【数学】2020届一轮复习北师大版一般形式的柯西不等式学案

【数学】2020届一轮复习北师大版一般形式的柯西不等式学案

二 一般形式的柯西不等式 ‎ ‎ 名称 形式 等号成立条件 三维形式的柯西不等式　　‎ 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2‎ 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3)‎ 一般形式的柯西不等式　　‎ 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2‎ 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)‎ ‎[点睛]　一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．‎ 利用柯西不等式证明不等式 ‎[例1]　设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥.‎ ‎[思路点拨]　根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．‎ ‎[证明]　∵(x1＋x2＋…＋xn) ‎＝[(1)2＋()2＋…＋()2]·≥‎ 2＝n2，‎ ‎∴＋＋…＋≥.‎ 柯西不等式的结构特征可以记为：‎ ‎(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋‎ ＋…＋)2.‎ 其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)‎ ‎，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．‎ ‎1．设a，b，c为正数，且不全相等．‎ 求证：＋＋>.‎ 证明：构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得 ‎(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，‎ 于是＋＋≥.‎ 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝‎ ⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.‎ 因为a，b，c不全相等，故①中等号不成立，‎ 于是＋＋>.‎ 利用柯西不等式求最值 ‎[例2]　(1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.‎ 求 ＋ ＋ 的最小值；‎ ‎(2)设2x＋3y＋5z＝29，‎ 求函数μ＝＋＋的最大值．‎ ‎[思路点拨]　(1)利用＋＋ ‎＝(x＋y＋z)．‎ ‎(2)利用(＋＋)2＝‎ ‎(1×＋1×＋1×)2.‎ ‎[解]　(1)∵x＋y＋z＝1，‎ ‎∴＋＋＝(x＋y＋z)；‎ ‎≥2‎ ‎＝(1＋2＋3)2＝36.‎ 当且仅当x＝＝，‎ 即x＝，y＝，z＝时取等号．‎ 所以＋＋的最小值为36.‎ ‎(2)根据柯西不等式，有 ‎(×1＋×1＋×1)2‎ ‎≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1)‎ ‎＝3×(2x＋3y＋5z＋11)‎ ‎＝3×40＝120.‎ 故＋＋≤2，‎ 当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，‎ 即x＝，y＝，z＝时等号成立．‎ 此时μmax＝2.‎ 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．‎ ‎2．已知x，y，z∈R，且x－2y＋2z＝5，则(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是(　　)‎ A．20　　　　　　　　　 B．25‎ C．36 D．47‎ 解析：选C　∵[(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x＋5)＋(－2)(y－1)＋2(z＋3)]2＝324，当且仅当＝＝，即x＝－3，y＝－3，z＝1时取等号．故(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是36.‎ ‎3．若2x＋3y＋4z＝11，则x2＋y2＋z2的最小值为________．‎ 解析：∵2x＋3y＋4z＝11，∴由柯西不等式，得 ‎(x2＋y2＋z2)(4＋9＋16)≥(2x＋3y＋4z)2，‎ 故x2＋y2＋z2≥，‎ 当且仅当＝＝，即x＝，‎ y＝，z＝时取等号．‎ 答案： ‎4．把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值．‎ 解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，均为正数，三个正方形面积之和：S＝2＋2＋2＝(x2＋y2＋z2)．‎ ‎∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122，‎ 即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥×48＝3.‎ 当且仅当＝＝时取等号，‎ 又x＋y＋z＝12，‎ ‎∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3.‎ 故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m2.‎ ‎1．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(　　)‎ A．5 B．－5‎ C．25 D．－25‎ 解析：选B　(ab＋bc＋cd＋ad)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立．‎ ‎∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5.‎ ‎2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选A　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)·(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号．‎ ‎∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.‎ ‎3．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是(　　)‎ A．5 B．6‎ C．8 D．9‎ 解析：选D　x＋＋＝＋＋·≥·＋ ·＋ ·2＝9，当且仅当＝＝＝时等号成立．‎ ‎4．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.‎ ‎5．已知2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________.‎ 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥.‎ 当且仅当＝＝z时等号成立．‎ 又2x＋3y＋z＝8，‎ 解得x＝，y＝，z＝，‎ 故所求点为.‎ 答案： ‎6．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．‎ 解析：(a＋b＋c) ‎＝[()2＋()2＋()2] ‎≥2‎ ‎＝(2＋3＋6)2＝121.‎ 当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．‎ 答案：121‎ ‎7．已知实数x，y，z满足3x＋2y＋z＝1，则x2＋2y2＋3z2的最小值为________．‎ 解析：由柯西不等式，得[x2＋(y)2＋(z)2]·≥(3x＋2y＋z)2＝1，‎ 所以x2＋2y2＋3z2≥，‎ 当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，所以x2＋2y2＋3z2的最小值为.‎ 答案： ‎8．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.‎ 证明：∵＝＝＝2R，‎ ‎∴(a2＋b2＋c2) ‎≥2＝36R2.‎ ‎9．在直线5x＋3y＝2上求一点，使(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2取得最小值．‎ 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2]≥[2(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]2＝(5x＋3y＋1)2＝9.‎ ‎∴(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2≥.‎ 当且仅当x＋2y－1＝2(3x－y＋3)‎ 即5x－4y＋7＝0时取等号．‎ 解方程组 得故所求点的坐标为.‎ ‎10．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c为正实数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.‎ 解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，‎ 所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}，‎ 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知＋＋＝1，‎ 所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ‎≥2＝9.‎