新教材数学人教B版必修第二册教师用书(含习题测试):6-4-3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第 1 课时 余弦定理
课
标
解
读
课标要求 核心素养
1.借助向量的运算,掌握余弦定理的证明、
余弦定理的方法及两种表示形式.(重点)
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角
形.(重点)
1.借助余弦定理的推导,提升学生的逻辑推理的
素养.
2.通过余弦定理的应用,培养学生的数学运算的
素养.
如图,修建一条隧道,要穿过一座山,这就要进行工程设计,需要测算山脚的长
度,工程技术人员若在地面上选一适当位置 A,量出 A 到山脚 B,C 的距离,再利用经
纬仪(测角仪)测出 A 对山脚 B,C 的张角.
问题 1:这样能求出山脚的长度 BC 吗?
答案 根据相似三角形的原理可以求出 BC.
问题 2:能直接求出山脚的长度 BC 吗?
答案 通过今天学习的余弦定理即可求出 BC.
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方,等于其他两边①平方的和减去这两边与它们夹角
的余弦的积的②两倍.即 a2=③b2+c2-2bccos A,
b2=④a2+c2-2accos B,
c2=⑤a2+b2-2abcos C.
推论:
cos A=⑥
2
+2
-2
2
,
cos B=⑦
2
+2
-2
2
,
cos C=⑧
2
+2
-2
2
.
思考:勾股定理与余弦定理有什么关系?
提示 余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
2.解三角形
(1)三角形的元素:三角形的⑨三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形
的元素.
(2)已知三角形的几个元素求⑩其他元素的过程叫做解三角形.
3.余弦定理可以解决两类问题
(1)已知三边,求三角.
(2)已知两边及一角,求第三边和其他两个角.
探究一 已知三角形的两边及一角解三角形
例 1 (1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2
3
,cos A=
3
2
,
且 b
0,
由余弦定理的推论可得,cos A=
2
+2
-2
2
=
92
+252
-492
2
·
3
·
5
=-
1
2
,
而 A∈(0,π),所以 A=
2
3
π.
探究三 判断三角形的形状
例 3 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a2+b2-ab=c2,且
=
3
,判断
△ABC 的形状.
解析 由 a2+b2-ab=c2,得 a2+b2-c2=ab,
所以 cos C=
2
+2
-2
2
=
1
2
,所以 C=
π
3
,
又
=
3
,所以 c=
3
b,所以 a2+b2-ab=(
3
b)2,
所以 a2-ab-2b2=0,
所以 a=2b,所以 b2+c2=4b2=a2,
故△ABC 为直角三角形.
思维突破
若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理,通过代数恒等
变换得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
3-1 在△ABC 中,已知 cos2
2
=
+
2
(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),判断△ABC 的形状.
解析 在△ABC 中,由 cos2
2
=
+
2
,
得
1+cos
2
=
+
2
,所以 cos A=
,
由余弦定理的推论,得
2
+2
-2
2
=
,
所以 b2+c2-a2=2b2,即 c2=a2+b2,
故△ABC 是直角三角形.
1.在△ABC 中,边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,b=3,c=5,A=120°,则 a=( )
A.7 B.
19
C.49 D.19
答案 A a2=b2+c2-2bccos A=9+25-2×3×5cos 120°=49,所以 a=7.
2.在△ABC 中,a2=c2+b2+
3
bc,则 A 等于( )
A.60° B.45° C.120° D.150°
答案 D 由已知得 b2+c2-a2=-
3
bc,根据余弦定理的推论,得 cos A=
2
+2
-2
2
=-
3
2
,
所以 A=150°.
3.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120°,则边 c= .
答案 2
19解析 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76,c=2
19
.
4.在△ABC 中,若 a=2bcos C,则△ABC 是 三角形.
答案 等腰
解析 因为 a=2bcos C=2b·
2
+2
-2
2
,
所以 a2=a2+b2-c2,所以 b2=c2,即 b=c,所以△ABC 是等腰三角形.
5.在△ABC 中, a=8,B=60°,c=4(
3
+1),求 b 的值.
解析 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B
=82+[4(
3
+1)]2-2×8×4(
3
+1)cos 60°
=64+16(4+2
3
)-64(
3
+1)×
1
2
=96,
∴b=4
6
.
直观想象——三角形平面几何性质的应用
在△ABC 中,已知 AB=
4 6
3
,cos∠ABC=
6
6
,AC 边上的中线 BD=
5
,求 sin A 的值.
解析 如图,设 E 为 BC 的中点,连接 DE,
则 DE∥AB,且 DE=
1
2
AB=
2 6
3
.
因为∠BED+∠ABC=π,
所以 cos∠BED=-cos∠ABC.
