期中,5)直线a2x-b2y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的倾斜角的取值范围为( ) A.0,π2 B.π4,3π4 C.π2,3π4 D.π2,π 答案 A 2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin θ+1=0的倾斜角的取值范围是( ) A.π4,3π4 B.0,π4∪3π4,π C.0,π4 D.π4,π2∪π2,3π4 答案 A 3.(2017河南豫南九校联考,5)若θ是直线l的倾斜角,且sin θ+cos θ=55,则l的斜率为( ) A.-12 B.-12或-2 C.12或2 D.-2 答案 D 方法2 解与圆有关的最值问题的方法 1.(2017湖南长沙二模,5)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是( ) A.1+2 B.2 C.1+22 D.2+22 答案 A 2.(2018河南洛阳期末)已知正数x,y满足x2+y2=1,则3x+y的取值范围是( ) A.(1,3] B.(1,2] C.(3,2] D.(2,23) 答案 B 3.(2018福建长汀模拟,10)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻且系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A95,0、B(5,0)的距离之比为35时的阿波罗尼斯圆为x2+y2=9.下面,我们来研究与此相关的一个问题:已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A-12,0,已知点B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为( ) A.6 B.7 C.10 D.11 答案 C 过专题 【五年高考】 A组 统一命题·课标卷题组 考点一 直线方程 (2015课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点. (1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 解析 (1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a). 又y'=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0. y=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0. 故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分) (2)存在符合题意的点,证明如下: 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2. 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a. 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分) 疑难突破 要使∠OPM=∠OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数. 考点二 圆的方程 1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.-43 B.-34 C.3 D.2 答案 A 2.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 . 答案 x-322+y2=254 3.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0), 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2. 由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),或k=1, 因此l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解. 4.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程. 解析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4. 又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y2x2=-44=-1,所以OA⊥OB. 故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心M的坐标为(m2+2,m), 圆M的半径r=(m2+2)2+m2. 由于圆M过点P(4,-2),因此 AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4. 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12. 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为x-942+y+122=8516. 解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. B组 自主命题·省(区、市)卷题组 1.(2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 . 答案 x2+(y-1)2=1 2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4). (1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程; (3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围. 解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0). 因为圆N与x轴相切,与圆M外切, 所以0查看更多