设 BE=x,在△BDE 中,利用余弦定理得,
BD2=BE2+ED2-2BE·ED·cos∠BED,
即 5=x2+
8
3
-2x×
2 6
3
×
-
6
6
,
解得 x=1 或 x=-
7
3
(舍去).故 BE=1,BC=2,
从而 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=
28
3
,即 AC=
2 21
3
,
在△ABC 中,由余弦定理的推论,得 cos A=
2
+A2
-B2
2
·
= 4 6
3
2
+
2 21
3
2
-22
2
×
4 6
3
×
2 21
3
=
3 14
14
,所以
sin A=
70
14
.
素养探究:解三角形借助平面几何的性质,可以简化计算.利用三角形中位线
的平行性把边角关系转化到一个三角形中,从而利用余弦定理求解,过程中体现直
观想象的核心素养.
如图,在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acos C-c=2b.
(1)求角 A 的大小;
(2)若∠ABC=
π
6
,AC 边上的中线 BD 的长为
35
,求△ABC 的面积.
解析 (1)在△ABC 中,2acos C-c=2b,
由余弦定理的推论,得 2a·
2
+2
-2
2
-c=2b,
即 b2+c2-a2=-bc,
所以 cos A=
2
+2
-2
2
=-
1
2
,所以 A=
2π
3
.
(2)因为∠ABC=
π
6
,
由(1)得角 A=
2π
3
,所以 C=
π
6
,
所以∠ABC=∠C,所以 AC=AB,所以 AC=AB=2AD,
在△ABD 中,由余弦定理可得,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A,
即 BD2=4AD2+AD2-4AD·AD·cos A,
所以 5AD2-4AD2×
-
1
2
=35,解得 AD=
5
,
所以 AB=AC=2
5
,
所以 S△ABC=
1
2
AB·hAB=
1
2
AB·ACsin A=
1
2
×(2
5
)2×sin
2π
3
=5
3
.
故△ABC 的面积为 5
3
.
1.在△ABC 中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则 A=( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
答案 C
2.在△ABC 中,已知 a=
3
,b=
6
,C=
π
4
,则△ABC 是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
答案 B
3.(2019 山东青岛高一测试)在△ABC 中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则 A=( )
A.90° B.60° C.135° D.150°
答案 B ∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc,
∴(b+c)2-a2=3bc,即 b2+c2-a2=bc,
∴cos A=
2
+2
-2
2
=
1
2
,∴A=60°.
4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)·tan B=
3
ac,则角 B 的值
为( )
A.
π
6
B.
π
3C.
π
6
或
5π
6
D.
π
3
或
2π
3答案 D 因为
2
+2
-2
2
=cos B,结合已知等式得 cos B·tan B=
3
2
,
所以 sin B=
3
2
,所以 B=
π
3
或 B=
2π
3
.
5.在△ABC 中,∠ABC=
π
4
,AB=
2
,BC=3,则 sin∠BAC=( )
A.
10
10
B.
3 10
10
C.
10
5
D.
5
5答案 B 在△ABC 中,∠ABC=
π
4
,AB=
2
,BC=3,
所以 AC=
9 + 2-2
×
2
×
3
×
cos
π
4
=
5
,
根据余弦定理的推论可得 cos∠BAC=
2+5-9
2
×
2
×
5
=-
10
10
,
所以 sin∠BAC=
1- -
10
10
2
=
3 10
10
.
6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=3,b=4,C=60°,则边 c 的值
为 .
答案
13解析 c2=a2+b2-2abcos C=9+16-2×3×4×
1
2
=13,所以 c=
13
(负值舍去).
7.在△ABC 中,B=60°,b2=ac,则△ABC 为 三角形.
答案 等边
解析 由 b2=ac 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 ac=a2+c2-ac,所以(a-c)2=0,所以
a=c,
又 B=60°,所以△ABC 为等边三角形.
8.在△ABC 中,A=
2π
3
,a=
3
c,则
= .
答案 1
解析 由余弦定理,得 a2=b2+c2+bc.
把 a=
3
c 代入,得 b2+bc-2c2=0.
则
2
+
-2=0,
解得
=-2(舍去)或
=1.
9.在△ABC 中,已知 a=5,b=3,角 C 的余弦值是方程 5x2+7x-6=0 的根,求边长 c 的值.
解析 方程 5x2+7x-6=0 可化为
(5x-3)(x+2)=0,
解得 x1=
3
5
,x2=-2(舍去).∴cos C=
3
5
.
∴c2=a2+b2-2abcos C=52+32-2×5×3×
3
5
=16,
∴c=4(负值舍去),即边长 c 的值为 4.
10.在△ABC 中,若三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a=1,c=4
2
,B=45°,则
sin C 的值为( )
A.
4
41
B.
4
5
C.
4
25
D.
4 41
41答案 B 由 b2=a2+c2-2accos B 可得,
b2=1+32-2×1×4
2
×
2
2
=25,
所以 b=5(负值舍去),
所以 cos C=
2
+2
-2
2
=
1+25-32
2
×
1
×
5
=-
3
5
,
所以 sin C=
1-cos
2
C
=
4
5
.
11.在△ABC 中,AB+AC=8,BC=4,D 为 BC 的中点,当 AD 长度最小时,△ABC 的面积为
( )
A.2
2
B.4 C.4
2
D.4
3答案 D 在△ABC 中,设 AB=x,AC=y,AD=m,∠ADB=θ,则∠ADC=π-θ,
在△ABD 中,由余弦定理,得
m2+4-4mcos θ=x2① ,
在△ACD 中,由余弦定理,得
m2+4-4mcos(π-θ)=y2,
即 m2+4+4mcos θ=y2②,
由①②得,2m2+8=x2+y2,
又 x+y=8,
所以 2m2+8=(8-y)2+y2=2y2-16y+64,
所以 m2=y2-8y+28,
当 y=4 时,m 取得最小值,为 2
3
,
即 AD 长度的最小值为 2
3
,此时 AB=AC=BC=4,△ABC 是等边三角形,易得其面积为
4
3
.
12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+accos
B+abcos C 的值是 .
答案
61
2解析 因为 cos A=
2
+2
-2
2
,
所以 bccos A=
1
2
(b2+c2-a2),
同理 accos B=
1
2
(a2+c2-b2),
abcos C=
1
2
(a2+b2-c2),
所以 bccos A+accos B+abcos C=
1
2
(a2+b2+c2)=
61
2
.
13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 A=
π
3
,a=7,b=5,点 D 在 BC 上,
且满足 BD=2DC,则 c= ,AD= .
答案 8;
2 61
3解析 如图所示,
在△ABC 中,由余弦定理,得
72= 52+c2-2×5ccos
π
3
,
解得 c=8 或 c=-3(舍去),
又 BD=2DC,
所以 BD=
2
3
a=
14
3
,
所以 cos B=
2
+2
-2
2
=
49+64-25
2
×
7
×
8
=
11
14
.
在△ABD 中,由余弦定理,得
AD2=BD2+c2-2BD·c·cos B
=
14
3
2
+64-2×
14
3
×8×
11
14
=
244
9
,
所以 AD=
2 61
3
(负值舍去).
14.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 tan C=3
7
.
(1)求 cos C;
(2)若
·
=
5
2
,且 a+b=9,求 c.
解析 (1)因为 tan C=3
7
,
所以
sin
cos
=3
7
.
又因为 sin2C+cos2C=1,
所以 cos C=±
1
8
.
因为 tan C>0,
所以 C 是锐角,
所以 cos C=
1
8
.
(2)因为
·
=
5
2
,
所以 ab·cos C=
5
2
,
所以 ab=20,
又因为 a+b=9,
所以 a2+2ab+b2=81,
所以 a2+b2=41,
所以 c2=a2+b2-2abcos C=36,
所以 c=6(负值舍去).
15.在梯形 ABCD 中,AB=2CD,BC=
3
CD,则∠ADB 的最大值为( )
A.
π
4
B.
π
3C.
π
2
D.
2π
3答案 B 取 AB 的中点 M,延长 AB 到 N 点,使 BN=CD,连接 CM,CN,如图所示:
易知 AD=MC,BD=NC.
设 CD=a,AD=MC=m,BD=NC=n,
则 AB=2a,BC=
3
a.
在△MBC 中,m2=a2+(
3
a)2-2×a×
3
a·cos∠MBC,
在△NBC 中,n2=a2+(
3
a)2-2×a×
3
a·cos(π-∠MBC),
∴m2+n2=8a2,
在△ABD 中,cos∠ADB=
2
+2
-42
2=
42
2
,
又 2mn≤m2+n2=8a2,
∴cos∠ADB=
42
2
≥
42
82
=
1
2
,
∴∠ADB 的最大值为
π
3
.
16.在△ABC 中,A=
3π
4
,AB=6,AC=3
2
,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的长.
解析 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=62+(3
2
)2-2×6×3
2
×cos
3π
4
=90,
所以 BC=3
10
(负值舍去).
设∠ADB=θ,AD=x,则∠ADC=180°-θ,
BD=x,DC=3
10
-x,
在△ABD 中,由余弦定理,得
AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos θ,
即 36=2x2-2x2cos θ,①
在△ACD 中,由余弦定理,得 AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos(180°-θ),
即 18=x2+(3
10
-x)2+2x·(3
10
-x)·cos θ,②
由①②解得 x=
10
,即 AD=
10
.